«La» proporción áurea realmente son dos

Esta es la entrada 256 de este blog. La escribo el día en que mi nuevo amigo, Manuel, me regaló una edición en pasta dura de «La proporción áurea» de Mario Livio. Al comentar cuál es el valor de phi (la susodicha proporción áurea), yo empecé a decir: uno punto… y él se sorprendió, pues recordaba haber visto que el valor era menor a uno.

Entonces le expliqué que «La» proporción áurea no es un único valor, pues tiene un comportamiento que podría considerarse mágico y que, representado algebraicamente, se llega a una ecuación cuadrática con dos resultados distintos. Y le mostré la entrada que escribí al respecto hace mucho, mucho tiempo. Fue la entrada 9 de este blog, dedicada a la par al número 9 y a phi. Pueden ver todos los detalles sobre ambos números aquí.

Gracias por el libro, Manuel.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

Dentro del zapato

Esta es la entrada 253 de este blog. Releyendo por enésima vez las tiras de Mafalda me encontré con esta:

Me dio mucha ternura ver cómo a Manolito se le complica hacer el cálculo por falta de dedos (aunque hubiera tenido 10, faltaban más de 10 días para Navidad).

Entonces recordé que en otra tira el mismo personaje había duplicado su capacidad de cálculo con solo cambiar sus zapatos por sandalias:

Permitamos que nuestros hijos y estudiantes usen los dedos mientras los necesiten, pues es el material concreto más práctico de usar, pero acompañémoslos para que pronto memoricen los resultados de las sumas y restas básicas y traer sandalias deje de ser necesario.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

PD0. Las imágenes de las tiras de Mafalda las obtuve de aquí.

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El promedio oculta el detalle

Esta es la entrada 245 de este blog. La escribo mientras analizo los resultados obtenidos en el diagnóstico que aplicamos a las cinco escuelas que estaremos apoyando en el proyecto de Escuela en Comunidad (ver más aquí). Hay mucho por reflexionar al respecto, pero lo que quiero compartir aquí es que, si solo le entrego al docente el promedio obtenido por sus alumnos, realmente no le estoy diciendo nada útil.

Lo que sí puede servirle es mostrarle el detalle alumno por alumno, reactivo por reactivo, luego un resumen por reactivo y por alumno, para identificar los alumnos que necesitan más ayuda y los temas que necesitan reforzarse. Y al final, solo al final, y a quien así lo necesite, el promedio por grupo, por grado, por escuela y por el programa completo. Cada nuevo promedio va ocultando detalles de la capa anterior, pero es necesario para entregar una información más compacta y global a las personas que están más lejos de los estudiantes, que son los que coordinan el programa.

Porque la estadística es la ciencia que dice que, si tú te comiste dos panes y yo me comí cero panes, en promedio nos comimos un pan cada uno y no deberíamos de tener hambre… aunque yo sí estoy hambrienta.

En este mismo sentido recuerdo que hace tiempo me dijeron que preparar la clase para el alumno promedio es prepararla para nadie, porque lo más probable es que ninguno de nuestros alumnos tenga las características exactas del promedio.

Cuidemos con qué información trabajamos, para que sea la que nos ayude a preparar mejor nuestras clases y hacer mejor nuestro trabajo.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

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Una idea para aprovechar la constancia de la resta

Esta es la entrada 244 de este blog. Hace poco escribí en una entrada, «Cuando no sé lo que no sé» (ver aquí), que, aunque los docentes con los que estoy trabajando no mencionan que se les dificulta enseñar la resta con transformación, la realidad es que muchos de sus alumnos no saben contestar ejercicios en los que necesitan transformar. Hoy quiero compartir una idea sobre ese tema que puede resultarles útil.

Hace mucho tiempo escribí una entrada sobre sumas y restas con transformación, en la que además explicaba cómo usar la constancia de la suma y la resta (ver aquí).

La constancia de la resta es útil para facilitar ciertos cálculos mentalmente. Es la que nos permite «pensar» así:

9 – 3 = 6

Si resto dos al minuendo y al sustraendo, el resultado se mantiene:

7 – 1 = 6

Entonces 75 – 18, quitándole 5 a minuendo y sustraendo son 70 – 13 que son 57.

También podemos hacerlo sumando al minuendo y al sustraendo:

75 – 18, sumándole 2 a minuendo y sustraendo son 77 – 20, que son 57.

Veamos ahora una aplicación útil de la constancia de la resta, para el caso en el que el minuendo tiene solo ceros al final:

6000 –

3795

Le restamos 1 al minuendo y al sustraendo y luego hacemos la resta sabiendo que el resultado será el mismo que en la operación original:

5999-

3794

2205

¡No se necesitó transformar nada!

Por favor, si lo van a enseñar así, expliquen primero por qué funciona, con ejemplos como los que di al principio aquí. La base de este blog es explicar siempre por qué funciona lo que propongo, para que sea más sencillo asimilar y recordar. Esto no es un truco mágico ni un atajo, es solo usar las propiedades de las matemáticas a nuestro favor.

Sigamos fomentando la correcta comprensión de las matemáticas.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

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Sé sumar octavos pero no quintos

Esta es la entrada 241 de este blog. La escribo el día en que realicé un diagnóstico a unos estudiantes recién llegados al nuevo ciclo escolar.

Hubo un reactivo para quinto de primaria en el que se pidió sumar un quinto más dos quintos y una profesora me dijo: «no la pueden contestar porque solo han visto medios, cuartos y octavos».

Una parte de mí entendió la situación: estaba enfrentando a esos pequeñitos a un planteamiento desconocido para ellos.

Y otra parte de mí se entristeció por la situación: no les estaba pidiendo usar un procedimiento nuevo (mínimo común denominador), solo les estaba pidiendo sumar dos fracciones con el mismo denominador, aunque con un denominador diferente a los que habían visto. Para mí sumar un quinto más dos quintos debería ser un reto alcanzable para alguien que ya sumó antes un octavo más tres octavos.

Quizá «en mis tiempos» era un reto alcanzable, pero ahora ya no lo es tanto.

Lo sé… la pandemia.

Ojalá pronto podamos revertir su efecto y lograr que nuestros hijos y alumnos logren el nivel de desempeño que se tendría a su edad antes de la pandemia y también logren extrapolar o aplicar sus conocimientos en contextos ligeramente distintos: que si saben sumar octavos, también sepan sumar quintos.

A trabajar en ello.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

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Ideas con fecha de caducidad

Esta es la entrada 231 de este blog. Quiero compartirles las reflexiones que he tenido sobre las preguntas de «verdadero» y «falso» que incluí en los diagnósticos de tercero y cuarto grado que realicé en una escuela cercana y que fueron contestadas así:

-Al multiplicar dos números de cualquier tipo siempre se obtiene un número más grande que los dos números originales

Solo 6/41 contestaron Falso

-Al dividir un número de cualquier tipo entre otro de cualquier tipo siempre se obtiene un número más pequeño que el primero

Solo 10/41 contestaron Falso

Ambas afirmaciones son falsas, porque al multiplicar por 1/2 se obtiene un número menor y al dividir entre 1/2 se obtiene un número mayor.

Estuve platicando con varias personas al respecto y consideramos que esa concepción equivocada (es una idea correcta mientras se trabaja con números enteros positivos, pero «caduca», deja de ser correcta, cuando el contexto cambia y se extrapola a todo tipo de números) puede venir de las siguientes ideas:

La multiplicación es una suma reiterada (ver por qué aquí), y al sumar enteros positivos siempre obtenemos una cantidad mayor. Por tanto, la multiplicación debe generar un número mayor. (Esta es una forma muy común de introducir la multiplicación, que suele ocurrir cuando el estudiante solo ha trabajado con enteros positivos)

La división es una resta reiterada (ver por qué aquí), y al restar enteros positivos siempre obtenemos una cantidad menor. Por tanto, la división debe generar un número menor. (Sería el equivalente a la idea anterior, a la inversa, aunque es un poco menos común introducir la división así. Suele introducirse como un reparto, cuyo efecto es básicamente el mismo de la resta repetida, si se observa con cuidado)

Confieso que no tengo una idea clara de cómo evitar que se formen estas concepciones en los pequeños, tan dañinas al entrar a los números decimales y a las fracciones.

No sucede como con los números negativos, que, como sugiero en mi libro, cuando un pequeño se los encuentre por casualidad al restar un número entero positivo menos otro más grande, es muy importante evitar decirle que no existen y, en cambio, explicar que se van a aprender más adelante.

Es mucho menos probable que un niño se encuentre por casualidad una multiplicación o división con fracciones antes de tiempo, así que el docente tendrá pocas oportunidades de hablar del tema.

En «conclusión», creo que el docente debe evitar mencionar las generalizaciones que solo funcionan con los enteros positivos, para prevenir que sus estudiantes memoricen esta idea extrapolándola inadecuadamente a todo tipo de números. Y, si acaso algún niño la mencionara, entonces sí se abre una oportunidad de hablar del tema señalando que «más adelante» se verán casos en los que esa generalización deja de ser verdadera.

¿Se les ocurre alguna otra idea para evitar que los alumnos internalicen estas ideas, que luego tendrán qué desaprender cuando empiecen a trabajar con números no enteros? Toda sugerencia es bienvenida.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

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El cero NO es el número más sencillo de todos

Esta es la entrada 223 de este blog. Hace poco en un correo en el que intentaban venderme algo (que ya no recuerdo) mencionaron como si cualquier cosa que el cero era el número más sencillo de todos y… me preocupé.

El cero no es ni por asomo el número más sencillo de todos. Al contrario, es uno de los números más complejos de manejar y por ello le dediqué una entrada entera hace tiempo (ver aquí).

Considero que, mientras mejor conozcamos el cero y sus características, y más temprano se las hagamos ver a nuestros alumnos, les será menos complejo usarlo bien llegado el momento, cuando entren al álgebra, pero, sobre todo, cuando entren al cálculo diferencial e integral, que sin el cero no se pudo haber desarrollado.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

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¿Cuántas jorobas tiene un camello?

Esta es la entrada 204 de este blog.

Mientras pensaba en qué compartirles hoy, me llegó el nuevo video del canal «Derivando», de Eduardo Sáenz de Cabezón, titulado: «El misterioso problema del camello creado de la nada«. Me gustó mucho su enfoque sobre cómo en las matemáticas en ocasiones se requiere usar elementos auxiliares que solo están ahí mientras se resuelve el problema, aunque no forman parte de la solución.

Yo lo muestro en mis clases cuando demuestro el origen de la fórmula general cuadrática (viene en el video) o uso Multiplicadores de Lagrange (los mencionan en el video), pero la idea base del video es un ejemplo genial para entender las aplicaciones de sumas y restas de fracciones, así como la utilidad de conocer sobre múltiplos y divisores.

«Tres hermanos recibieron como herencia 35 camellos. Según la voluntad de su padre, el mayor debía recibir la mitad, el mediano una tercera parte y el pequeño una novena parte de los camellos.»

¿Cómo repartir la herencia dando a cada hermano una cantidad entera de camellos?

Beremiz, el protagonista de «El hombre que calculaba», agrega su camello, hace el reparto y, al final, obtiene su camello de regreso, más un camello extra para su compañero de viaje, dejando a los tres hermanos contentos por haber obtenido más de lo que creían que les tocaba.

¿Cómo pasó eso? Dejo a Eduardo que se los explique en el video.

Al buscar una imagen para ilustrar esta entrada, me surgió la duda (y con ello el título): ¿Cuántas jorobas tiene un camello?

Depende.

Los dromedarios tienen una, los camellos bactrianos dos y los híbridos… una y media.

Pueden leer al respecto aquí.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

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El siete

Esta es la entrada 181 de este blog. Se publica el día siete del mes siete del año tres por siete de este siglo y milenio. Mañana es el día 189 del año y 189 es múltiplo de 9, que me encanta, y también de 7, que es el protagonista de la entrada de hoy.

189 = 7 x 27.

Como verán, sigue gustándome encontrarle relaciones numéricas a todo lo que se me pone por enfrente.

Pensé en escribir que sería una entrada con suerte, pero mis conocimientos matemáticos me recuerdan que el 7 se considera un número de suerte, sí, porque aparece más que los demás al tirar dos dados. Sin embargo, eso no se debe a la suerte, se debe a las probabilidades.

Entre las 36 formas en las que pueden caer un par de dados, 6 corresponden a 7 puntos:

1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1

Ningún otro número puede caer de tantas formas como el 7, así que la probabilidad de que caiga un 7 al tirar 2 dados es mayor que la de que caiga cualquier otro número. (Ver más sobre probabilidades aquí y aquí).

Probabilidad… no suerte.

¿Qué otras características interesantes le conocen al 7?

Hasta el siguiente miércoles.

Rebeca

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