Ésta es la última entrada del 2018, la 49 de este blog, la segunda de dos entradas dedicadas a doble y mitad. En la primera (ver aquí) revisamos los conceptos y algunas formas de practicar con material concreto, obteniendo primero el doble de una cantidad e identificando que la cantidad original es la mitad de su doble, para practicar la reversibilidad de los procesos matemáticos, que es tan importante.

Complementaremos el tema viendo, entre otras cosas, cómo comenzar por encontrar la mitad de una cantidad con material concreto, cómo sacar doble y mitad de números grandes y algunos ejercicios de aplicación de los conceptos.

Encontrar la mitad de una cantidad con material concreto

Si se practica a encontrar la mitad de una cantidad con material concreto, se puede empezar pidiendo, por ejemplo, que tomen 18 fichas y que las repartan en dos grupos que tengan la misma cantidad cada uno. Existen distintas formas de repartir y conviene que los niños las conozcan.

Pueden estar las fichas amontonadas y se va agarrando de una por una repartiendo en dos montones que se cuentan al final: 9 fichas en cada uno. Después de contar, sabemos que la mitad de 18 es 9 y, por tanto, el doble de 9 es 18. Conviene que nos aseguremos de que hay la misma cantidad en cada uno, a modo de comprobación de nuestro trabajo (que es una buena costumbre en matemáticas y en la vida).

Otra forma es acomodar las fichas en una hilera e ir contando a la par desde cada extremo hacia adentro, separando un poquito las fichas hacia afuera, hasta llegar a la mitad: 1, 2, 3… 9. Al final quedan 2 hileras de 9 fichas, una seguida de la otra. Con niños pequeños debe tenerse mucho cuidado en que coordinen bien sus movimientos y muevan las fichas a la par, para que realmente encuentren la mitad.

Otra forma es organizar el montón en 2 hileras de fichas, una al lado de la otra, y así visualmente se identifica que tienen la misma cantidad, sin necesidad de contar ambas hileras. Se cuenta una y se sabe que 9 es la mitad de 18 (y 18 es el doble de 9, claro).

¿Qué otras formas de obtener la mitad con material concreto se les ocurren?

¿Y si la mitad no es exacta?

Conviene que nuestros hijos y alumnos se den cuenta de que, cuando se busca el doble de un número entero, siempre se encontrará otro número entero. En cambio, cuando se busca la mitad de un número entero, no siempre se encontrará otro número entero.

Se les pueden poner distintos ejemplos y llegar a distintas conclusiones según la edad y conocimientos previos:

Todos los números pares sí tienen mitad entera. Los pares son múltiplos de dos, es decir, se pueden dividir de forma exacta entre dos y, por lo tanto, tienen mitad entera.

Todos los números nones no tienen mitad entera. Se puede obtener su mitad expresada con fracciones, con decimales o con residuo, según para lo que se necesite la información resultante: La mitad de 9 es 4.5, 4 ½ o 4 enteros y sobra uno (para repartos en los que no sea posible partir el “objeto”, como cuando son personas, por ejemplo).

Doble y mitad de camino recorrido

Además del material concreto, se pueden usar, por ejemplo, distancias recorridas a lo largo del salón o de un pasillo para practicar estos conceptos.

Se puede marcar el piso para indicar la distancia recorrida y se le pide a un niño que recorra, digamos 4 metros y al siguiente que recorra el doble, por lo que deberá recorrer los 4 metros y luego otros 4.

El segundo recorrió el doble de camino que el primero

El primero recorrió la mitad del camino del segundo y está a la mitad del camino entre el punto de salida y donde está el segundo.

Si dos alumnos se ponen a ambos extremos y se van moviendo de manera sincronizada hacia el centro, encontrarán la mitad de la distancia que los separaba.

Sacar varias conclusiones de una sola actividad hace más eficiente el aprendizaje (ver más sobre aprendizaje eficiente aquí)

La mitad de algo

Otra forma de practicar a encontrar la mitad es con algunos objetos. Propongo algunas ideas que pueden usar si las consideran adecuadas para la edad y los conocimientos previos de sus hijos o alumnos

Cuando el objeto es algo como un hilo, al unir sus dos extremos y estirarlo, como cuando lo ensartamos en una aguja para coser y emparejamos sus extremos, encontramos el punto medio del hilo. Si lo cortamos en ese punto, cada pedazo mide la mitad de lo que medía el hilo originalmente.

Si se trata de una hoja de papel o cualquier otro objeto plano y rectangular, se puede partir a la mitad de dos formas distintas, a lo largo (ver imagen más abajo) y a lo ancho. Si es un material flexible, se puede doblar para encontrar la línea media.

Si se trata de una esponja o cualquier otro objeto con forma de prisma rectangular, se puede partir a la mitad de tres formas distintas, a lo largo, a lo ancho y a lo alto.

¿Notan que  por cada dimensión hay una forma de partir el objeto a la mitad? Algo que es importante notar es que los objetos en 2 o 3 dimensiones, al partirse por la mitad, lo más probable es que cada parte, si bien tiene la mitad del área o del volumen del objeto original, las proporciones entre sus medidas (largo, ancho, alto) cambian. Es decir, no es una versión más pequeña (de la mitad del tamaño) del objeto, sino sólo medio objeto, como el kiwi de la imagen que encabeza esta entrada.

Por ejemplo, esta hoja de papel originalmente medía 6 cm x 4 cm = 24 cm². Al partirla a la mitad a lo largo, queda una hoja de 6 cm x 2 cm = 12 cm², es decir, la mitad del área de la original. Sin embargo, la proporción de la primera hoja (largo entre ancho) es 6 / 4 = 1.5 y la de su mitad es 6 / 2 = 3, muy diferentes.

El doble de algo

Como mencioné en la entrada pasada, encontrar el doble de un objeto es algo menos simple que partirlo a la mitad.

Si es un objeto en prácticamente una dimensión, como un hilo, es sencillo encontrar un objeto que mida el doble en esa única dimensión.

En cambio, si el objeto tiene dos dimensiones, como una hoja de papel, se puede encontrar un objeto que mida el doble de ancho o el doble de largo fácilmente, pero uno que mida el doble del área respetando la proporción es un poco menos sencillo (igual que al partir por la mitad). Si multiplicamos sólo una de las dimensiones por 2, esto nos lleva a una superficie con el doble del área pero diferente forma que la original (el proceso inverso de la imagen anterior). Lo que debe hacerse es multiplicar ambas dimensiones por la raíz cuadrada de dos para que, al multiplicarse la nueva base por la nueva altura, se obtenga una nueva área que sea el doble de la anterior y se mantengan las proporciones originales.

¿Y si es un objeto en tres dimensiones? Para que el nuevo objeto tenga el doble de volumen del anterior, puede multiplicarse sólo una de sus dimensiones por dos, aunque queda un objeto con diferente forma que el original, o pueden multiplicarse las tres dimensiones por… la raíz cúbica de 2.

Se entenderá un poco mejor con el siguiente paréntesis cultural.

Paréntesis cultural: las medidas de papel Din A0 a A8

Esto lo conocí gracias a un video del canal Derivando, de Eduardo Sánez de Cabezón, que pueden ver aquí:

Para que al partir a la mitad un papel por el lado más grande queden dos papeles con la misma proporción que el original (largo entre ancho), pero de la mitad de su área, la proporción entre largo y ancho del original tiene que ser muy parecidas a… la raíz cuadrada de dos (1.4142).

La mitad de esta hoja tiene la mitad del área y prácticamente la misma forma, pues sus proporciones entre largo y ancho se mantienen.

Con base en esa proporción, surgen los tamaños de papel Din A0 a A8. La palabra DIN es el acrónimo de Deutsches Institut für Normung (Instituto Alemán de Normalización).

Si iniciamos con un papel con un área muy cercana a 1 m², las medidas que dan prácticamente esa proporción son: 841 x 1189 mm (1.189/0.841 = 1.4138, 1.189 x 0.841 = .99995). Esas son las medidas del papel Din A0. Al partirlo a la mitad por el lado más ancho llegamos a las medidas del papel Din A1: 594 x 841 mm (se van perdiendo algunos medios milímetros en los redondeos) y así sucesivamente. El papel tamaño Din A4 tiene es el más parecido al papel tamaño carta (215.9 mm x 279.4 mm). El contar con estos tamaños de papel en estas proporciones facilita el crecer o reducir la escala a la que está dibujado algo, sin que se deforme la imagen.

Esta es una tabla de las medidas considerando la presentación en vertical del papel (la primera medida es la horizontal):

Medidas de un A0: 841 x 1189 mm

Medidas de un A1: 594 x 841 mm

Medidas de un A2: 420 x 594 mm

Medidas de un A3: 297 x 420 mm

Medidas de un A4: 210 x 297 mm

Medidas de un A5: 148 x 210 mm

Medidas de un A6: 105 x 148 mm

Medidas de un A7: 74 x 105 mm

Medidas de un A8: 52 x 74 mm

Interesante, ¿verdad? ¿Saben cómo se obtuvieron los valores para el A0? Véanlo en la sección Para cerrar.

Fin del paréntesis cultural.

Doble y mitad por escrito

Se pueden plantear ejercicios escritos de diferentes formas, dando dos datos y pidiendo el tercero, por ejemplo:

El doble de 6 es ___

La mitad de 6 es ___

6 es __ _______ de 12

6 es __ _______ de 3

__ es el doble de 6

__ es la mitad de 6

Al hacer grupos de ejercicios para practicar, puede ser conveniente que primero se cambie la forma de preguntar, dejando los datos fijos, más adelante se cambien los datos dejando la forma de preguntar fija y, finalmente, se cambien ambas cosas al mismo tiempo.

Si se considera necesario, se puede pedir que a un lado dibujen puntos o algo que les ayude a hacer los cálculos. Considero que es conveniente que los dibujen ordenados en hileras, para que sea visualmente más claro lo que ocurre.

Doble y mitad de números grandes

Doble

Para obtener el doble de un número de dos o más cifras, si aún no se sabe multiplicar, sólo se escribe el número dos veces, uno abajo del otro y se realiza la suma:

27+
27
54

2763+
2763
5526

También se puede ir multiplicando por dos de derecha a izquierda, teniendo en cuenta cuando se tenga qué “llevar”:

El doble de 2763 es: doble de 3, 6, doble de 6, 12, se escribe el 2 y llevamos uno, doble de 7, 14, más uno, 15, se escribe el 5 y llevamos uno, doble de 2, 4, más uno, 5: 5526.

De hecho, también se puede de izquierda a derecha, sólo que es un poco más complejo el tomar en cuenta lo que se “lleva”, de esta forma:

El doble de 2763 es: doble de 2 es 4 más uno porque el doble del número que sigue, 7 será mayor a 10: se escribe un 5. El doble de 7 es 14, más uno porque el doble del número que sigue, 6, será mayor a 10: se escribe otro 5. El doble de 6 es 12, ya no se suma uno porque el siguiente número es 3 y su doble es menor a 10: se escribe 2. El doble de 3 es 6 y terminamos:

El doble de 2763 es 5526

Mitad

Para obtener la mitad de un número de dos o más cifras se pueden seguir al menos dos estrategias:

La primera es separar el número en cantidades de las que se pueda conocer la mitad por haberlo practicado antes:

54 = 40 + 14

Y después obtener la mitad de cada uno:

La mitad de 54 es igual a la mitad de 40 más la mitad de 14: 20 + 7 = 27. (Con esto, además, practicamos la ley distributiva).

La segunda es obtener la mitad de cada número de izquierda a derecha. Si la mitad no es exacta, al siguiente número se le suman 10:

54 -> Mitad de 5 es 2 y sobra 1, mitad de 14 es 7, por lo tanto, la mitad de 54 es 27

La mitad de 5526 se calcula: mitad de 5, 2 y sobra 1, mitad de 15, 7 y sobra 1, mitad de 12, 6 y no sobra nada, mitad de 6, 3 y tampoco sobra nada. Por lo tanto, la mitad de 5526 es 2763.

Planteamientos por escrito

Resolver ejercicios con base en un texto, de cualquier tipo, es una habilidad que es muy importante de desarrollar. Ojo, si sólo les damos un cúmulo de ejercicios escritos que se resuelven todos de la misma forma y sólo incluyen los datos necesarios, no podremos saber si los resolvieron en automático o si realmente sabían lo que estaban haciendo.

Por lo tanto, conviene combinar, en la serie de problemas o actividades, distintos tipos de procedimiento y formas de preguntar, así como orientar a los niños para que, antes de empezar a resolver, identifiquen lo que es relevante para la solución y lo que sólo le da contexto.

Propondré algunas ideas que confío en que los inspiren para inventar muchas más, dependiendo de la edad y habilidad de sus hijos y alumnos. Recuerden que la forma de preguntar (brevemente explicada entre paréntesis) influye de manera importante en el aprendizaje que logran los alumnos al contestar (ver más sobre preguntas con intención didáctica clara aquí).

Juan cortó 24 naranjas y le dio la mitad a su hermana. ¿Cuántas naranjas le dio? ¿Cuántas naranjas le quedaron?

(Al preguntar de esta forma, reafirmamos que ambas cantidades deben ser iguales al encontrar la mitad de un número)

Toño ahorró 1250 pesos y su hermana Ana ahorró el doble. ¿Cuánto ahorró Ana? ¿Cuánto ahorraron juntos?

(Al preguntar de esta forma, ampliamos el alcance del ejercicio. Sería interesante ver si algún alumno llega a la conclusión de que puede multiplicar el ahorro de Pedro por tres para obtener el ahorro total)

La mamá de Martha horneó 60 galletas el lunes y las guardó. El martes se comieron la mitad de las galletas y guardaron la otra mitad. El miércoles se comieron la mitad de las galletas que quedaban y guardaron la otra mitad para el jueves, que se acabaron todas las que quedaban. ¿Cuántas galletas se comieron el jueves?

(Al preguntar de esta forma, hacemos que se realice dos veces el cálculo de la mitad. Sería interesante ver si algún alumno llega a la conclusión de que el jueves quedaba la cuarta parte de lo que se había horneado)

María quiere comprar un regalo para su papá, que cumple 40 años. Sacó 70 pesos de su alcancía, pero su mamá le dijo que necesitaba el doble para poder comprar el regalo. ¿Cuánto cuesta el regalo?

(Al preguntar de esta forma, agregamos datos que forman parte del contexto, pero no son necesarios para resolver el problema, así los alumnos se acostumbran a distinguir lo que es realmente relevante para resolver el problema planteado)

Pablo tiene 14 canicas. Pedro tiene el doble de canicas que Pablo y Daniel tiene el doble de canicas que Pedro. ¿Quién tiene la mitad de canicas que Daniel? ¿Cuántas canicas tienen los tres juntos?

(Al preguntar de esta forma, reafirmamos que mitad y doble son conceptos contrarios sin necesidad de hacer cálculos: si Daniel tiene el doble de canicas que Pedro, Pedro tiene la mitad de canicas que Daniel. Además, buscamos que hagan varios cálculos independientes, pero relacionados, para llegar a contestar la segunda pregunta)

Rosa tenía 25 pesos y gastó la mitad en la tiendita de la escuela. ¿Cuánto le quedó?

(Al preguntar de esta forma, se practica con monedas fraccionarias)

Mónica llevó 5 pasteles a una fiesta pero sólo se comieron la mitad. ¿Cuántos pasteles se comieron?

(Al preguntar de esta forma, se practica a partir a la mitad la unidad que queda como residuo de la división)

13 amigos quieren jugar futbol y se reparten en dos equipos. ¿Cuántos niños quedan en cada equipo?

(Al preguntar de esta forma, se promueve el resolver un problema, más que contestarlo mecánicamente. Se podría contestar que 6 en cada equipo y uno de árbitro, o 6 en cada equipo y uno queda de cambio, o alguna otra solución similar, lo que no se debe contestar es que quedan 6.5 niños en cada equipo)

Seguramente se les ocurrirán muchas ideas más a partir de éstas. Los demás lectores y yo agradeceremos que nos las compartan en los comentarios.

Para cerrar

Vaya, se siente algo de nostalgia al cerrar este 2018 después de 49 entregas semanales del blog. La siguiente ya se publicará en 2019 y, 2 semanas después, se cumplirán las primeras 52 semanas y, días después, podremos soplar una velita en un pastel por el primer año. Ha sido una aventura muy interesante, que espero que dure mucho tiempo más, llevando el mensaje de que todos podemos llevarnos bien con las matemáticas, si nos damos el tiempo para entenderlas y practicarlas.

Cierto, quedé de decirles de dónde salieron las medidas del papel DIN A0: Si queremos que dos números multiplicados den 1 (área 1 m²) y divididos den √2 (para que la proporción se mantenga al partir por la mitad por el lado más largo), tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas:

A x B = 1    y    A / B = √2

Se despeja la primera y se sustituye en la segunda: B = 1 / A -> A² = √2 

Por lo tanto:

A = √√2 = raíz cuarta de 2 = 1.189 m

B = 1 / 1.189 = 0.841 m

Muchas, muchas gracias por acompañarme a lo largo de todo este tiempo, por leer, por aprender, por enseñar, por compartir, por comentar, por disfrutar y por difundir el mensaje.

¡Hasta el próximo año!

Un abrazo

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

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