Divisibilidad y divisores (parte 1)

Ésta es la entrada 96 del blog. 96 es divisible entre 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 y 96. Para ser un número tan pequeño, tiene muchos divisores, ¡doce!

De hecho, es el número más grande, menor a 100, que tiene doce divisores (ningún número menor a 100 tiene más de doce divisores), pero la razón original por la que decidí escribir acerca de divisores y divisibilidad es que Daniela, de Uruguay, me compartió hace poco la noticia de que un jovencito de 12 años, Chika Ofili, había descubierto una nueva forma de determinar si un número es divisible entre 7 o no.

Pensé entonces en recopilar y tratar de explicar los principales criterios de divisibilidad.
Considero que, para el trabajo regular de clase, con tener claras la divisibilidad entre 2, 3 y 5 puede ser suficiente. Conocer el resto ayuda más bien a dominar con más profundidad las características de nuestro sistema numérico decimal.

¿Qué es un criterio de divisibilidad?

Es una regla que permite determinar, sin necesidad de realizar la división, si un número entero puede dividirse entre otro número entero, dando por resultado también un número entero.

Revisando información para escribir esta entrada, observé que hay definiciones más simplistas, que considero que dejan fuera información importante.
Si decimos, por ejemplo, que un criterio de divisibilidad “sirve para saber si un número puede dividirse entre otro, sin realizar la división”, dejamos fuera una información crucial: los tres números deben ser enteros.

¿Cuáles son los criterios de divisibilidad más relevantes?

Reitero que, desde mi perspectiva, es muy importante que se conozcan muy bien los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5 para poder realizar la mayoría de la matemática escolar.

Los criterios de divisibilidad entre otros números son interesantes más bien como habilidad aritmética específica, como una curiosidad, digamos.

Es decir, son interesantes y ayudan, por ejemplo, a entender los patrones de comportamiento de las tablas de multiplicar, pero con la ubicuidad de las calculadoras ya no es tan relevante saber de memoria todos los criterios de divisibilidad.

Como en este blog nos encanta detectar patrones, revisaremos todos los criterios de divisibilidad de los que tengo conocimiento.

Divisibilidad entre dos

Es la más sencilla de todas. Todos los múltiplos de dos son pares y, por tanto, todos los números pares son divisibles entre dos.

Para que un número sea múltiplo de dos, basta con que su última cifra (la de las unidades) lo sea, sin importar cómo sean el resto de las cifras.

78 es múltiplo de dos porque termina en 8.

Divisibilidad entre tres

Si observamos la tabla del tres, notaremos algo que ocurre en todos los resultados: la suma reiterada de las cifras (hasta que quede una sola cifra), siempre es 3, 6 o 9, es decir, siempre es múltiplo de tres.

Por lo tanto, para saber si un número es múltiplo de tres, lo único que necesitamos hacer es sumar todas sus cifras reiteradamente, hasta que quede una sola cifra, la cual revisaremos. Si es 3, 6 o 9, el número original es múltiplo de tres. La cifra final no es relevante.

78 es múltiplo de 3 porque 7 + 8 = 15 y 1 + 5 = 6, que es múltiplo de tres.

Divisibilidad entre cinco

Nuevamente revisemos la tabla correspondiente, la del cinco. Notaremos que todos los resultados terminan en 0 o en 5. Por lo tanto, para determinar si un número es múltiplo de cinco, basta con revisar su última cifra (la de las unidades). Si es 0 o 5, el número es múltiplo de cinco.

75 es múltiplo de 5 porque termina en 5.

Divisibilidad entre nueve

Es algo similar a la divisibilidad entre tres, sólo que, en este caso, la suma de las cifras debe ser múltiplo de nueve.

La divisibilidad entre nueve se coló en este apartado pues, aunque menos usada, es muy sencilla de determinar. Además, el nueve es mi número favorito, por tener muchas peculiaridades matemáticas. Pueden ver más sobre el nueve aquí.

Vemos ahora otras divisibilidades sencillas de determinar.

Divisibilidad entre seis

La divisibilidad entre seis, dado que 2 x 3 = 6, implica que el número se divisible entre dos y entre tres al mismo tiempo. Esto es, que la suma reiterada de sus cifras sea múltiplo de tres y que la última cifra sea par.

El 78, por ser múltiplo de 2 y de 3, también es múltiplo de 6.

Divisibilidad entre diez

En teoría sería algo similar a la divisibilidad entre seis. Para que un número sea divisible ente diez debe ser divisible al mismo tiempo entre dos y entre cinco. Como ambos criterios de divisibilidad implican solamente revisar la última cifra, será divisible entre diez aquel número que termine en 0 (la única cifra final, entre 5 y 0, que es par).

El 70 es múltiplo de 10 por terminar en cero.

Divisibilidad entre dieciocho.

Ésta es poco común de buscar, pero podemos extrapolarla de las anteriores. Si la divisibilidad entre 10 depende de que el número sea divisible entre 2 y entre 5 al mismo tiempo y la divisibilidad entre 6 depende de que el número sea divisible entre 2 y entre 3 al mismo tiempo, la divisibilidad entre 18 depende de que el número sea divisible entre 2 y entre 9 al mismo tiempo.

162 es múltiplo de 18 porque es par y sus cifras suman 9.

Y así con los todos los números para los que conozcamos los criterios de divisibilidad de sus factores.

Divisibilidad entre potencias de dos.

Para comprender la divisibilidad entre 4 podemos, nuevamente, revisar la tabla correspondiente.

Dado que 100 es múltiplo de 4, que 4 es potencia de 2 y que la divisibilidad entre dos se determina revisando la última cifra, podemos determinar la divisibilidad entre cuatro revisando solamente las últimas dos cifras.

Primero se revisa la última cifra, la cual debe ser par para que haya alguna posibilidad de que el número sea múltiplo de 4. Si es par, se usa el siguiente criterio:

Si la última cifra es 0, 4 u 8, la penúltima debe ser par para que el número sea divisible entre 4.

Si la última cifra es 2 o 6, la penúltima debe ser non para que el número sea divisible entre 4.

Y para la divisibilidad entre 8 necesitamos revisar lo que pasa con la tabla del 8 hasta el 25. Así notaremos que no es suficiente con revisar las últimas 2 cifras, pues 100 no es múltiplo de 8.

Como 1000 sí es múltiplo de 8, entonces necesitamos revisar las últimas 3 cifras.

Yo recuerdo de pequeña que me enseñaron a tomar esas tres cifras y dividirlas entre ocho para ver si daba exacto y entonces determinar si el número era divisible entre ocho. También para la divisibilidad entre cuatro, tomaba las últimas dos cifras y las dividía entre cuatro. No recuerdo que me hayan enseñado el patrón que acabo de compartir.

Veamos si hay alguna manera diferente de determinar la divisibilidad entre ocho:

Revisando la tabla, noté que, si la cifra de las centenas es par, se requiere que las últimas dos cifras sean múltiplo de ocho (y, por tanto, de cuatro). En cambio, si la cifra de las centenas es non, se requiere que las últimas dos cifra sean múltiplo de cuatro, pero NO de ocho. Como justo acabamos de ver la divisibilidad entre cuatro, tenemos todos los elementos necesarios para determinar la divisibilidad entre ocho.

4392 es múltiplo de 8 porque la cifra de las centenas es non y 92 es múltiplo de 4 pero no de 8.

4664 es múltiplo de 8 porque la cifra de las centenas es par y 64 es múltiplo de 8.

La divisibilidad entre 16 implica revisar las últimas cuatro cifras y no es tan sencillo de observar un patrón como en las dos anteriores, así que no la incluiremos aquí.

¿Y la divisibilidad entre 32? Adivinaron. Se requieren revisar las últimas cinco cifras.

¿Por qué ocurre eso?

Porque 10/2 = 5, no se puede volver a dividir entre 2 de forma exacta,
100/4 = 25, tampoco se puede volver a dividir entre 2 de forma exacta,
1000/8 = 125, tampoco
10000/16 = 625, adivinaron, tampoco
100000/32 = 3125…

Noten cómo siempre queda un 5 al final, que, al no ser par, no permite una nueva división exacta. Los resultados consecutivos mostrados surgen de dividir entre 2 y multiplicar por 10 una y otra vez.

Para cerrar

Por escasez de tiempo voy a dejar hasta aquí la entrada de hoy. Hoy dividimos brownies, ya veremos qué dividir la siguiente semana, en la que compartiré otros criterios de divisibilidad interesantes.

Quiero agradecer a Kike por compartirme la siguiente información sobre el número 96:

96 es el segundo número mas pequeño que tiene 6 factores primos: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3

96 es la temperatura del cuerpo humano en grados Farenheit

96 es el número más pequeño que puede ser escrito como la diferencia de dos cuadrados de 4 formas distintas

La distancia aproximada entre Saturno y el Sol es 96 unidades astronómicas

Como siempre, gracias por leer, comentar y compartir.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

Un comentario en “Divisibilidad y divisores (parte 1)

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