La entrada anterior, que pueden leer aquí, la dediqué a compartir las causas por las que las fracciones pueden ser tan complicadas para los estudiantes. Las relacionadas con el tipo de número que son, pueden afrontarse enfocando intencionadamente la atención del alumno sobre las características de las mismas y las diferencias entre la forma en que se hacen las operaciones con enteros y con fracciones.
Para las causas relacionadas con la forma como enseña el profesor, lo que se necesita es mejorar esa forma de enseñar. Ya escribí sobre evitar “arriba / abajo”. La próxima entrega escribiré sobre evitar los algoritmos que funcionan sólo bajo ciertas circunstancias. Antes es conveniente revisar otras bases necesarias para ello. Empecemos por algunos conceptos.  

¿Qué es un número primo?

No, no es el hijo del tío de otro número. Es un número que sólo puede dividirse entre sí mismo y la unidad (el 1) de forma exacta, es decir, sólo tiene dos divisores. Cualquier número que no sea primo, o el 1, es un  número compuesto y puede ser expresado como un producto de factores primos.

En esta tabla se destacan, en verde, los números primos entre el 1 y el 100. El 1 aparece en blanco porque no es primo, al tener sólo un divisor. Los azules son números compuestos:

¿Cómo se descompone un número en sus factores primos? Puede ser a prueba y error, dividiéndolo entre cada número primo que conozcamos para ver si la división es exacta. Eso es tardado, aunque necesario para la mayoría de los factores mayores a 5. Para los factores más pequeños podemos aprovechar que existen las condiciones de divisibilidad.

¿Qué es la divisibilidad?

Además de ser una palabra que parece trabalenguas por tantas “i”, es una característica de un número que le permite dividirse de forma exacta entre otro número. Esto es, el que un número sea divisible entre 3 significa que podemos dividirlo entre 3 y el residuo será cero. Todos los múltiplos de un número son divisibles entre él. Al observar las características de un número, podemos saber entre qué números es divisible. La divisibilidad no es exclusiva de los números primos, como se ve en esta tabla:

Se entenderá mejor con un ejemplo:

2 520 es divisible entre 2 por ser par. Es divisible entre 3 y entre 9 porque 2 + 5 + 2 + 0 = 9. Por lo tanto, también es divisible entre 6.

Termina en 0, por lo tanto es divisible entre 5 y entre 10

Como 100 es múltiplo de 4, únicamente necesitan revisarse los últimos 2 dígitos de un número para analizar la divisibilidad entre 4. Como 1 000 es múltiplo de 8, sólo necesitan analizarse los últimos 3 dígitos de un número para analizar la divisibilidad entre 8.

20 es divisible entre 4 y 520 es divisible entre 8, por lo que 2 520 es divisible entre 4 y entre 8.

La divisibilidad entre 7 es compleja de observar. Requiere tantos cálculos que es más sencillo dividir para probar si el residuo es cero. 2 520 entre 7 es 360, por lo que sí es divisible entre 7.

Por cierto, 2 520 es el número más pequeño que es múltiplo de los primeros 10 números naturales.

Cierto, no he explicado cómo descomponer en factores primos: Se divide sucesivamente entre los factores primos identificados, hasta llegar a la unidad: 2 520 / 2 = 1 260, 1 260 / 2 = 630, 630 / 2 = 315, 315 / 3 = 105, 105 / 3 = 35, 35 / 5 = 7, 7 / 7 = 1. Por lo tanto, la descomposición en factores primos de 2 520 es: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7.

¿Por qué escribo tanto sobre dividir de forma exacta si las fracciones implican divisiones inexactas? Porque los factores primos y la divisibilidad son indispensables para simplificar, amplificar, homogeneizar y comparar fracciones, como veremos a continuación.

¿Qué significa simplificar una fracción?

Es expresarla con numeradores y denominadores más pequeños, con la condición de que siga representando la misma cantidad. Existe, entre todas las simplificaciones posibles de una fracción, una que es la mejor de todas, la más simple, que es aquella en la que numerador y denominador no comparten ningún factor común distinto a la unidad. La fracción original, la simplificada y la amplificada son equivalentes, es decir, tienen el mismo valor.

El principio matemático en que se basa la simplificación y su contrario, la amplificación es:

Principio fundamental de las fracciones

Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican o dividen por la misma cantidad, diferente de cero, el valor de la fracción no se altera, esto es, ambas fracciones son equivalentes.

Veamos un ejemplo. Todas las siguientes fracciones tienen el mismo valor. Se obtuvieron de dos simplificaciones consecutivas y una amplificación. La forma más simple es 2/3.

Puede observarse la equivalencia en la recta numérica:

¿Para qué sirve simplificar y amplificar?

Simplificar sirve para expresar los resultados de una operación en la forma más simple posible, que es la mejor, sobre todo si ese resultado se usará más adelante en otros cálculos. Trabajar con expresiones simples reduce los errores. Para simplificar lo más posible en un solo paso se busca el “Máximo Común Divisor (MCD)”, que es el más grande de todos los divisores comunes a dos o más números.

Amplificar se necesita para sumar, restar o comparar fracciones. En la entrega pasada mencioné que es requisito indispensable para sumar y restar que los denominadores sean iguales, lo cual puede implicar amplificar una o varias fracciones. Para encontrar el nuevo denominador, se busca el “mínimo común múltiplo (mcm)”, es decir, el más pequeño de todos los múltiplos comunes a dos o más números.

¿Cómo se determinan el “Máximo Común Divisor (MCD)” y el “mínimo común múltiplo (mcm)”?

Con ejemplos es sencillo entender:

El MCD de 24 y 36 se busca haciendo una lista de todos los divisores de ambos números y encontrando el mayor que sea común a los dos. Una manera sencilla de hacerlo es por pares de factores, en orden, empezando por el 1:

24 es igual a 1 x 24, 2 x 12,  3 x 8,  4 x 6 (sabemos que ya terminamos porque después del 4 seguiría el 6 y ya lo tenemos). Por lo tanto, los factores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

36 es igual a 1 x 36, 2 x 18, 3 x 12, 4 x 9, 6 x 6 (sabemos que ya terminamos porque llegamos al factor que se repite y el que seguiría sería el 9, que ya lo tenemos). Por lo tanto, los factores de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Si los revisamos en orden, el mayor que es común a ambos es el 12. El MCD de 24 y 36 es 12. 

Lo más chico que puede ser el MCD es 1.

Ahora encontremos el mcm de 24 y 36 enlistando los primeros múltiplos de ambos números hasta encontrar el más pequeño que sea común a ambos. Los divisores forman una lista exhaustiva (sabemos cuándo ya los encontramos todos), pero los múltiplos no, por lo que debemos avanzar poco a poco con cada número:

24, 48, 72, 96

36, 72, 108

Listo, el mcm de 24 y 36 es 72.

Lo más grande que puede ser el mcm de dos números es la multiplicación de ambos números, por lo que, si llegamos a un número mayor a ese, ya nos pasamos, por haber hecho algo mal.

¿Existe una mejor estrategia para determinar el MCD y el mcm?

En la entrada sobre sentido numérico, que pueden leer aquí, mencioné que suelen existir diferentes estrategias para realizar cálculos y que los alumnos con mejores desempeños eligen las mejores estrategias. Para la obtención del MCD y el mcm, existe la estrategia larga, que acabo de presentar, y algunas estrategias más cortas, a partir de la descomposición en factores primos. Veremos una a continuación. La estrategia larga permite comprender lo que se está haciendo y la corta permite hacerlo rápido dentro de alguna actividad más complicada.

Aprovecho para mencionar algo que aprendí hace poco: la multiplicación del MCD por el mcm es igual a la multiplicación de los números originales. Si no dan iguales, algo en el procedimiento falló.

Existe más de una forma de acomodar los números y los factores. Esta la aprendí de niña y me parece que funciona bien:

Se acomodan los números para los que se buscarán el MCD y el mcm, uno junto al otro, y se traza una línea vertical a la derecha de ellos. Se escribe el primer factor primo que sea divisor de al menos uno de los números y se intenta dividir ambos entre dicho factor primo. Si la división es exacta (números verdes), se escribe el resultado bajo el número. Si la división no es exacta (números rojos), se vuelve a escribir el número sin dividir. Se continúa hasta que sólo quede la unidad en cada columna.

A la derecha de cada factor se escribe una palomita si dividió a todos, o una cruz si sólo dividió a alguno. Si por error se escribe un factor que no divida de forma exacta a ninguno de los números, debe borrarse.

Para obtener el MCD, se multiplican todos los factores que tienen palomita, dado que fueron factores comunes a ambos números.

Para obtener el mcm, se multiplican todos los factores que obtuvimos, tengan o no palomita.

Ojo: la comprobación sólo funciona con dos números, ¿por qué no funcionaría con tres números que compartan un factor común?

Casos especiales

Observemos los casos especiales al buscar MCD y mcm. Creo que ayudarán a comprender mejor lo que estamos haciendo.

Consecutivos: A, B (B = A+1): al estar sólo distanciados entre sí por la unidad, no pueden tener ningún factor común, por lo que MCD = 1 y mcm = AB. Por ejemplo, 24 y 25, MCD = 1, mcm = 600.

Múltiplos: A, B (B = kA): si uno es múltiplo del otro, MCD = A (el más pequeño) y mcm = B (el más grande). Por ejemplo, 24 y 48, MCD = 24, mcm = 48.

Primos entre sí: no comparten ningún factor primo: MCD = 1, mcm = AB. Por ejemplo, 24 y 35, MCD = 1, mcm = 840.

Aplicaciones

Veamos una aplicación del MCD para simplificar en un paso. Acepto que puede ser casi igual de rápido hacer simplificaciones consecutivas, pero cuando se hace de esa forma es menos seguro saber cuándo se terminó de simplificar. Ya había mencionado que esa es una de las dificultades con las fracciones, la incertidumbre sobre el momento en que se terminó el procedimiento. En el ejemplo, el MCD de 24 y 36 es 12, por lo que, al dividir directamente 24/12 y 36/12 obtenemos, en un sólo paso, la fracción equivalente expresada (estamos seguros) en su forma más simple.

Ahora veamos una aplicación del mcm en la que expresaremos como fracciones homogéneas a dos fracciones que no lo eran. Se les llama fracciones homogéneas a aquellas que tienen el mismo denominador. Se necesitan en casos como la suma, la resta y la comparación de fracciones, por aquello de que sólo se suman/restan fracciones con el mismo denominador y la comparación de fracciones con el mismo denominador es la más sencilla de todas.

Dadas dos fracciones con diferente denominador, se busca el mcm de los denominadores (para 24 y 36 es 72) y luego se determina el número por el que hay que multiplicar numerador y denominador para llegar a una fracción cuyo denominador sea el mcm.

Otra forma de pensarlo es, según el ejemplo: el denominador común es 72, 72 entre 24 es 3, 3 por 5 es 15, que es el numerador de la nueva fracción. Igual para la otra fracción: 72 entre 36 es 2, 2 por 7 es 14, que es el numerador de la nueva fracción.

Para cerrar

Recuerdo que un profesor mencionó un día que quizá deberíamos tener 12 dedos en vez de 10. La razón que me dio, cuando le pregunté: «porque 12 tiene más divisores que 10».

Entonces entendí. Nuestro sistema numérico tiene como base el 10 porque tenemos 10 dedos, pero eso limita el repartir de forma exacta. Si tienes 10 objetos sólo los puedes repartir de forma exacta entre 1, 2, 5 y 10 personas. En cambio, si tienes 12 objetos, los puedes repartir de forma exacta entre 1, 2, 3, 4, 6 y 12 personas, ¡50% más posibilidades que con 10!

Por eso me agrada tener grupos de 24 alumnos, puedo trabajar con sub-grupos de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, y 24 personas sin que nadie sobre o falte. Imaginarán porqué tener 23 alumnos es un dolor de cabeza, aunque tampoco me gustaría tener un grupo con 2,520.

Agradezco de antemano que me escriban sus comentarios y me compartan sus experiencias y sus dudas. Bajo el título de cada entrada se encuentra la opción «comentarios», donde pueden hacerlo.

Rebeca

Vaya, casi olvido contestar la pregunta. Observen esto:

El MCD de 10 y 6 es 2, mientras que su mcm es 30,  porque 10 = 2 x 5 y 6 = 2 x 3. 

El MCD está formado por el único que se repite, que es el 2, mientras que el mcm está formado por todos los demás, por lo que la multiplicación de todos los factores de los números originales es la misma que la multiplicación de todos los factores del MCD y el mcm. Comprobando: 10 x 6 = 60 = 2 x 30

En cambio, para 10, 6 y 9, el MCD es 1 y el mcm es 90, porque 10 = 2 x 5, 6 = 2 x 3 y 9 = 3 x 3. Los factores en negro no forman parte ni del MCD ni del mcm. Por eso no es posible comprobar multiplicándolos.

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

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