En la entrada pasada (ver aquí) escribí sobre qué es una ecuación, para qué sirve, qué significa resolverla, cuántas soluciones tiene, qué cuidados es necesario tener al resolverla, cuáles son las operaciones con las que se resuelve, por qué es importante entender la solución de ecuaciones de la forma correcta y concluí con una idea para iniciar a los niños de primaria en el álgebra… Vaya, a veces alcanzo a compartir mucha información en una sola entrada. Lo bueno es que ustedes pueden tomarse el tiempo que necesiten para leerla y hacerla suya. La información se queda ahí para cuando requieran consultarla.

Esta entrada es un complemento a la anterior, describo con más detalle algunos conceptos y proporciono más estrategias para solucionar ecuaciones lineales con una incógnita (como un mapa y una brújula para «encontrar el valor de x«). Incluí una sección con ideas para construir ecuaciones lineales con una incógnita que sean interesantes de resolver (digamos que son instrucciones para «esconder el valor de x«).

Comencemos por revisar algunos conceptos.

¿Qué es un término?

En expresiones algebraicas poco complejas (como las que veremos en esta entrada), término es una expresión algebraica elemental que no contiene sumas ni restas. Las sumas y las restas separan a los términos de una expresión. Veamos unos ejemplos:

2 + x    son dos términos, separados por una suma

2x         es un solo término, compuesto por la multiplicación de 2 por x (2 y x, al estar multiplicados, son factores uno del otro)

¿Cuáles son los elementos que componen a un término?

En expresiones algebraicas poco complejas, nuevamente, los términos se componen de: literales, coeficientes, exponentes y signo, los cuales pueden ser explícitos (se ven) o implícitos (no se ven):

–3x²    es un término con todos sus elementos explícitos: signo negativo, coeficiente 3, literal x y exponente 2

x         es un término con literal x y el resto de sus elementos implícitos: signo positivo, coeficiente y exponente uno. Aunque no se vean, debe tomarse en cuenta su valor para hacer operaciones con el término.

¿Qué hace que dos términos sean semejantes?

Lo mencioné en la entrada pasada, considero conveniente dar algunos ejemplos en ésta. Dos términos son semejantes si tienen las mismas literales elevadas a los mismos exponentes. Sólo los dos primeros ejemplos que presento a continuación corresponden a ecuaciones lineales con una incógnita. El resto ayudan a comprender el concepto y preparan para futuros temas.

-3x,   5x          sí son términos semejantes, ambos tienen la literal x elevada a la potencia uno.

 -3,      5          sí son términos semejantes, que no tienen literales explícitas (si es necesario, puede interpretarse como que tienen una literal x elevada a la potencia 0). Se les llama también “términos independientes”, por no depender del valor de la literal.

3x²,   2x³         no son términos semejantes, aunque ambos tienen una x, un 2 y un 3, los exponentes a los que está elevada la x son distintos.

-3xy²,   ½ xy²  sí son términos semejantes, tienen las mismas literales elevadas a los mismos exponentes. Que los coeficientes sean un entero y una fracción, uno negativo y otro positivo no afecta.

5x²y,  5xy²       no son términos semejantes, las literales están elevadas a exponentes distintos (podríamos decir que intercambiados) en cada término.

¿Qué es una reducción de términos semejantes?

Cuando una expresión está formada por sumas y restas de términos semejantes, éstos se pueden reducir haciendo la suma y la resta de los coeficientes. La expresión queda más pequeña (por eso se dice que se “reduce”). Veamos un ejemplo.

La primera línea es una expresión algebraica que debe reducirse y la segunda línea muestra la reducción ya hecha. Los términos semejantes aparecen del mismo color:

2x + 3 + 5x – 8 – x + 1 =

2x + 3 + 5x – 8 – x + 1 = 6x – 4

¿Qué es la ley distributiva?

Pensemos en esto para entenderla:

¿Qué significa 9 (x) ? El 9 multiplica a la x y se puede reescribir así: 9 (x) = 9x

¿Qué significa 9 (x+3) ? El 9 multiplica a todo el paréntesis, esto es, a cada uno de los dos términos dentro del paréntesis, por lo que se puede reescribir así:

9 (x+3)=9 (x)+9 (3)=9x+27 (el paso intermedio no necesita escribirse cada vez).

Al escribir 9 (x+3) como 9x+27, estamos aplicando la ley distributiva, es decir, estamos “distribuyendo” el producto en la suma, al hacer que el 9 multiplique a ambos términos del paréntesis.

Veamos un ejemplo que implica algo de cuidado:
– 2 (3 – 4x) =
– 2(3 – 4x) = – 6 + 8x

¿Cuál es el cuidado? El signo negativo del -2 debe tomarse en cuenta en ambas multiplicaciones.

Recordemos las leyes de los signos: al multiplicar expresiones con signos iguales, el resultado es positivo y al multiplicar expresiones con signos distintos, el resultado es negativo:

(+) (+) = (+)         (-)(-) = (+)

(+) (-) = (-)           (-)(+) = (-)

Ecuaciones equivalentes

En la entrada pasada mencioné que el proceso de solución de una ecuación lineal con una incógnita se realiza a través de operaciones que generan ecuaciones equivalentes, esto es, que tienen la misma solución.

Ahora veremos que existen operaciones que siempre generan operaciones equivalentes:

**Sumar/restar uno o más términos idénticos a cada lado de la ecuación (pueden o no ser constantes).

x + 5 = 9  →  x + 5 – 5 = 9 – 5  →   x = 4  son ecuaciones equivalentes entre sí.

**Multiplicar/dividir por o entre una constante (distinta de cero) cada lado de la ecuación.

3x = 15  →   3x / 3  = 15 / 3  →   x = 5    son ecuaciones equivalentes entre sí.

**Sustituir una expresión dada por otra equivalente, por ejemplo, x/4 se puede sustituir por ¼ x

x/4 = 2  →   ¼ x = 2   son ecuaciones equivalentes entre sí.

También existen operaciones que NO siempre generan operaciones equivalentes, esto es, pueden agregar soluciones que no lo son de la original, o desaparecer soluciones:

**Multiplicar cada miembro de la ecuación por una expresión que contenga la incógnita o elevar cada miembro de la ecuación a una potencia entera positiva puede agregar soluciones.

x+2=1  →   x (x+2)=x (1)   →   x² + 2x = x   no son ecuaciones equivalentes, la primera tiene una sola solución y las otras dos tienen dos soluciones.

En este caso, comprobar cada solución en la ecuación original sirve para determinar si  es realmente una solución de dicha ecuación original, o fue agregada en algún paso intermedio.

**Dividir cada miembro de la ecuación por una expresión que contenga a la incógnita o elevar cada miembro de la ecuación a una potencia fraccionaria positiva puede “desaparecer” soluciones.

x²=x   →   x² / x = x / x   →   x = 1   no son ecuaciones equivalentes, la primera tiene dos soluciones y las otras dos tienen una.

En este caso, comprobar no puede ayudar a identificar que desaparecieron soluciones, por lo que debemos tener cuidado y evitar realizar estas operaciones en la medida de lo posible.

Bien, ya hemos revisado, ya sea en ésta o en alguna entrada anterior, los conceptos que necesitamos para resolver ecuaciones lineales con más elementos que las que vimos la semana pasada. Veamos algunos ejemplos

Solución cuando la ecuación tiene paréntesis

Es común escuchar que es necesario «eliminar” tal o cual cosa en álgebra. Yo prefiero usar un lenguaje menos “violento”. Si una ecuación lineal tiene paréntesis, no “eliminamos paréntesis”, lo que hacemos es aplicar la ley distributiva.

Si decimos que “eliminamos paréntesis” podemos entender que simplemente debemos «desaparecerlos» (no escribirlos de un paso a otro) y eso puede llevar al error (de signos o de otro tipo). Si decimos “aplicamos la ley distributiva” recordaremos lo que debemos hacer matemáticamente: multiplicar lo que está afuera del paréntesis por cada uno de los términos que está adentro del mismo.

Veamos esta ecuación:

2 (x+4) = 13 + 3 (2x-3)

Aplicando la ley distributiva:

2x + 8 = 13 + 6x – 9

Restamos 2x y 4 a ambos lados del igual (vimos en la entrada pasada que es una buena idea evitar que la x tenga coeficiente negativo):

2x + 8 – 2x – 4 = 13 + 6x – 9 – 2x – 4

Reducimos términos semejantes

4 = 4x

Dividimos entre 4 a ambos lados del igual

4/4 = 4x/4

Ecuación resuelta:

1 = x

Comprobación:

2 (1+4) = 13 + 3 (2(1) – 3) -> 10 = 10 ok

¿Necesitamos escribir todos los pasos siempre?

No, lo que es importante es entender lo que realmente ocurre. Si resolvemos esta ecuación:

x + 7 = 0 →  x = -7

No es necesario escribir un paso con el -7 a cada lado de la ecuación, pero sí es importante evitar decir (o pensar): «se pasa el siete restando». Es mejor decir: «se resta el 7 a ambos lados de la ecuación». Lo mismo para el resto de las operaciones. Expliqué por qué en la entrada anterior: al otorgarle «movimiento» a los elementos algebraicos, perdemos el sentido lógico de lo que hacemos y podemos cometer errores.

Solución cuando la ecuación tiene denominadores numéricos

En este caso, se determina el mínimo común múltiplo (mcm, ver cómo obtenerlo aquí) de los denominadores y se multiplican ambos lados de la ecuación por él. El mcm debe distribuirse entre todos los términos de cada lado de la igualdad. Para recordar como hacer operaciones con fracciones, pueden leer aquí. Veamos paso a paso:

Es necesario cuidar que se multiplique TODO el lado derecho y TODO el lado izquierdo por el mcm de los denominadores. El siguiente ejemplo no está bien contestado, porque sólo se multiplicaron en x/2 y el 8 por el 2, o, peor aún, se «pasó multiplicando el 2 por el 8» sin tomar en cuenta que no era divisor de todo el lado izquierdo de la ecuación. Una razón más para evitar «pasar» y una razón más para comprobar las soluciones, así nos daremos cuenta que algo hicimos mal, porque 11/2 + 5 no es igual a 8:

¿Cómo construir ecuaciones lineales con una incógnita para nuestros hijos y alumnos?

Ya he mencionado antes que la reversibilidad es básica en las matemáticas. Es mucho mejor entender las cosas «de ida y vuelta» que sólo «de ida». Así que aprovecharemos la reversibilidad para aprender a construir ecuaciones con resultados controlados. Eso significa que partimos del resultado al que queremos llegar. O sea que podemos elegir desde un principio si queremos un resultado positivo, negativo, cero, entero, fracción, según la intención que le queremos dar al ejercicio.

Si sólo unimos constantes, operadores y literales sin ton y son, será difícil saber qué ocurrirá al resolver. Con esta idea que les propongo a continuación, todo estará bajo control. Es como esconder el valor de la incógnita ocultándolo bajo una serie de operaciones algebraicas, como meter un chocolate dentro de una caja que está dentro de otra caja, que está dentro de otra, para que alguien más lo encuentre abriéndolas todas, o como enterrar un tesoro y hacer un mapa para encontrarlo… Es muy divertido.

Partiremos entonces de la respuesta y haremos operaciones a ambos lados del igual para ocultarla. Debemos tener presente cuales son las operaciones que siempre generan ecuaciones equivalentes, que vimos antes, porque serán las que podremos usar para que la solución que elegimos se conserve.

Digamos que queremos que el resultado sea x = 3

Le sumamos algún número que nos guste a cada lado del igual, por ejemplo 5:

x + 5 = 3 + 5  →  x + 5 = 8

Multiplicamos todo por otro número que nos guste, digamos 2 y efectuamos las operaciones:

2 (x + 5) = 2 (8)   →   2x + 10 = 16

Listo, ya tenemos una ecuación que tiene la solución que queremos.

Intentemos algo más complejo

Queremos que el resultado sea x = -2

Sumamos 6x a cada lado del igual:

x + 6x = -2 + 6x  →   7x = -2 + 6x

Restamos 5 a cada lado del igual:

7x – 5 = -2 + 6x – 5   →   7x – 5 = 6x – 7

Multiplicamos por 3 a cada lado del igual, pero de un lado lo distribuimos y del otro no:

3 ( 7x – 5 ) = 3 ( 6x – 7 )  →   21x – 15 = 3 ( 6x – 7)

Listo, quedó una ecuación interesante con la respuesta que planeamos.

Con ese mismo procedimiento, yendo de atrás hacia adelante, pueden generar una gran variedad de ecuaciones con soluciones controladas.

¿Cómo se construye una ecuación sin solución?

Se parte de una inconsistencia matemática, como 1 = 2. Después se agregan elementos (en rojo) de forma similar a lo que acabamos de ver:

1 + x = 2 + x  →  3 ( 1 + x ) = 3 ( 2 + x )  →  3 + 3 x = 3 ( 2 + x )  →  3 + 3 x + 5 = 3 ( 2 + x ) + 5

→ 8 + 3x = 3 ( 2 + x ) + 5

¿Y una con un número infinito de soluciones?

Se parte de una igualdad, como x = x

4x – 8 = 4x – 8  →  (4x – 8) / 2 = ( 4x – 8 ) / 2  →  2x – 4 =  ( 4x – 8 ) / 2  

Como verán, el «truco» para hacer que la expresión se vea más compleja está en dejar algunos paréntesis sin realizar la ley distributiva.

Y el «truco» para que los alumnos sepan que existen ecuaciones sin solución y ecuaciones con un número infinito de soluciones es: que les toque resolver algunas. De esta forma su visión se ampliará, pues no tendrán la idea errónea de que todas las ecuaciones lineales con una incógnita tienen siempre una y sólo una solución.

Para cerrar

La solución de ecuaciones lineales con una incógnita es la primera de las soluciones de ecuaciones que se aprende en álgebra, por ser la más sencilla de todas y ser la base para varias de las otras soluciones de ecuaciones. Las operaciones contrarias, que afectan a ambos lados de la ecuación, son la guía (como una brújula) que nos lleva a resolverlas correctamente, a «encontrar el valor de x» y también nos pueden llevar a «esconder el valor de x«. El construir ecuaciones con resultados controlados mejora nuestra habilidad de resolver ecuaciones, por la reversibilidad del pensamiento.

Comprobar las soluciones en la ecuación original nos ayuda a estar seguros de que hicimos todo bien y nos recuerda lo que significa resolver una ecuación: encontrar el valor de la incógnita para el cual se cumple la igualdad.

Quizá no debería escribir esto, pero… si recordamos ese concepto, en un examen de opción múltiple de solución de ecuaciones, podríamos probar todas las opciones de respuestas en la ecuación que nos dan, para encontrar la correcta, en vez de resolverla. No digo que debamos hacerlo, sólo que podemos. Y, como profesora, si un alumno emplea esa técnica, lo que me está demostrando es que comprende lo que significa resolver una ecuación, lo cual me da mucho gusto.

Como siempre, gracias por leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les pueda ser útil lo que aquí publico. Por favor escríbanme si tienen alguna duda y si quieren sugerirme temas que deseen que aborde en futuras entradas del blog.

Rebeca

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