La entrada pasada, que pueden ver aquí, la dediqué a las cinco constantes más importantes de las matemáticas, incluidas en la identidad de Euler. Ésta la dedicaré a dos números cuyas características matemáticas hacen que puedan parecer mágicos, pero no lo son (y el álgebra nos ayuda a comprenderlo): el nueve y phi (se lee fi), conocido como la proporción áurea o el número dorado.

Las características matemáticas del 9 se deben a que es el último número antes del 10, base de nuestro sistema numérico. Las características matemáticas de phi, se deben a la ecuación matemática con la que se obtiene su valor exacto. Veamos cada uno. 

Nueve

En la sección “Acerca de” de esta página web, que pueden ver aquí, expliqué el origen del logotipo de Impulso Matemático ® y mencioné que, intencionadamente, la neurona tiene nueve conexiones, ya que me agrada particularmente ese número, por tener características especiales. Ahora podrán conocerlas.

La tabla del nueve

Es bastante conocida la particularidad de la tabla del nueve de que la suma de los dígitos de cada multiplicación siempre es nueve. Las decenas van aumentando y las unidades disminuyendo conforme se avanza en la tabla, pero la suma de sus valores permanece como 9. Esa particularidad es, de hecho, la condición de divisibilidad de cualquier número entre nueve:

La tabla del nueve en las manos

Algo un poco menos conocido es la posibilidad de “leer” la tabla del nueve de nuestras manos. Si numeramos nuestros dedos del 1 al 10, de izquierda a derecha, la multiplicación de cualquier número del 1 al 10 por el 9 se obtiene contando: los dedos a la izquierda del número son las decenas (primer dígito del resultado) y los dedos a la derecha son las unidades (segundo dígito del resultado).

Por ejemplo, para multiplicar 7 por 9, se puede doblar el séptimo dedo, para evitar confusiones, y se cuentan los que quedan: a la izquierda del 7 hay 6 dedos (primer dígito) y a la derecha del 7 hay 3 dedos (segundo dígito), por lo tanto, 7 x 9 = 63.

Esto se explica porque al multiplicar 7 por 10 tendríamos 70, pero como estamos multiplicando por 9 se necesita restarle 7 al 70, con lo que la decena queda en 60 (una menos que 70) y las unidades son las que quedan después de restarle 7 a los 10 dedos de la mano: 3.

7 x 9 = 63.

Al multiplicar por 1 tenemos 9 dedos a la derecha y ninguno a la izquierda: 1 x 9 = 9. Al multiplicar por 10 sólo tenemos 9 dedos a la izquierda y ninguno a la derecha: 10 x 9 = 90.

Divisibilidad entre 9

Mencioné en la introducción que las características matemáticas del 9 derivan de ser el último número antes del 10, que es la base de nuestro sistema numérico. Ésta es la explicación:

El uno, seguido de cualquier cantidad de ceros, es igual a un múltiplo de 9 más el 1:

10 = 9 ⋅ 1 + 1
100 = 9 ⋅ 11 + 1
1000 = 9 ⋅ 111 + 1

Lo mismo ocurre con los dígitos del 2 al 9, el dígito, seguido de cualquier cantidad de ceros, es igual a un múltiplo de 9 más el dígito:

20 = 9 ⋅ 2 + 2
300 = 9 ⋅ 33 + 3

(Notarán que estas igualdades son múltiplos de las anteriores)

Por lo tanto, cualquier número entero es igual a un múltiplo de 9 más la suma de sus dígitos:

1320 = 1000 + 300 + 20 = (9⋅ 111 + 1) + (9⋅ 33 + 3) + (9 ⋅  2 + 2) = 9 (111 + 33 + 2) + 1 + 3 + 2

De lo que podemos concluir que, si la suma de los dígitos de un número entero es múltiplo de 9, entonces el número lo será. Dicho de otra forma, el número será divisible entre nueve. La suma de dígitos de 1320 es 6, por lo tanto, no es múltiplo de 9. Si se reparten 1320 frijolitos dulces entre 9 personas, sobrarán 6.

Nota: si en la primera suma se obtiene un número de más de un dígito, se puede repetir el proceso hasta llegar a un solo dígito, para que sea más sencilla la comparación.

La base de nuestro sistema decimal es el 10, que se puede formar como 9⋅ 1 + 1, lo que lleva a que la divisibilidad de un número entre 9 se compruebe sumando sus dígitos y verificando si se obtiene un múltiplo de 9, como acabo de explicar.

Para un sistema con otra base, digamos 8, la divisibilidad de un número entre el número anterior a la base, 7 en este caso, también se comprueba sumando sus dígitos y verificando si se obtiene un múltiplo de, en este ejemplo, 7. El caso del sistema binario es especial, porque todos los números son múltiplos de 1 y ningún número es múltiplo de 0.

Las pruebas del nueve

Antes de que las calculadoras fueran omnipresentes, se usaba comúnmente la prueba del nueve para comprobar las operaciones aritméticas básicas. Aún se enseña en algunas escuelas para que los estudiantes comprueben sus resultados sin necesidad de una calculadora. Para entender cómo funciona, primero se necesita conocer el siguiente concepto:

Raíz digital (de un número entero positivo): es el residuo que queda al dividir ese número entre nueve. Por lo que vimos en la sección anterior, la raíz digital se puede obtener, además de dividiendo entre 9, sumando los dígitos del número, consecutivamente, hasta que sólo quede un dígito. Si el dígito que quedó al final es un 9, se considera que la raíz digital de ese número es cero, dado que el número es múltiplo de 9 y el residuo al dividir entre 9 será cero.

Una forma de abreviar el proceso de la suma consecutiva es no considerar ningún 9 o ninguna combinación de números que sumados den 9, dado que sumarlos no tiene ningún efecto al calcular la raíz digital (fuera de hacerlo más tardado). Veamos:

59 → 5 + 9 = 14 → 1 + 4 = 5
Abreviado: 59 → 5

24179 → 2 + 4 + 1 + 7 + 9 = 23 → 2 + 3 = 5
Abreviado: 241379 → 4+1 =5

549 → 5 + 4 + 9 = 18 → 1 + 8 = 9 → 0
Abreviado: 549 → 0

Como lo mencioné un par de párrafos arriba, la raíz digital de un múltiplo de 9, cuyos dígitos suman 9, es cero.

Veamos ahora las pruebas del nueve para cada operación:

Sumas y restas

La raíz digital de la suma de las raíces digitales de los sumandos debe ser igual a la raíz digital del resultado.

     356 → 5
+   728 → 8
= 1084 → 4
5 + 8 = 13, 1 + 3 = 4 = 4        La operación parece estar bien.

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En el caso de la resta, si se obtiene un número negativo al restar las raíces digitales, se le suma nueve antes de comparar con el resultado. Esto es posible porque la raíz digital de cada nueve números consecutivos es la misma, por lo que una raíz digital -2 equivale a una raíz digital 7, de la misma forma que una raíz digital 0 equivale a una raíz digital 9 o 18.

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    451→ 1
–  138 → 3
= 313 → 7
1 – 3 = -2,   -2 + 9 = 7 = 7        La operación parece estar bien.

    543 → 3
–  273 → 3
= 270 → 0
3 – 3 = 0,   0 = 0        La operación parece estar bien.

Multiplicación

La raíz digital del producto de las raíces digitales de los factores debe ser igual a la raíz digital del resultado:
          518 → 5
x       136 → 1
= 70, 448 → 5
5 x 1 = 5 = 5                           La operación parece estar bien.

División

La raíz digital del producto del divisor por el cociente, sumado con el residuo debe ser igual que la raíz digital del dividendo:

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869 / 123 = 7 y sobran 8
Raíces digitales: dividendo: 5, divisor: 6, cociente: 7, residuo: 8
6 x 7 = 42 → 6, 6 + 8 = 14 → 5    La operación parece estar bien.

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¿Por qué escribo cada vez que la operación parece estar bien? Porque la validez de estas comprobaciones está limitada, por un lado, por la exactitud de los cálculos hechos con los dígitos y, por otro lado, por la posibilidad de que el resultado de una operación tenga los dígitos correctos en el orden incorrecto o esté errónea por 9 unidades. De cualquier forma, considero que es un proceso interesante. Conocer por qué funciona expande nuestra comprensión de las matemáticas.

La división entre 9

Ahora veamos estas divisiones:

1 / 9 = 0.111111…

2 / 9 = 0.222222…

78 / 99 = 0.787878…

357 / 999 = 0.357357…

No es magia, son decimales periódicos, y también ocurren por ser el 9 el último número antes del 10, que hace que al dividir 10 / 9 quede 1.

La forma correcta de escribir un decimal periódico es:

Ese mismo razonamiento nos permite entender que 0.999999… puede expresarse como uno:

Ahora veamos algunas situaciones que también pudieran parecer mágicas, pero que las matemáticas nos ayudan a saber que no lo son.

Trucos de magia numéricos que involucran al 9

De países y animales:

Sigan las instrucciones:

Piensa un número del 1 al 9.
Multiplícalo por 9
Suma sus dígitos
Réstale 5
Identifica la letra del abecedario que corresponde al número que obtuviste: 1 = A, 2 = B, 3 = C, 4 = D…
Piensa en un país que empiece con esa letra.
Piensa en un animal que empiece con la segunda letra del país que elegiste.

.

.
¿Quién te ha dicho que puedes encontrar iguanas en Dinamarca?

No, no les leí la mente a través de Internet, sólo los fui dirigiendo hacia esa respuesta. Con lo que ya han leído en esta entrada, saben que, hayan elegido el número que hayan elegido, siempre terminarán en 4 en el cuarto paso, porque la suma de los dígitos de todos los múltiplos de 9 es 9.
La segunda parte del truco ya no tiene qué ver con matemáticas sino con países y animales con iniciales poco comunes: El país más conocido que empieza con D es Dinamarca. Y el primer animal que suele venir a la mente que empieza con I es una iguana.

¿Interesante? Veamos otro:

Piensa un número de 3 dígitos
Forma otro número invirtiendo el orden de los dígitos del que pensaste 
Resta el mayor menos el menor 
Suma los dígitos de tu resultado hasta llegar a un dígito

.

.
La respuesta es (y, si hicieron bien los cálculos, siempre será) 9

Con un poco de álgebra se entenderá lo que ocurre:

Si los dígitos del primer número son a, b, c, ese número está formado así:

100a + 10b + c, el segundo número está formado así: 100c + 10b + a.

Si los restamos: (100a + 10b + c) – (100c + 10b + c) = 99a – 99c = 99 (a – c) que es, como puede observarse, no sólo múltiplo de 9, sino también de 11, lo cual permite una serie de trucos de “adivinación” interesantes, como el que acabo de presentar.

Con ese mismo principio funcionan todos los trucos en el que se resta un número de otro con los mismos dígitos, pero desacomodados. La resta siempre será múltiplo de 9 (aunque no siempre de 11, eso se da cuando son tres dígitos y se invierte el orden).

La mayoría de los trucos de magia que tienen qué ver con números se pueden desentrañar usando álgebra. Varios trucos con el nueve se basan en el hecho de que si a cualquier número le restas su raíz digital (la suma de sus dígitos), el resultado será siempre un múltiplo de 9, lo cual también se comprueba con álgebra.

Lo podemos ver con un número de 2 dígitos: a y b. El número está formado así: 10 a + b, si le restamos su raíz digital, obtenida como la suma de sus dígitos a + b, obtenemos:

(10 a + b) – (a + b) = 9 a que, como se esperaba, es múltiplo de 9.

Ahora ya lo saben, si les piden que piensen o elijan un número y luego le resten la suma de sus dígitos, ya sea con cálculos numéricos o con cartas de la baraja, casi seguramente el 9 está involucrado en el truco.

Hasta aquí las curiosidades del 9. Hablemos ahora de otro número que también tiene una presencia importante en las matemáticas, pero de forma diferente. Está en la geometría, en la naturaleza y en el arte, aunque su valor exacto fue determinado de forma algebraica. Les presento al número phi (como recordarán, se lee fi).

Phi (Φ)

El valor aproximado de phi es 1.618 y es conocido como el número dorado o la proporción áurea, un concepto básicamente geométrico que existe desde hace más de 24 siglos. Usada en el arte y en la arquitectura, por ejemplo, permite que las figuras tengan las proporciones más agradables a la vista, dado que es un número que aparece repetidamente en la naturaleza, como en el Nautilus. Si se divide la medida de la base de la fachada del Partenón de Atenas entre su altura, se obtiene 1.618 (claro que esto depende un poco de cómo se mida).

En la serie de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34..., que también puede apreciarse en la forma del Nautilus, como se ve en la imagen, si se divide un número entre el anterior, mientras más grandes sean esos números, el valor se acercará más a 1.618: 34 / 21 = 1.619.

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple que el cociente de la suma de ambos entre el mayor es igual al cociente del mayor entre el menor. Si consideramos a al mayor:

Phi es un número que tiene las siguientes características: al multiplicarse por sí mismo se obtiene lo mismo que si se le suma uno. Al obtenerse su inverso se obtiene lo mismo que si se le resta 1:

Con phi también se cumple lo siguiente (son expresiones que combinan a las anteriores):

¿Cómo se obtiene el valor exacto de un número que tenga todas esas características? Lo más sencillo es buscarlo a través del álgebra. Las primera expresión se puede reescribir como la siguiente ecuación cuadrática:

Como phi se obtiene al resolver la ecuación cuadrática anterior, no es un número trascendente, pero sí irracional y con un número infinito de decimales. Usando la fórmula general para las ecuaciones cuadráticas se puede conocer su valor. De hecho, no es un solo valor, sino dos:

Ambos valores tienen las características que mencioné. El primero es el que se conoce como la proporción áurea, porque los números negativos aparecieron hace relativamente poco en las matemáticas.

Es notorio también que el valor positivo de Φ, su cuadrado Φ² y su inverso 1/Φ tienen exactamente las mismas cifras decimales.

Si bien no es una constante notable tan presente en fórmulas y cálculos matemáticos como los números que forman la identidad de Euler e, π, i, 1, 0, la proporción dorada se encuentra de forma natural en las relaciones de medidas de troncos y ramas de los árboles, en las relaciones de las cantidades de espirales en el girasol, en las distancias de las espiras de los caracoles, en las relaciones entre las partes de distintas figuras y cuerpos geométricos… Phi tiene, por tanto, características importantes ya sea como número (1.618) o como proporción (a/b), de ahí sus dos acepciones: número dorado y proporción áurea.

Para cerrar

Lo que no comprendemos puede asustar y parecer mágico, sólo interpretable por personas eruditas. Lo que entendemos deja de asustar y puede incluso disfrutarse. Por eso considero tan importante que el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas incluya entender los porqué. Así puede llegar incluso a ser divertido, como al hacerle trucos de magia a otras personas y dejarlos pensando en cómo logramos adivinar los números, las cartas, los países y los animales.

Por cierto, fue difícil, pero encontré, para hacer la imagen de esta entrada, un tipo de letra donde el 9 y el 6 no fueran la misma imagen girada. Es recomendable, al enseñar a escribir los números en preescolar, que el 9 no sea un 6 girado. Eso evita confusiones. Digo que es recomendable, porque la mayoría del material que existe para enseñar a escribir está diseñado, supongo que por facilidad, girando el 6 para hacerlo un 9. Si los profesores de preescolar pueden tomarlo en cuenta y hacer algo, sus alumnos se los agradecerán.

Gracias por darse el tiempo de leer. Gracias por compartir con aquellos a quienes consideren que les pueda ser útil lo que aquí publico. ¿Conocen algún otro truco matemático que tenga relación con el 9? Pueden escribirme sus comentarios, de forma que todos los puedan leer, en el apartado de “Comentarios” , debajo del título de la entrada. O, de forma que sólo yo lo pueda lear, a través de la sección “Contacto”. Contestaré.

Esto no es baseball, así que no termina después de esta novena entrada, dedicada, principal e intencionalmente, al número nueve. Aún queda mucho por escribir. Hasta el próximo miércoles.

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas dos páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: https://pixabay.com/   http://webresizer.com/

Algunos datos los obtuve de wikipedia. Realicé algunas imágenes en Word.