Límite de una función: ¿cómo entenderlo y qué cuidados tener al determinarlo? (segunda parte)

 

Como dice el título, ésta es la segunda entrada, de dos, dedicada al tema de límites de funciones. En la primera (ver aquí) revisamos las distintas formas de ver un límite, las dificultades para comprender adecuadamente este tema y la determinación de límites a partir de la gráfica de una función y de aproximaciones sucesivas de sus valores.

writing-828911_1280_optEsta entrada la dedicaremos a analizar y contrastar distintos casos a los que nos podemos enfrentar al determinar límites de forma analítica (sin depender de las gráficas), incluyendo límites infinitos y al infinito, que ni con un telescopio podríamos verles el final (de ahí la imagen que encabeza este texto). El alcance de esta entrada serán las funciones polinómicas, racionales, radicales, exponenciales y logarítmicas sencillas.Leer más »

Límite de una función: ¿cómo entenderlo y qué cuidados tener al determinarlo? (primera parte)

Ésta es la entrada número 51, la última antes de que el blog llegue a 52 semanas publicándose y nos preparemos para soplar la vela de su primer cumpleaños. Al pensar en algo a lo que nos estamos acercando, me llegó a la mente el concepto de límite que se usa en Cálculo Diferencial e Integral y decidí escribir sobre eso en esta entrada y la siguiente.

Considero que con el concepto de límite pasa algo similar a lo que ocurre con los conceptos de sucesión, serie y patrón (ver más aquí y aquí). Son conceptos que permiten interpretaciones que pueden resultar muy diferentes. Es decir, en el lenguaje coloquial significan algo que nos dificulta entender lo que significa en el lenguaje matemático.

hatena-1184896_1280_optPor ello debemos tener diversos cuidados al entender, aprender y enseñar los conceptos y procedimientos relacionados con límites en matemáticas. En la entrada de hoy revisaremos las dificultades a las que solemos enfrentarnos para poder entender este concepto, así como las bases para sí lograr entenderlo adecuadamente. En la siguiente complementaremos con los distintos casos que necesitamos identificar al momento de determinar los límites y la forma de trabajar en cada uno.

Esta entrada va dedicada a mis 51 alumnos de Cálculo Diferencial e Integral que comienzan semestre el próximo lunes. Bienvenidos al curso.Leer más »

Sistema binario de numeración: operaciones aritméticas y un truco de adivinación de números

En la entrada pasada (ver aquí) revisamos cómo convertir un número expresado en el sistema numérico decimal a uno expresado en el sistema binario de numeración, tanto para cantidades enteras como no enteras.

calculator-1432526_1280_optEn esta entrada veremos cómo hacer operaciones aritméticas con números expresados en sistema binario y algunas curiosidades sobre este sistema de numeración, incluyendo un truco de adivinación de números basado en las propiedades del mismo. Sigan leyendo para conocerlo.Leer más »

Sistema binario de numeración: características y conversiones de y hacia el sistema de numeración decimal

binary-code-574727_1280_optEl sistema numérico decimal (ver más aquí), que usamos todos los días, al ser posicional, facilita sobremanera la forma de escribir y hacer operaciones matemáticas. De hecho, el desarrollo fuerte de las matemáticas sólo fue posible hasta que se empezó a usar dicho sistema. A los humanos nos resulta natural su uso, por estar basado en el hecho de que tenemos 10 dedos y que es factible para nosotros distinguir fácilmente entre las 10 cifras que lo componen (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9). Sin embargo, darle a entender a las computadoras la numeración base diez no resultó tan sencillo. Ellas lo que entienden muy bien es: encendido/apagado o abierto/cerrado, alto/bajo voltaje y otras combinaciones de dos estados mutuamente excluyentes, como las cifras 0 y 1.

Dado lo anterior, resulta relevante entender cómo funciona el sistema de numeración binario, cómo se hacen conversiones del sistema decimal al binario y viceversa, cómo se hacen operaciones con números en binario y, ¿por qué no? algunas curiosidades y aplicaciones interesantes de esta importante forma de escribir cantidades. Por la amplitud del tema, y para que combine con la base dos de este sistema, le dedicaré dos entradas.Leer más »

Preguntas que desafían y fortalecen el pensamiento lógico matemático y preguntas que lo desconectan

Mi experiencia docente me ha llevado a concluir que los dos pilares de una buena relación de las personas con las matemáticas son el pensamiento lógico matemático (ver más aquí y aquí) y el sentido numérico (ver más aquí y aquí). Por ello he escrito esas cuatro entradas y muchas secciones de otras entradas de este blog orientadas al desarrollo de ambos pilares.

question-2309042_1280_opt.jpgPor medio de las preguntas que hacemos (ver más sobre preguntas con intención didáctica clara aquí) podemos desafiar y fortalecer el pensamiento lógico matemático en nuestros hijos y alumnos, o podemos forzarlos a desconectarlo, debido a que responder la pregunta implica salir del mundo real y entrar a un mundo irreal en el que la respuesta matemática es correcta, aunque no sea una verdadera solución al problema planteado, en el sentido de que no sería lógico que ocurriera en la realidad.

Hoy revisaremos algunos ejemplos de ambos casos.Leer más »

Otras desigualdades y sus cuidados: dobles, con valor absoluto y racionales

pay-919676_640_opt.jpgYa hemos revisado las desigualdades lineales en la entrada 35 (ver aquí) y las desigualdades cuadráticas en la entrada 37 (ver aquí). Quedaban pendientes algunas desigualdades dobles, las relacionadas con los valores absolutos y las racionales, que revisaremos en esta entrada, la 39. Normalmente escribo las entradas referentes al mismo tema de forma consecutiva, pero la situación con las desigualdades resultó ser… desigual, dado que se atravesaron oportunidades intermedias de escribir sobre otros temas importantes y fue necesario saltar un poco con este tema.

A propósito del tema, en ocasiones encontrar una imagen gratuita para encabezar la entrada semanal parece más complicado que escribirla. Buscaré aprender a dibujar para crear aquello que no encuentre. Mientras tanto, aprovecho los interesantes resultados que las búsquedas “infructuosas” me dan. Por ejemplo, la imagen de hoy no sólo está descentrada (desigualmente distanciada de cada lado) sino que se refiere a un camino desigual y tiene relación con lo que revisaremos, porque estaremos comparando la resolución de ecuaciones (camino conocido, más parejo) con la resolución de desigualdades o inecuaciones (camino menos conocido, disparejo, desigual), para que quede más claro qué parte de lo que se aplica en un proceso de solución sirve para el otro y qué parte no. Eso nos ayudará a evitar cometer errores.

La cantidad de aspectos que deben tomarse en cuenta en las desigualdades condicionales, o inecuaciones, es grande. Trataré de abarcar la mayoría a lo largo de distintos ejercicios, aunque no presente todas las combinaciones posibles, para evitar que esta entrada quede demasiado larga. Con ese mismo objetivo, retomaré algunos conceptos de las dos entradas pasadas sin volver a explicarlos aquí, dado que pueden ser consultados allá en caso de duda.Leer más »

Desigualdades cuadráticas ¿qué cuidados tener al resolverlas?

anders-1022316_1280_opt.jpgCuando un tema es muy extenso, lo separo en dos o más entradas, que regularmente publico de forma consecutiva. Sin embargo, la situación con el tema de las desigualdades resultó… desigual. Esto se debe a que la primera parte fue la entrada 35 (ver aquí) y la segunda será la entrada 37, dado que se atravesó entre ellas (así como el simpático pato blanco de la imagen) la entrada 36 que, por ser múltiplo de 9, fue especial. Me encanta el número 9 (ver por qué aquí) y cada 9 entradas escribo algo especial. La 36 la dediqué al liderazgo en el salón de clases de matemáticas (ver aquí).

Retomando las desigualdades, en la primera parte vimos tanto las aritméticas, entendiendo cómo hacer ciertas comparaciones entre los números, como las algebraicas básicas. Veremos hoy, principalmente, las desigualdades cuadráticas. Por eso incluí, como imagen principal, dos cuadrados de tamaño desigual que me encantaron cuando los vi.Leer más »