¿Cuál es nuestro interés principal cuando diseñamos una actividad matemática? ¿Practicar el tema del día? ¿Cubrir el contenido del programa? ¿Preparar a los alumnos para un examen?

¿Qué pasaría si le diéramos un propósito más ambicioso a las actividades que realizan nuestros alumnos en clase?

Una intención que las haga más eficientes…

Había escrito previamente una entrada sobre cómo hacer preguntas con intención didáctica clara, que va en este mismo sentido (ver aquí). Revisaremos en esta entrada más ideas que pueden ayudarnos a crear actividades con una intención didáctica más amplia, que permitan aprovechar mejor el tiempo que los alumnos emplean en realizarlas. 

Los ingenieros industriales aprendemos en la carrera la importancia de buscar que los procesos sean eficientes, esto es, que se logre más con lo mismo, lo mismo con menos o, mejor aún, más con menos.

Aunque la educación es algo muy distinto a un proceso industrial, considero una buena idea analizar los conceptos pedagógicos disponibles para encontrar aquellos que fomenten la eficiencia en el aprendizaje. ¿Cómo diseñar y aplicar actividades matemáticas que logren más y mejor aprendizaje en el tiempo disponible (que suele ser escaso)?

Objetivo importante

Antes de presentarles otras ideas, quiero mencionar algo que me parece relevante. Considero que un objetivo importante de cualquier actividad que realicemos en la materia de matemáticas, aunado al propio del tema, debería ser mejorar nuestra relación con esa materia.

Viktor Frankl en su libro El hombre en busca de sentido afirma que nadie puede quitarle al hombre la libertad de elegir su propia actitud ante las circunstancias. Por lo tanto, nadie puede obligarnos a ver las matemáticas de forma positiva o negativa. Nosotros elegimos la actitud con la que nos relacionamos con ellas. Sin embargo, no todas las personas son conscientes de esa libertad de elección, menos aún los niños, por lo que los profesores y papás somos los que estamos en la posición de mejorar nuestra relación personal con las matemáticas, para después apoyar a nuestros hijos y alumnos en ese sentido.

Escribí un pequeño artículo al respecto, titulado “Los números y la paz”, en una revista digital, pueden encontrarlo en este enlace, en la página 24.

Preparar el terreno

Considero importante invertir un tiempo, al inicio del curso, en que se comprenda tanto el por qué se estudia matemáticas en la escuela como el que todos podemos aprenderla.

¿Para qué me va a servir esto en la vida? ¿Cuántas veces hemos escuchado (¡o hecho!) esa pregunta?

Las ideas más sensatas que he escuchado para contestarla van en este sentido:

Lo que estamos practicando hoy no sólo nos “va” a servir en un futuro, nos está sirviendo hoy. Hacer matemáticas conecta neuronas en nuestro cerebro y, mientras más neuronas tengamos conectadas, nuestra capacidad de pensar mejora. No mañana ni la próxima semana. Mejora hoy.

Si lo que hacemos nos resulta muy sencillo, entonces no surge ninguna conexión nueva en nuestro cerebro. Como al hacer ejercicio físico, la actividad mental debe representar un reto alcanzable para ser útil. Además, el cometer errores pensados (no por descuido) también produce conexiones neuronales, así que, en cuanto a incremento en la cantidad de conexiones en nuestro cerebro, contestar correctamente pero sin esfuerzo es menos útil que contestar erróneamente pero habiendo dedicado un tiempo a pensar.

La gran mayoría de las personas es capaz de formar nuevas conexiones neuronales y, por tanto, de aprender lo que se proponga. No existe tal cosa como el “cerebro matemático” y eso se les puede mostrar a los alumnos asignándoles actividades que les permitan demostrarse a sí mismos que sí pueden aprender.

Además, con las actividades adecuadas, podemos desarrollar nuestro pensamiento lógico matemático (ver más aquí y aquí), lo cual nos vuelve más difíciles de manipular y más capaces de aprender ésta y otras materias.

Proponer problemas que sean lógicos en cuanto a su planteamiento y resultado, ya dentro del desarrollo de la clase, ayudará a los alumnos a entender que uno de los fines de la materia es aprender a resolver problemas de todo tipo, aunque no haya forma de saber en su etapa escolar con qué clase de problemas se toparán fuera de la escuela. Por ejemplo, los problemas de área pueden servirnos cuando vamos a cotizar un trabajo de pintura, de pegado de azulejos o de puesta de pasto en rollo. Haciendo el cálculo nosotros mismos nos aseguramos de que nos cotizan correctamente.

Este apartado empieza con la palabra “invertir”, dado que el momento empleado en lograr que los alumnos se den cuenta de que tener clase de matemáticas tiene muchos aspectos positivos y, con ello, enfrenten las tareas matemáticas con la mentalidad adecuada, hará que aprendan más y mejor en el mismo tiempo.

(Esta sección es una mezcla de lo que han dicho Eduardo Sáenz de Cabezón en las conferencias que ha dado y que están en You-Tube, lo que mencionan Carol Dweck y Jo Boaler en el libro Mathematical Mindsets y mi propia forma de ver las matemáticas)

Actividades para el desarrollo del sentido numérico

El sentido numérico nos permite estar tan familiarizados con los números, la manera en que se forman y las relaciones entre ellos, que podemos saber cómo realizar el mismo cálculo mediante distintos procedimientos y podemos escoger el más eficiente de esos procedimientos dentro de una actividad más compleja.

Dedicar unos minutos en el inicio de la clase para practicarlo calienta motores, pone los alumnos en modalidad matemática y, a la vez, los va haciendo más hábiles cada vez para elegir las mejores formas de hacer cálculos.

El grado de dificultad de la actividad depende del nivel del grupo. Presentaré aquí algunos ejemplos:

Preguntar una multiplicación a cada alumno, o que uno le pregunte al que sigue, éste conteste y le pregunte otra al que sigue y así hasta llegar al final. Ver más sobre las tablas de multiplicar, para tomar ideas sobre cómo preguntar, aquí y aquí.

Preguntar cómo puede formarse un número que les damos, por ejemplo el 24, y poner algunas restricciones para hacerlo: usar fracciones, usar decimales, usar enteros, usar algún número negativo, etcétera. Ver que todos den una respuesta distinta, en la medida de lo posible.

Numerar a los alumnos y pedirles que se unan y determinen una operación con la cual se logra un número que les damos. Si fuera el 24, se pueden reunir el 4 y el 6 y decir que la operación es multiplicación, o el 2 el 3 y el 6 y decir que se suman el 6 más el 2 y el resultado se multiplica por el 3. Pueden numerarse del 1 al 10 y repetir, o corrido hasta el total de alumnos, lo cual lleva a diferentes manejos. Si fueran 23 pudieran llegar a la conclusión de que lo más sencillo es acomodarse por parejas: 23 + 1, 22 + 2, 21 + 3… lo cual es una deducción muy interesante.

Esta última es una actividad un poco más tardada y se corre el riesgo de que se quede algún alumno sin compañero para formar el número (o varios que no logren formarlo entre sí). Una opción es decir que el profesor (o algún estudiante así elegido) es un número “comodín” y que el o los alumnos que no tengan equipo pueden asignarle el valor que necesiten para terminar el juego.

Pueden ver las dos entradas que he escrito sobre sentido numérico aquí y aquí.

Actividades de alcance amplio

Son actividades que pueden realizar al mismo tiempo alumnos con distinto nivel de habilidad y que, por tanto, ayudan, además de aprender el tema trabajado, a mejorar la autoestima y la relación con las matemáticas.

La segunda y tercera actividad anteriores pueden considerarse de ese tipo, dado que, en ambas, un alumno en proceso de volverse hábil puede escoger operaciones sencillas para formar el 24, como 20 + 4 y otro que es más hábil puede escoger operaciones más complejas, como 2³⋅ 3. Al escuchar las opciones que dan los demás, todos pueden expandir su forma de pensar y aportar ideas más complejas en oportunidades posteriores.

Otra opción es pedirles que planteen un problema en el que la respuesta sea: siete estrellas. Se presta para planteamientos muy sencillos y también para otros muy complejos, por lo que es un reto alcanzable e interesante para todos.

(Las actividades de alcance amplio están inspiradas en las actividades de piso bajo – techo alto que presenta Jo Boaler en su serie de libros Mindset Mathematics)

Actividades contrastadas

Es más sencillo distinguir algo cuando está contra un fondo contrastante. Entrenarnos para distinguir las características de los ejercicios matemáticos, lo que hace distinto a un ejercicio de otro, nos puede ayudar más allá del salón de clases, pues nos vuelve observadores de los detalles.

Conviene, por tanto, contrastar cualquier concepto (o proceso) nuevo con conceptos/procesos que ya se conocen, identificando claramente las diferencias entre uno y otro. Además, conviene evitar poner sólo ejercicios del concepto/proceso recién aprendido, porque eso puede llevar a que el alumno conteste en automático. Si, en cambio, se combinan ejercicios del concepto/proceso nuevo con ejercicios del concepto con el que se le contrastó, el alumno necesitará practicar la observación de los detalles para decidir cómo contestar el ejercicio.

La elección adecuada de los contrastes y la secuencia de los ejercicios amplía las oportunidades de aprender, al llevar de la mano al alumno mientras avanza en la comprensión de conceptos más complejos, manteniendo siempre el análisis de las características de cada ejercicio como la base para saber cómo responderlo.

Por ejemplo, se contrasta la multiplicación de un número de tres dígitos por uno de un dígito, con la de un número de tres dígitos por uno de dos dígitos, con la de un número de tres dígitos por otro de tres dígitos. ¿Qué es similar? El multiplicando. ¿Qué es distinto? El multiplicador. ¿Qué implicaciones tiene? En el primer caso, no se requiere sumar, en el segundo y en el tercero, se va multiplicando por cada dígito del multiplicador, acomodándolo según la notación posicional (ver más aquí) y, posteriormente, se suma. Al practicar,  conviene incluir, mezclada con lo demás, una suma o una resta que se vea casi igual, con el operador como única diferencia. Si los alumnos se acostumbran a que mezclamos ejercicios, se acostumbrarán también a observar con cuidado antes de contestar.

Otros contrastes pueden darse al pedirle a los alumnos que resuelvan un mismo ejercicio por dos procedimientos distintos y que identifiquen cuál es el que les parece más eficiente.

(Las actividades contrastadas están inspiradas en la Teoría de la Variación que presenta Ference Marton, en su libro Necessary Conditions of Learning)

Actividades transversales

Es combinar el aprendizaje de un tema de matemáticas con el de otra materia.

Por ejemplo, al proponer problemas escritos, podemos usar sinónimos en la redacción, para que los alumnos amplíen su vocabulario:

Un aljibe (cisterna/depósito de agua) con capacidad de 15 000 litros está a 2/3 de su capacidad. ¿Cuántos litros contiene?

Otros ejemplos:

Comprensión de la historia (eventos que precedieron a otros) mediante el ordenamiento de eventos por fechas. Entender que no pudieron pasar ciertos eventos sin que otros hubieran pasado.

Comprensión de fenómenos naturales, como el hecho de que la escala con la que se miden los terremotos, escala de richter, es logarítmica, no lineal y las implicaciones de ello.

Comprensión de que ciertas unidades están en proporción directa: 1 pulgada = 2.54 cm y otras no: Celsius = (Farenheit – 32 ) * 5/9. Es implica que, para ciertas conversiones se puede usar regla de 3: ¿Si 1 pulgada son 2.54 cm, cuántos cm son 28 pulgadas? (ver más sobre regla de 3 aquí y aquí) y para otras no.

Teniendo la mente abierta al diseñar las actividades, se pueden encontrar más ideas para hacerlas transversales. En las materias como física, química, probabilidad y estadística, etcétera es más fácil hacer notar que las matemáticas funcionan como el eje que permite describir y resolver situaciones relacionadas con los fenómenos correspondientes. Podemos simplemente usarlas para ello, o llamar la atención más específicamente sobre el tipo de ejercicio de matemáticas que estamos usando en otras materias, para mejorar la conexión entre los conocimientos de los alumnos.

Para cerrar

El día de ayer este blog cumplió ¡seis meses! de haber salido a la luz. Hoy se publica la entrada número 27, múltiplo de 9, número que me agrada por encima de los demás, dadas sus características, sobre las que escribí en la novena entrada (ver aquí). Por ello decidí escribir algo un poco diferente, centrado más en la pedagogía de las matemáticas que en cómo enseñar-aprender un tema específico.

Dedico esta entrada a mis amigos ingenieros industriales, que, como yo, van por la vida analizando procesos de todo tipo para hacerlos más eficientes. En especial a uno, que me ayudó a darle forma a este proyecto y me ha acompañado su evolución desde entonces. Muchas gracias, Pepe.

Y muchas gracias a los lectores por leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les puede resultar útil lo que comparto. Subir estas ideas a una página web es una manera eficiente de ponerlas a disposición de quien las necesite, en el momento en que las necesite. Pueden escribirme para sugerirme abordar algún tema o profundizar en algo sobre lo que ya haya escrito. También para compartir con los demás lectores sus ideas sobre actividades que lleven a aprendizajes eficientes.

Hasta la próxima semana.

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas dos páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: https://pixabay.com/   y    http://webresizer.com/