En la entrada sobre sentido de estructura (ver aquí) escribí, entre otras cosas, sobre cómo se conforman las estructuras algebraicas y sobre los significados del signo igual, según el tipo de estructura algebraica dentro de la cual se encuentra.

Ahora escribiré sobre lo que es una ecuación, lo que significa “resolver una ecuación” y los cuidados que son necesarios al “resolver una ecuación lineal con una incógnita”. También incluiré una sugerencia sobre cómo plantear ejercicios en primaria que preparen a los alumnos para resolver ecuaciones lineales en secundaria.

¿Qué es una ecuación?

Es una expresión algebraica que incluye:

una o varias incógnitas, representadas con letras (comúnmente las últimas del alfabeto x, y, z)

una o varias constantes, representadas con números (o con letras diferentes a las de las incógnitas)

uno o varios operadores, que indican la relación entre las incógnitas y las constantes

un signo igual, que indica que el valor de lo que está a la derecha es idéntico al valor de lo que está a la izquierda

A la expresión algebraica que está a cada lado del igual se le llama miembro de la ecuación. Por tanto, hay un miembro derecho y un miembro izquierdo en cada ecuación.

Existen ecuaciones de muy diversos tipos. Se distinguen entre sí por las operaciones que unen o afectan a sus elementos. Aquí presento algunos ejemplos de ecuaciones con una incógnita. La x representan a la incógnita y a, b, c, d representan a las constantes. En una ecuación lineal, la incógnita está elevada a la primera potencia, en una cuadrática, la incógnita está elevada al cuadrado, en una racional, la incógnita debe estar en el denominador de una fracción, en una radical, la incógnita debe estar dentro del signo del radical.

Esta entrada la dedicaré solamente a la solución de ecuaciones lineales con una incógnita, en las cuales sólo hay una incógnita elevada a la primera potencia. Son ecuaciones que se pueden llevar a la forma ax + b = 0, donde a no puede ser cero, pero b sí.

¿Para qué sirve una ecuación?

Una ecuación expresa las relaciones entre valores conocidos (constantes) y desconocidos (incógnitas) y permite, mediante ciertas operaciones algebraicas, identificar el valor de las incógnitas.

Las ecuaciones pueden ser algo puramente matemático, abstracto, o pueden ser la representación de un problema concreto. En el primer caso, resolverlas es una tarea matemática que ejercita la mente. En el segundo caso, resolverlas ayuda a encontrar la solución a un problema.

¿Qué significa resolver una ecuación?

Resolver una ecuación NO es “hallar x«.

Es encontrar el(los) valor(es) de la(s) incógnita(s) para el(los) cual(es) se cumple la igualdad. A esos valores también se le llaman soluciones o raíces de la ecuación.

Como al encontrar dicho valor llegamos a una expresión como esta: x = 9, suele decirse también que resolver una ecuación es “despejar la x”, es decir, dejarla sola a un lado del igual mientras su valor está al otro lado del igual.

Ojo: “despejar x” NO significa “quitarle” el coeficiente y el exponente. Significa que éstos valgan 1. Decir x = 9 significa que una equis elevada a la potencia uno vale nueve.

Todas las soluciones a las ecuaciones se pueden comprobar si se sustituye, en la expresión original, la incógnita por cada solución y se verifica que los valores de las expresiones a ambos lados del igual sean idénticos.

Algunos estudiantes consideran que su trabajo terminó cuando obtuvieron el valor de la incógnita. Yo animo a mis alumnos a que siempre comprueben sus respuestas. Considero que les ayuda a ser disciplinados en verificar su trabajo y les da la ventaja de saber que ese ejercicio está bien resuelto.

¿Cuántas soluciones tiene una ecuación?

Buena pregunta, lo cual significa que la respuesta no es sencilla. La cantidad de soluciones depende de la estructura de la ecuación.

En la primera sección presenté ejemplos de ecuaciones lineales, cuadráticas, racionales y radicales. Ahora agregaré que a las ecuaciones lineales también se les puede llamar ecuaciones de primer grado, a las cuadráticas de segundo grado y así sucesivamente conforme el exponente más grande de la expresión aumente:

Tomando una versión simplificada del Teorema Fundamental del Álgebra, se puede considerar que una ecuación de primer grado tiene una solución, una de segundo grado tiene dos soluciones, una de tercer grado tiene tres soluciones y así sucesivamente. Sólo que esas las soluciones no necesariamente son distintas y no necesariamente son números reales. Puede haber soluciones repetidas o puede haber soluciones que son números complejos.

O, según el planteamiento inicial, puede no haber soluciones o haber un número infinito de ellas. Necesitamos avanzar más en esta entrada para entenderlo. Lo explicaré al final.

En las ecuaciones no polinómicas, el número de soluciones ya no tiene relación directa con el mayor exponente, depende de otros aspectos que no abordaré en esta entrada.

¿Qué cuidados debemos tener al resolver una ecuación?

Es muy importante evitar otorgar “movimiento” a los elementos de una ecuación. Muchos maestros de distintos niveles escolares continúan con la “tradición” de decir que, para resolver una ecuación, “lo que está sumando se pasa restando” o “lo que está multiplicando se pasa dividiendo”, etc. Incluso lo he visto en algunos libros, donde llaman «transposición de términos» al cambio de un término de un lado del igual al otro, cambiando el signo al mismo tiempo.

Puede parecernos que algún elemento se mueve, porque en un paso estaba junto a la incógnita y en el siguiente paso está del otro lado de la ecuación, por ejemplo. Sin embargo, los elementos matemáticos no «se mueven» al resolver una ecuación… no son piezas de ajedrez que podemos tomar y trasladar a otro lugar. Lo que pasa matemáticamente es algo distinto y tiene qué ver con los elementos neutros, como expliqué en la entrada sobre los números especiales (ver aquí) y como mostraré en la siguiente sección.

Recordando que el signo igual implica que la expresión a la izquierda equivale a la expresión a la derecha del mismo, podremos comprender que, para que la igualdad permanezca, debemos hacer las mismas operaciones a ambos lados del igual cada vez. Eligiendo adecuadamente esas operaciones, podemos descubrir el valor de la incógnita.

¿Cuáles son las operaciones con las que se resuelve una ecuación que es lineal desde el origen?

Existen ecuaciones que no son lineales de origen, pero que en alguno de los pasos de solución se convierten en lineales. Esas las veremos en otra ocasión.

En esta entrada, hablaremos sobre las ecuaciones que son lineales de origen y que se resuelven mediante las operaciones inversas y los elementos neutros.

Al principio escribiré todos los pasos que llevan a la solución, para que se observe claramente qué está ocurriendo.

**La operación contraria a la suma es la resta. Si hay una constante sumada a la incógnita, se resta a ambos lados de la ecuación:

x + 3 = 5                 planteamiento original

x + 3 – 3 = 5 – 3     restar 3 a ambos lados de la ecuación

x + 0 = 2                 queda el elemento neutro de la suma del lado de la incógnita

x = 2                       ecuación resuelta

Comprobación:    2 + 3 = 5     ->   5 = 5

**La operación contraria a la resta es la suma. Si hay una constante restada a la incógnita, se suma a ambos lados de la ecuación:

x – 3 = 2                 planteamiento original

x – 3 + 3 = 2 + 3    sumar 3 a ambos lados de la ecuación

x – 0 = 5                 queda el elemento neutro de la resta del lado de la incógnita

x = 5                      ecuación resuelta

Comprobación:   5 – 3 = 2      ->   2 = 2

**La operación contraria a la multiplicación es la división:

OJO: si el coeficiente de la x es negativo, debe dividirse a ambos lados del igual entre ese número, con todo y su signo.

**La operación contraria a la división es la multiplicación:

Cada paso del proceso de solución lleva a una ecuación equivalente a la anterior (que tiene las mismas soluciones).

¿Cómo resolver una ecuación lineal con más elementos?

Para resolver una ecuación lineal más compleja, es necesario primero realizar las sumas y restas necesarias para que de un lado de la ecuación quede la incógnita con su coeficiente y del otro lado quede la constante. Se pueden hacer varias operaciones en cada paso, para ahorrar tiempo. Después, sólo es necesario dividir entre el coeficiente de la incógnita para terminar de resolver la ecuación.

Veamos algunos ejemplos y los cuidados que es necesario tener en cada caso. Omitiré el paso del elemento neutro para abreviar:

**Cuando el coeficiente de la x queda 1 después de las sumas y restas:

3x + 6 = 2x + 8                                     planteamiento original

3x – 2x + 6 – 6 = 2x – 2x + 8 – 6        se resta 2x y 6 a cada lado del igual

x = 2                                                     el coeficiente de la x ya es 1, ecuación resuelta

Comprobación:                                 3 * 2 + 6 = 2 * 2 + 8      ->  12 = 12 

**Cuando el coeficiente de la x de la derecha es mayor, podemos decidir que las x queden del lado derecho para evitar la división entre un número negativo. Llegar a x = 2 es exactamente lo mismo que llegar a 2 = x.

2x + 8 = 3x + 6                                  planteamiento original

2x – 2x + 8 – 6 = 3x – 2x + 6 – 6    se resta 2x y 6 a cada lado del igual

2 = x                                                  ecuación resuelta

Comprobación:                              2 * 2 + 8 = 3 * 2 + 6     ->  12 = 12 

Nota: Al restar 3x – 2x = x estamos haciendo una «reducción de términos semejantes», es decir, sumando y restando términos que tienen las mismas literales elevadas a los mismos exponentes.

**Siempre debemos considerar que las multiplicaciones y divisiones son por TODO el lado de la ecuación.

Así se resolvería esta ecuación primero haciendo las restas

2x + 8 = 6

2x + 8 – 8 = 6 – 8 

2x = -2

2x / 2 = -2 / 2

x = -1

Comprobación: 2 * (-1) + 8 = 6      ->  6 = 6

Así se resolvería primero haciendo las divisiones:

2x + 8 = 6

2x / 2 + 8 / 2 = 6 / 2

x + 4 = 3

x + 4 – 4 = 3 – 4

x = – 1

Comprobación: 2 * (-1) + 8 = 6      ->  6 = 6

El segundo procedimiento es más propenso al error, por incluir varias divisiones y porque se corre el riesgo de no dividir todos los términos entre 2.

Veamos un ejemplo sin escribir todos los pasos:

4x + 1 = 2x + 9

2x = 8                       Restamos 2x y 1 a ambos lados de la ecuación

x = 4                         Dividimos entre 2 ambos lados de la ecuación

Ojo: la comprobación siempre debe hacerse en la expresión original, porque si la hacemos en una posterior y tuvimos un error para llegar a ella, no nos daremos cuenta:

4 (4) + 1 = 2 (4) + 9      -> 17 = 17

¿Por qué es importante entenderlo de esa manera?

Una amiga de mi hijo, que aprendió a resolver ecuaciones “pasando” elementos de un lado a otro en la secundaria, tuvo serios problemas en la preparatoria para entender cómo resolver una desigualdad doble, similar a esta:

8 < x + 5 < 12

Me decía: «Sé que debo quitar el 5 de ahí, pero ¿para dónde lo “paso”?»

Fue necesario explicarle lo que realmente ocurría al “pasar”, para que luego lo aplicara en esta desigualdad doble, restando 5 en los tres miembros de la desigualdad:

8 – 5 < x + 5 – 5 < 12 – 5

3 < x < 7

Esa experiencia me convenció aún más de la importancia de que los profesores sepan cómo va a afectar más adelante en la vida escolar de los alumnos lo que están enseñando y, con ello, eviten los atajos que le quitan el sentido a lo que se hace, como éste de “pasar”.

Una idea de actividad de inicio al álgebra para primaria

En la entrada sobre sentido de estructura comenté que un ejercicio como el que presento a continuación ya se puede considerar un inicio al álgebra, porque, en vez de un espacio vacío a la derecha del igual, hay un espacio para escribir un valor, que en inicio es desconocido, pero que se puede deducir a partir de los otros:

2 +    = 5

Si al contestar ese ejercicio se señala que en el espacio vacío va un 3 porque 5 – 2 = 3, entonces no sólo se practica la relación entre suma y resta, sino la forma de resolver una ecuación.

Veamos un ejemplo con un grado de dificultad superior:

2 +   = 5 + 1

Implica un paso más, sumar 5 + 1:

2 +   = 6

que va encaminado a mostrar que es necesario reducir las expresiones para facilitar el averiguar el valor desconocido.

Después se podrá decir que la respuesta es 4 porque 6 – 4 = 2, que es la forma en que se resolvería la ecuación.

Este tipo de actividad contestada mediante un “despeje” no debe hacerse con resta cuando los alumnos no han visto los números negativos. Si tenemos:

8 –     = 3 podemos saber que la respuesta es 5, sólo que, si se justifica como que 5 + 3 = 8, dicha justificación no viene de un “despeje” de la incógnita propiamente.

También se puede hacer con multiplicación

2 *    = 10

Aquí se debe señalar que en el espacio vacío va un 5 porque 10 / 2 = 5.

Por lo tanto, planteando operaciones más o menos complejas, en las que el dato desconocido no sea el resultado, sino un dato intermedio, se inicia a los niños en el álgebra y, a la par, se desarrolla su sentido numérico (ver aquí)

Para cerrar

Las operaciones contrarias y los elementos neutros nos acompañan paso a paso en la solución de ecuaciones lineales, sólo es cuestión de ser ordenados y cuidadosos al hacer las operaciones. La práctica nos ayudará a elegir las mejores estrategias y el comprobar nos apoyará a avanzar sobre seguro en una actividad. «Encontrar x» puede ser muy interesante si se sabe cómo hacerlo.

¿Cómo es que una ecuación puede no tener soluciones?

Este sería un ejemplo:

2x + 3 = x + 4 + x

Si restamos 2x a ambos lados de la ecuación y reducimos la expresión obtenemos:

2x + 3 – 2x = x + 4 + x – 2x

3 = 4

Que es una inconsistencia matemática (algo matemáticamente ilógico), por lo cual la ecuación no tiene solución.

Si observamos el planteamiento inicial, y pensamos que x es la cantidad de chocolates en un paquete, lo que expresa es que si a dos veces la cantidad de chocolates por paquete le sumamos 3 chocolates obtenemos lo mismo que si a la cantidad de chocolates por paquete, sumada dos veces, le sumamos 4 chocolates. Es imposible encontrar un valor así.

¿Cómo es que una ecuación puede tener un número infinito de soluciones?

Es el otro extremo de la situación. Este sería un ejemplo:

2x + 4 – 1 = x + 3 + x

Si restamos 2x y 3 ambos lados de la ecuación y reducimos términos semejantes obtenemos

2x + 4 – 1 – 2x – 3 = x + 3 + x – 2x -3

0 = 0

En este caso no es una inconsistencia matemática, es una identidad. Si sólo hubiéramos restado el 2x, llegaríamos a 3 = 3, si sólo hubiéramos restado el 3, llegaríamos a 2x = 2x. En todos los casos la conclusión es la misma: la igualdad se cumple para cualquier valor de x, lo cual significa que la ecuación tiene un número infinito de soluciones. Se puede comprobar fácilmente:

Con x = 9

2 ( 9 ) + 4 – 1 = 9 + 3 + 9      ->   21 = 21

Con x = -1

2 ( -1 ) + 4 – 1 = – 1 + 3 + (– 1)      ->   1 = 1

Estos casos extremos suelen omitirse al enseñar las soluciones de ecuaciones. Yo prefiero sí incluirlos, porque amplían la percepción de los alumnos y les permiten desarrollar su pensamiento lógico (ver aquí).

Antes de irnos

Como siempre, gracias por leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les pueda ser útil lo que aquí publico. Por favor escríbanme si tienen alguna duda y si quieren sugerirme temas que deseen que aborde en futuras entradas del blog.

Rebeca

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