Esta es la entrada doble 295 y 296 de este blog. Se publica el 20/09/2023, que es un «día 9» porque sus dígitos sumados hasta que quede solo un dígito dan 9: 2+ 0 + 0 + 9 + 2 + 0 + 2 + 3 = 18 -> 1 + 8 = 9. El nueve es un número que me gusta más que los demás (ver por qué aquí).

Es una entrada doble porque la semana pasada fue algo caótica y no me di el tiempo para compartirles una reflexión que me interesaba compartir y que justo hoy, en la semana 296 de publicación de este blog, queda muy bien:

Como múltiplos de 9, o números cuya raíz digital es 9, solo son uno de cada nueve números, me agradan también los múltiplos de 3, que son mucho más numerosos (el triple).

Revisando unas cantidades por ahí me di cuenta de un simpático patrón relacionado con los múltiplos de 3; esto es, con los números que son divisibles entre 3 (ver más sobre divisibilidad aquí):

La suma de cualquier par de números consecutivos, ninguno de los cuales sea múltiplo de tres, es un múltiplo de tres.

Por ejemplo, ni 295 ni 296, los números de esta entrada doble, son múltiplos de tres, sin embargo su suma, 591, sí que lo es, pues su raíz digital es 5 + 9 + 1 = 15 -> 1 + 5 = 6, que es divisible entre tres.

Eso es todo.

¿Sirve para algo? No lo sé. Me alegró el día descubrirlo, así que al menos para eso sí sirvió.

¿Tiene una explicación? Sí, pues entre un múltiplo de 3 y el siguiente solo hay dos números, uno que es mayor en una unidad y otro que es mayor en dos unidades. Al sumarlos, la diferencia acumulada con el múltiplo de tres anterior es… ¡tres!, por tanto, la suma también es múltiplo de tres. Generalizando:

Si a es un múltiplo de 3, los siguientes dos números serían a+1 y a+2.

Si los sumamos obtenemos: a+1+a+2 = 2a + 3, que también es múltiplo de 3

El ejemplo con el que me di cuenta fue con 7 y 8: si sumamos 7 + 8, que son los dos números (no múltiplos de 3) que hay entre 6 y 9 (que sí son múltiplos de 3), obtenemos 15, que sí es múltiplo de 3.

Y… ¿qué creen?

También funciona si se suman los 4 números que hay entre dos múltiplos de 5: la suma da otro múltiplo de 5.

Y la razón es la misma:

Si b es múltiplo de 5

b+1+b+2+b+3+b+4 = 4b+10

Y también si se suman los 6 números que hay entre dos múltiplos de 7:

Si c es múltiplo de 7

c+1+c+2+c+3+c+4+c+5+c+6 = 6c+21

Vaya… esto se pone cada vez más interesante, porque después de ver que pasa con los primeros tres números nones mayores a uno (aunque no con los pares) uno se puede preguntar si hay una explicación y ¡claro que la hay!

¿Recuerdan que a Gauss se le atribuye una historia en la que dio el resultado de la suma de los números del 1 al 100 de manera casi instantánea?

La manera de llegar a esa suma puede expresarse de diferentes formas, pero una es:

La suma de los números de 1 a n está dada por (n)(n+1)/2

Si se fijan en los ejemplos anteriores, el número que está en verde es la suma de todos los números desde 1 hasta el anterior a «a», «b», «c»…, según sea el caso, que, como a, b, y c son nones, es un número par. Dicha suma, si vemos la fórmula anterior, será múltiplo de el número a, b, c… por ser (n+1).

Esto es: el factor «n», al ser par, se simplifica entre 2 y el factor «n+1» queda intacto y hace que esa suma sea múltiplo de «n+1» siempre.

Por eso solo funciona con los números nones, pues con los pares la suma de los números entre dos múltiplos de un número par es múltiplo del número anterior:

Probemos: según el enunciado anterior, la suma de los números entre 20 y 24 (ambos múltiplos de 4) será múltiplo de 4-1, es decir, de 3:

21 + 22 + 23 = 66 ¡cierto!

Y la suma de los números entre 16 y 24, ambos múltiplos de 8, debe ser múltiplo de 7:

17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 = 140 ¡también es cierto!

Aunque… la forma generalizada funciona ligeramente diferente. Veamos el primer caso:

d es múltiplo de 4

d + 1 + d + 2 + d + 3 = 3d + 6 -> aquí el número completo es múltiplo de 3 por el coeficiente de la «d», no por la «d» en sí, como en los ejemplos con nones.

Vaya… creo que es la primera entrada que la escribo redactando directamente mi proceso de pensamiento conforme se va generando, sin mayor reestructuración. Al iniciar solo tenía la idea de los múltiplos de 3 y ya vieron hasta dónde llegamos. Si alguna parte resultó demasiado confusa, ¡pregunten sus dudas en los comentarios!

¿A poco no es hermoso ir buscándole «tres pies al gato» a los patrones que descubrimos?

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD1: Quiero agradecer a esta página en la que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay