Doble y mitad, juntos conviene enseñar (primera parte)

lemons-1209309_1280_opt.jpgÉsta es la entrada 48 de este blog. 48 es un número entero y par, por lo que es el doble de otro número entero: 24, que es su mitad. 48 también es la mitad de otro número entero: 96, que es su doble. Enseñar juntos conceptos como doble y mitad ayuda a que alumnos y estudiantes comprendan la reversibilidad de los procesos matemáticos, lo cual les será muy útil tanto para resolver ecuaciones como para resolver cualquier problema que implique ir hacia atrás en una serie de pasos.

Gracias Erika, por la idea para esta entrada que, para armonizar con el tema, será una entrada doble. Con ambas cerraré las publicaciones de este año. Por cierto, al pensar en el título y en la conveniencia de enseñar ambos conceptos juntos, de alguna forma surgió esa frase que suena a refrán, porque es una rima asonante.

Mitad

Según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, la palabra mitad puede definirse, entre otras, de estas dos formas:

      Cada una de las dos partes iguales en que se divide un todo.

Parte que en una cosa equidista de sus extremos.

En el primer caso, el todo puede ser un objeto o puede ser una cantidad de objetos o incluso una cantidad abstracta (un número no relacionado a objetos). Por lo tanto, encontrar la mitad de algo significa realmente tres cosas distintas:

wood-bowl-1420258_1280_opt.jpgPartir una única manzana por la mitad es tomar una manzana y cortarla en dos partes iguales

Partir una cierta cantidad de manzanas por la mitad es repartir esa cantidad de manzanas en dos grupos que tengan la misma cantidad de manzanas cada uno. También podemos verlo como que obtener la mitad de una cantidad es dividirla entre dos.

Encontrarnos a la mitad de un huerto de manzanas es haber recorrido la mitad de la distancia que hay entre los dos extremos del huerto.

Si nos queremos ver exhaustivos, realmente hay una cuarta forma de interpretarlo: partir una cierta cantidad de manzanas cada una a la mitad no significa repartir las manzanas en dos grupos, sino partir cada una a la mitad. Tengamos cuidado cuando pidamos ayuda al cocinar: no es lo mismo pedir que pelen la mitad de las papas de una bolsa y las pongan a cocer, que pedir que pelen la mitad de cada papa de la bolsa y las pongan a cocer así, peladas sólo a la mitad. Pueden encontrar un meme en Internet al respecto.

A propósito de partir y repartir manzanas, ¿cómo resolverían esta adivinanza?

apple-3724658_1280_opt.jpgJuan llevó a una fiesta de cumpleaños un cesto lleno de manzanas. A Pedro, el cumpleañero, le regaló la mitad de las manzanas más media manzana, a María, la hermana del cumpleañero, le regaló la mitad de las manzanas que le quedaban, más media manzana. A su mejor amigo, Manuel le regaló la mitad de las manzanas que le quedaban más media manzana y él se comió la mitad de las manzanas que quedaban más media manzana. Después de eso, no quedaba ninguna manzana en el cesto y nunca se partió ninguna manzana por la mitad. ¿Cuántas manzanas tenía en el cesto al llegar a la fiesta?

Vean la respuesta antes de la sección “Para cerrar”

Doble

También según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, la palabra doble puede definirse, entre otras, de estas dos formas:

      Dos veces mayor o que contiene una cantidad dos veces exactamente

Que implica dos elementos iguales o semejantes, o la repetición de algo dos veces

El obtener el doble de un objeto es un poco más delicado que obtener su mitad. Al partir un objeto a la mitad simplemente se corta o se traza una línea que sea equidistante de ambos extremos y lo parta en dos partes iguales. Encontrar un objeto que sea el doble “grande” que otro debe hacerse con cuidado.

square-1657985_1280_opt.pngSi tenemos una línea de un metro, una línea de dos metros medirá el doble. Pero si tenemos un rectángulo de 2 m x 3 m, es decir, 6 m² de área, un rectángulo que mida el doble deberá medir 12 m² de área y eso se puede obtener de distintas maneras, pero NO se obtiene duplicando ambos lados del rectángulo, porque entonces obtendríamos 4 veces el área: 4 m  x 6 m = 24 m². Lo mismo con los volúmenes: si a un cubo de 1 x 1 x 1 = 1 m³ le duplicamos cada una de sus medidas, quedará un cubo de 2 x 2 x 2 = 8 m³, es decir, un cubo con un volumen 8 veces mayor.

En cambio, duplicar cantidades es muy sencillo. A la cantidad original se le suma otra igual o se le multiplica por dos.

A propósito de encontrar el doble de algo: ¿Cuál sería el grosor de papel que se logra si se tiene una hoja cuyo grosor es 0.05 mm y se le dobla 6 veces?

Encontrarán la respuesta en la sección “Para cerrar”

Algunas ideas para enseñar doble y mitad de cantidades a niños pequeños

Conviene empezar por averiguar qué saben sobre los conceptos y qué palabras usan para explicarlos, porque así sabremos si tienen ideas adecuadas y sólo necesitamos reforzarlas o si tienen ideas erróneas y necesitamos corregirlas.

Cuando aún no han aprendido a multiplicar ni a dividir, nos limitaremos a enseñarles a agregar una cantidad igual y a repartir en dos cantidades iguales. Ya que lo dominen podemos decirles que están multiplicando y dividiendo por dos, como información complementaria.

Conviene empezar por lo más sencillo, enseñar a encontrar el doble de una cantidad, con material concreto.

WhatsApp Image 2018-12-19 at 6_optPodemos pedirles que tomen 5 fichas y luego otras 5 y digan cuántas tienen si las juntan: 10 fichas. Entonces les explicamos: 10 es el doble de 5. Y continuamos con la reversibilidad: 5 es la mitad de 10.

Conviene repetir varias veces, en distintos momentos, con diferentes números (incluso que los niños propongan con qué número empezar) y con distintos materiales (también podemos darles cierta libertad para elegir con qué trabajar), para que asocien los conceptos de doble y mitad a la cantidad y no al objeto en sí.

Después podemos pasar a que contesten de forma oral, ya sin material concreto:

¿Cuánto es el doble de 5? ¡10!

¿Y cuánto es la mitad de 10? ¡5!

Finalmente escribir en el pizarrón y en sus cuadernos las respuestas y las justificaciones:

El doble de 5 es 10 porque 5 + 5 = 10

La mitad de 10 es 5 porque 10 = 5 + 5 (escribirlo así les ayuda a acostumbrarse a que las operaciones pueden estar a ambos lados del signo igual).

Cuando se practique con niños que ya empezaron a multiplicar, puede escribirse también:

El doble de 5 es 10 porque 5 x 2 = 10

La mitad de 10 es 5 porque 10 / 2 = 5

Conviene transitar de una representación a otra constantemente, para asegurarnos que entienden que son distintas formas de decir y hacer lo mismo.

Doble y mitad hasta el 5 y 10 con regletas y con los dedos

¿Si se tienen las primeras 5 regletas (1 al 5) y se les agrega una igual a cada una, a qué regleta se llega?

WhatsApp Image 2018-12-19 at 7_opt.jpg1 + 1 = 2, 2 es el doble de 1 y 1 es la mitad de 2

.

.

.

5 + 5 = 10, 10 es el doble de 5 y 5 es la mitad de 10.

También se puede con números más grandes, sólo que no hay regletas de una pieza para representar el doble de 6 en adelante, así que la instrucción debe cambiar un poco.

Con las manos también podemos decir:

gesture-3036144_1280_opt.jpg¿Si se tienen levantados dos dedos en una mano y se levantan también dos dedos en la otra mano, cuántos dedos hay levantados en total?

2 + 2 = 4, 4 es el doble de 2 y 2 es la mitad de 4

También se puede hacer hasta el 10, si los niños trabajan en parejas. Uno puede mostrar un 9 con los dedos, el otro duplica la cantidad y llegan a que:

9 + 9 = 18, 18 es el doble de 9 y 9 es la mitad de 18

Solución a la adivinanza de las manzanas

Se puede resolver el problema mediante prueba y error, o mediante álgebra. Veamos cómo sería usando álgebra (ver más sobre solución de ecuaciones lineales aquí y aquí):

A la cantidad de manzanas en el cesto de Juan al llegar a la fiesta lo llamaremos x.

Le restaremos a x lo que fue saliendo del cesto hasta que no quedó nada. Primero calculamos lo que se le entregó a cada quién:

Lo que le regaló a Pedro, la mitad de lo que había más media manzana, se escribiría como:

x / 2 + 1/2

Quedaría en el cesto:  x – ( x / 2 + 1/2 ) = x / 2 – 1/2

Lo que le regaló a María, la mitad de lo que había más media manzana, se escribiría como:

( x / 2 – 1 / 2 ) / 2 + 1 / 2 = x / 4 + 1 / 4

Quedaría en el cesto: ( x / 2 – 1 / 2) – ( x / 4 + 1 / 4 ) = x / 4 – 3 / 4

Lo que le regaló a Manuel, la mitad de lo que había más media manzana se escribiría como:

( x / 4 – 3 / 4 ) / 2 + 1 / 2 = x / 8 + 1 / 8

Quedaría en el cesto:

( x / 4 – 3 / 4 ) – ( x / 8 + 1 / 8 ) = x / 8 – 7 / 8

Y lo que se comió Juan sería:

( x / 8 – 7 / 8 ) / 2 + 1 / 2 = x / 16 + 1 / 16

Si le restamos a la cantidad que había originalmente las cantidades que se fueron consumiendo, debemos llegar a cero:

x – ( x / 2 + 1/2 ) – ( x / 4 + 1 / 4 ) – ( x / 8 + 1 / 8 ) – ( x / 16 + 1/16 ) = 0

Reducimos el lado izquierdo de la ecuación:

x / 16 – 15/16 = 0

Resolvemos:

x / 16 = 15 / 16

x = 15

Comprobamos:

apple-3724658_1280_opt 2.jpgA Pedro le tocaron la mitad de 15 más media, o sea 8 manzanas

A María le tocaron la mitad de las 7 que quedaban más media, o sea 4 manzanas

A Manuel le tocaron la mitad de las 3 que quedaban, más media, o sea 2 manzanas

Y a Juan le tocó la mitad de la que quedaba, más media, o sea 1 manzana.

Sumando las cantidades de cada quien llegamos al 15 original.

Algo interesante con esta adivinanza es que se puede plantear tan larga o tan corta como se desee y siempre funciona, sólo aumenta o disminuye la cantidad con la que se empieza a repartir. En este caso, las manzanas se reparten entre 4 personas, por lo que se empezó con 15 manzanas, que es 2 elevado a la 4 menos 1 manzana. Si se hubieran repartido sólo entre 3 personas, la cantidad con la que se empezaría a repartir sería 7 manzanas, que es 2 elevado a la 3 menos 1 manzana.

¿Cuántas manzanas habría en una cesta de la que se repartiera a 6 personas de la misma forma: la mitad más media manzana? Serían 63, que es una menos que 2 a la sexta potencia.

El patrón que se va formando en las cantidades que le tocan a cada quien, con denominadores que son siempre potencias de dos, explica por qué la cantidad inicial siempre se puede calcular así: 2 a la potencia correspondiente al número de personas, menos 1.

Vaya, parece que esta entrada estuvo más relacionada con las dos anteriores del sistema binario y las potencias de dos (ver aquí y aquí) de lo que tenía pensado.

Por otro lado, por prueba y error se podrían intentar muchos acercamientos distintos, tomando en cuenta las pistas que tenemos: Si nunca se partió ninguna manzana y a todos les tocó una cantidad “más media manzana”, significa que las cantidades a partir siempre fueron impares.

Quizá el acercamiento más sensato sería empezar por pensar que Juan se comió una sola manzana, el número impar más pequeño, que resultó de la mitad de lo que había más media manzana.

Si esa manzana sobró después de que Manuel obtuvo la mitad de lo que había más media manzana, entonces Manuel obtuvo dos manzanas, que era la mitad de las tres manzanas que había, más media manzana.

Si esas tres manzanas sobraron después de que María obtuvo la mitad de lo que había más media manzana, entonces María obtuvo cuatro manzanas, que era la mitad de las siete manzanas que había, más media manzana.

Si esas siete manzanas sobraron después de que Pedro obtuvo la mitad de lo que había más media manzana, entonces Pedro obtuvo ocho manzanas, que era la mitad de las quince manzanas que había originalmente en el cesto, más media manzana.

¿Qué otro procedimiento se les ocurre para resolver esta adivinanza?

Para cerrar

En esta entrada hemos visto cómo empezar por buscar el doble de un número y, a partir de ahí, reconocer que el número original es la mitad de su doble. Prácticamente todo lo mencionado se refiere a trabajar con material concreto. En la siguiente entrada veremos cómo empezar por buscar la mitad y más ideas para trabajar por escrito este tema.

Antes de irnos, veamos cómo calcular el grosor del papel doblado:

old-1971784_1280_optGrosor del papel sin doblar:          0.05 mm

Grosor del papel con 1 doblez:      2 x 0.05 mm = 0.1 mm

Grosor del papel con 2 dobleces:  2 x 2 x 0.05 mm = 0.2 mm

Grosor del papel con 6 dobleces:  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 0.05 mm = 3.2 mm

Quizá pensaron que era 0.3 mm, que es 6 veces 0.05 mm, pero el cálculo se hace duplicando seis veces el grosor original. Sí, es un crecimiento exponencial.

Como siempre, muchas gracias por leer, comentar y compartir.

Nos vemos la próxima semana con el cierre de este tema y la última entrada de este año.

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

 

 

 

 

 

 

 

 

6 comentarios en “Doble y mitad, juntos conviene enseñar (primera parte)

    • Saludos Rebe y gracias por tus enseñanzas. Además, me sale más económico meterme a tu blog para desestresarme, que estar tomando Tafil. Excelente!!!

      Le gusta a 1 persona

      • Me da mucho gusto saber que, además de para enseñar, lo que escribo en el blog sirve para desestresar, y más porque uno de mis objetivos es que las personas se lleven mejor con las matemáticas.

        Saludos!

        Me gusta

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