Esta es la entrada 277 de este blog. Como dije la semana pasada, hoy se celebra en México el Día de las Madres, así que las florerías y los restaurantes están llenos de clientes, algunas escuelas lo dedican a festivales y festejos y muchos negocios cierran temprano. Pero aquí estoy yo, publicando como cada miércoles una breve reflexión.

Ya he platicado antes sobre Eduardo Sáenz de Cabezón, un divulgador de matemáticas un tanto complejas. Tiene un video muy interesante que se llama “Las matemáticas nos hacen más libres y menos manipulables”. Lo recordé en estos días porque estoy buscando información sobre las matemáticas y la justicia social y, como Eduardo, considero que unas bases matemáticas decentes nos ayudan a que nos engañen menos (y seamos menos víctimas de injusticias).

Además de los ejemplos que da Eduardo en su video, quiero compartir otras ideas por aquí:

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Esta es la entrada 275 de este blog.

La escribo un día después de que una buena amiga me preguntó que para qué le enseñaban a su hija en la escuela a sumar fracciones con el mismo denominador usando ¡el método mariposa!

Planteamiento:

2 / 3 + 5 / 3 =

Método propuesto:

Para obtener el numerador multiplicar el 3 bajo el 5 por el 2 y el 3 bajo el 2 por el 5 y sumarlos: 3x5+3x2 = 21

Para obtener el denominador multiplicar el primer denominador por el segundo: 3x3 = 9

Resultado: 2 / 3 + 5 / 3 = 21 / 9

Y creo que hasta ahí se quedaban, no simplificaban el resultado.

Mi amiga me decía: ¿para qué usar ese camino tan largo si se pueden sumar el 2 y el 5 y llegar a 7/3 rápidamente.

Respiré para recuperar la calma antes de contestar:

Porque de esa manera solo necesitan enseñar un «camino» (un algoritmo) para cualquier suma o resta de fracciones, sin importar cómo sean los denominadores entre sí (iguales, múltiplos, primos, ninguna de las anteriores).

El método mariposa es un método «todo terreno», admito esa ventaja. Funciona para sumar o restar cualquier «par» de fracciones.

Entre sus desventajas está el hecho de que para sumar o restar más de dos fracciones ya no funciona directamente, sino que se requiere hacer dos o más veces consecutivas. Además, se trabaja con números más grandes, lo cuál aumenta la posibilidad de error. Y con frecuencia se llega a fracciones que no están completamente simplificadas, lo cual implica un siguiente paso o quedarse con una fracción expresada con números más grandes de lo que deberían.

¿Cuál sería un camino más adecuado? El revisar las fracciones a sumar, obtener el mínimo común denominador, generar las fracciones equivalentes a las originales, pero homogéneas (mismo denominador entre sí), y proceder a sumar o restar. Como sé que este es un tema de los más relevantes en el aprendizaje de las matemáticas básicas, escribí sobre él en las primeras entradas que publiqué. Las comparto por aquí para que tengan la información completa:

Fracciones ¿qué las hace tan especiales? (ver aquí)

Fracciones: simplificar y amplificar (ver aquí)

Fracciones: ¿cómo hacer operaciones con ellas? (ver aquí)

La «desventaja» de este método es que requiere pensar y acaban siendo tres caminos distintos los que se toman, dependiendo del tipo de fracciones a sumar/restar. Y enseñar a pensar es más tardado de enseñar que enseñar a mecanizar, aunque sea más útil para la vida diaria.

Cuidemos qué atajos (o caminos genéricos, como en este caso) les proponemos a nuestros hijos y alumnos.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

PD1: Quiero agradecer a esta página en la que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay

Esta es la entrada 274 de este blog.

Acabo de ver en internet un interesante truco para dividir entre 9. Como todo lo que tiene relación con el 9 me fascina (ver por qué aquí), me di a la tarea de encontrar su justificación.

Este es el truco:

Para dividir 421 entre 9 lo que se hace es:

Se toma el primer dígito como inicio de la respuesta: 4…

Se suman el primero y el segundo dígitos y eso da el segundo dígito de la respuesta: 4 + 2 = 6. Respuesta 46…

A la suma anterior se le suma el último dígito, 1, y ese es el resto: 6 + 1 = 7

Por lo tanto, 421 entre 9 es igual a 46 y sobran 7.

Si lo hacemos en reversa: 46 x 9 + 7 = 421, con lo que comprobamos que está bien el resultado.

Interesante, ¿no? ¿Funcionará siempre? Sigan leyendo.

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Esta es la entrada 256 de este blog. La escribo el día en que mi nuevo amigo, Manuel, me regaló una edición en pasta dura de «La proporción áurea» de Mario Livio. Al comentar cuál es el valor de phi (la susodicha proporción áurea), yo empecé a decir: uno punto… y él se sorprendió, pues recordaba haber visto que el valor era menor a uno.

Entonces le expliqué que «La» proporción áurea no es un único valor, pues tiene un comportamiento que podría considerarse mágico y que, representado algebraicamente, se llega a una ecuación cuadrática con dos resultados distintos. Y le mostré la entrada que escribí al respecto hace mucho, mucho tiempo. Fue la entrada 9 de este blog, dedicada a la par al número 9 y a phi. Pueden ver todos los detalles sobre ambos números aquí.

Gracias por el libro, Manuel.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

Esta es la entrada 253 de este blog. Releyendo por enésima vez las tiras de Mafalda me encontré con esta:

Me dio mucha ternura ver cómo a Manolito se le complica hacer el cálculo por falta de dedos (aunque hubiera tenido 10, faltaban más de 10 días para Navidad).

Entonces recordé que en otra tira el mismo personaje había duplicado su capacidad de cálculo con solo cambiar sus zapatos por sandalias:

Permitamos que nuestros hijos y estudiantes usen los dedos mientras los necesiten, pues es el material concreto más práctico de usar, pero acompañémoslos para que pronto memoricen los resultados de las sumas y restas básicas y traer sandalias deje de ser necesario.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

PD0. Las imágenes de las tiras de Mafalda las obtuve de aquí.

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Esta es la entrada 245 de este blog. La escribo mientras analizo los resultados obtenidos en el diagnóstico que aplicamos a las cinco escuelas que estaremos apoyando en el proyecto de Escuela en Comunidad (ver más aquí). Hay mucho por reflexionar al respecto, pero lo que quiero compartir aquí es que, si solo le entrego al docente el promedio obtenido por sus alumnos, realmente no le estoy diciendo nada útil.

Lo que sí puede servirle es mostrarle el detalle alumno por alumno, reactivo por reactivo, luego un resumen por reactivo y por alumno, para identificar los alumnos que necesitan más ayuda y los temas que necesitan reforzarse. Y al final, solo al final, y a quien así lo necesite, el promedio por grupo, por grado, por escuela y por el programa completo. Cada nuevo promedio va ocultando detalles de la capa anterior, pero es necesario para entregar una información más compacta y global a las personas que están más lejos de los estudiantes, que son los que coordinan el programa.

Porque la estadística es la ciencia que dice que, si tú te comiste dos panes y yo me comí cero panes, en promedio nos comimos un pan cada uno y no deberíamos de tener hambre… aunque yo sí estoy hambrienta.

En este mismo sentido recuerdo que hace tiempo me dijeron que preparar la clase para el alumno promedio es prepararla para nadie, porque lo más probable es que ninguno de nuestros alumnos tenga las características exactas del promedio.

Cuidemos con qué información trabajamos, para que sea la que nos ayude a preparar mejor nuestras clases y hacer mejor nuestro trabajo.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

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Esta es la entrada 244 de este blog. Hace poco escribí en una entrada, «Cuando no sé lo que no sé» (ver aquí), que, aunque los docentes con los que estoy trabajando no mencionan que se les dificulta enseñar la resta con transformación, la realidad es que muchos de sus alumnos no saben contestar ejercicios en los que necesitan transformar. Hoy quiero compartir una idea sobre ese tema que puede resultarles útil.

Hace mucho tiempo escribí una entrada sobre sumas y restas con transformación, en la que además explicaba cómo usar la constancia de la suma y la resta (ver aquí).

La constancia de la resta es útil para facilitar ciertos cálculos mentalmente. Es la que nos permite «pensar» así:

9 – 3 = 6

Si resto dos al minuendo y al sustraendo, el resultado se mantiene:

7 – 1 = 6

Entonces 75 – 18, quitándole 5 a minuendo y sustraendo son 70 – 13 que son 57.

También podemos hacerlo sumando al minuendo y al sustraendo:

75 – 18, sumándole 2 a minuendo y sustraendo son 77 – 20, que son 57.

Veamos ahora una aplicación útil de la constancia de la resta, para el caso en el que el minuendo tiene solo ceros al final:

6000 –

3795

Le restamos 1 al minuendo y al sustraendo y luego hacemos la resta sabiendo que el resultado será el mismo que en la operación original:

5999-

3794

2205

¡No se necesitó transformar nada!

Por favor, si lo van a enseñar así, expliquen primero por qué funciona, con ejemplos como los que di al principio aquí. La base de este blog es explicar siempre por qué funciona lo que propongo, para que sea más sencillo asimilar y recordar. Esto no es un truco mágico ni un atajo, es solo usar las propiedades de las matemáticas a nuestro favor.

Sigamos fomentando la correcta comprensión de las matemáticas.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

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Esta es la entrada 241 de este blog. La escribo el día en que realicé un diagnóstico a unos estudiantes recién llegados al nuevo ciclo escolar.

Hubo un reactivo para quinto de primaria en el que se pidió sumar un quinto más dos quintos y una profesora me dijo: «no la pueden contestar porque solo han visto medios, cuartos y octavos».

Una parte de mí entendió la situación: estaba enfrentando a esos pequeñitos a un planteamiento desconocido para ellos.

Y otra parte de mí se entristeció por la situación: no les estaba pidiendo usar un procedimiento nuevo (mínimo común denominador), solo les estaba pidiendo sumar dos fracciones con el mismo denominador, aunque con un denominador diferente a los que habían visto. Para mí sumar un quinto más dos quintos debería ser un reto alcanzable para alguien que ya sumó antes un octavo más tres octavos.

Quizá «en mis tiempos» era un reto alcanzable, pero ahora ya no lo es tanto.

Lo sé… la pandemia.

Ojalá pronto podamos revertir su efecto y lograr que nuestros hijos y alumnos logren el nivel de desempeño que se tendría a su edad antes de la pandemia y también logren extrapolar o aplicar sus conocimientos en contextos ligeramente distintos: que si saben sumar octavos, también sepan sumar quintos.

A trabajar en ello.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

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Esta es la entrada 231 de este blog. Quiero compartirles las reflexiones que he tenido sobre las preguntas de «verdadero» y «falso» que incluí en los diagnósticos de tercero y cuarto grado que realicé en una escuela cercana y que fueron contestadas así:

-Al multiplicar dos números de cualquier tipo siempre se obtiene un número más grande que los dos números originales

Solo 6/41 contestaron Falso

-Al dividir un número de cualquier tipo entre otro de cualquier tipo siempre se obtiene un número más pequeño que el primero

Solo 10/41 contestaron Falso

Ambas afirmaciones son falsas, porque al multiplicar por 1/2 se obtiene un número menor y al dividir entre 1/2 se obtiene un número mayor.

Estuve platicando con varias personas al respecto y consideramos que esa concepción equivocada (es una idea correcta mientras se trabaja con números enteros positivos, pero «caduca», deja de ser correcta, cuando el contexto cambia y se extrapola a todo tipo de números) puede venir de las siguientes ideas:

La multiplicación es una suma reiterada (ver por qué aquí), y al sumar enteros positivos siempre obtenemos una cantidad mayor. Por tanto, la multiplicación debe generar un número mayor. (Esta es una forma muy común de introducir la multiplicación, que suele ocurrir cuando el estudiante solo ha trabajado con enteros positivos)

La división es una resta reiterada (ver por qué aquí), y al restar enteros positivos siempre obtenemos una cantidad menor. Por tanto, la división debe generar un número menor. (Sería el equivalente a la idea anterior, a la inversa, aunque es un poco menos común introducir la división así. Suele introducirse como un reparto, cuyo efecto es básicamente el mismo de la resta repetida, si se observa con cuidado)

Confieso que no tengo una idea clara de cómo evitar que se formen estas concepciones en los pequeños, tan dañinas al entrar a los números decimales y a las fracciones.

No sucede como con los números negativos, que, como sugiero en mi libro, cuando un pequeño se los encuentre por casualidad al restar un número entero positivo menos otro más grande, es muy importante evitar decirle que no existen y, en cambio, explicar que se van a aprender más adelante.

Es mucho menos probable que un niño se encuentre por casualidad una multiplicación o división con fracciones antes de tiempo, así que el docente tendrá pocas oportunidades de hablar del tema.

En «conclusión», creo que el docente debe evitar mencionar las generalizaciones que solo funcionan con los enteros positivos, para prevenir que sus estudiantes memoricen esta idea extrapolándola inadecuadamente a todo tipo de números. Y, si acaso algún niño la mencionara, entonces sí se abre una oportunidad de hablar del tema señalando que «más adelante» se verán casos en los que esa generalización deja de ser verdadera.

¿Se les ocurre alguna otra idea para evitar que los alumnos internalicen estas ideas, que luego tendrán qué desaprender cuando empiecen a trabajar con números no enteros? Toda sugerencia es bienvenida.

Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

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PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer (aunque parece que esta última ya no está funcionando)