Ésta es la primera entrada del 2019 de este blog y, a la vez, es la entrada número 50 desde que empezó a publicarse, o sea, la quincuagésima entrada. Al día de hoy hay el quíntuple del décuplo de las entradas que había el día que empecé a escribir (no logré encontrar cómo se dice cincuenta veces en numeral multiplicativo, así que multipliqué por 5 y por 10) y lo que se publica hoy es sólo una cincuentava parte de lo que se ha publicado en toda la vida del blog.

Para el párrafo anterior usé numerales, que son adjetivos o pronombres relacionados con una cantidad (cardinales), un orden (ordinales), un múltiplo (multiplicativos) o una partición (fraccionarios). Cada tipo tiene sus propias características y poseen algunas similitudes y algunas diferencias entre sí.  Veamos cuáles son.

Ésta será la primera entrada que está casi tan relacionada con el español como con las matemáticas, ya que los cuidados que debemos de tener pueden estar más relacionados con expresarnos bien que con que nos entiendan lo que queremos expresar. Por ejemplo, decir que estamos en el dieciochoavo piso de un edificio es incorrecto, pues dieciochoavo es la forma de expresar el denominador de 1/18. Realmente estamos en el piso décimo octavo. Seguramente nos entendieron, pero… no está bien dicho. En casos de duda, es mejor decir que estamos en el piso dieciocho.

En cambio, cuando se trata de traducir problemas escritos a aritmética o a álgebra, se vuelve crucial entender los diferentes significados, pues no es lo mismo “un quinto de mis ahorros” que “el quíntuple de mis ahorros”.

A propósito: la imagen que encabeza esta entrada es de una carrera de Go-karts. El número sesenta y cinco llegó en primer lugar, la cuarta parte de los participantes no pudo terminar la carrera por daños en sus vehículos y el doble de los que abandonaron sí la terminó pero no subió al podio. No hubo empates en los primeros tres lugares. ¿Cuántos corredores participaron? Vean la respuesta en la sección «Para cerrar».

Todos los numerales que veremos hoy están relacionados con los números naturales (1, 2, 3, … ) de formas distintas. Veamos esas diferencias.

¿Cuáles son los numerales cardinales?

Son los números que se usan para contar. Cuando tenemos un conjunto de objetos, su cardinalidad es la cantidad de objetos que hay en dicho conjunto.

La cardinalidad de este conjunto de canicas es 10 y se obtiene contando los objetos y asignando a la cardinalidad el último número mencionado. En el lenguaje común simplemente decimos ¿cuántos objetos hay ahí? y listo.

Ahora ya saben qué les piden si alguien quiere hablar de forma muy rebuscada y les pregunta: ¿cuál es la cardinalidad de ese conjunto?

Los cardinales también sirven, además de para contar, para hacer operaciones.

Ésta es una tabla con la escritura de los primeros numerales cardinales y algunos ejemplos de los siguientes. Notarán que a partir del 31, se escriben en palabras separadas los que no son decenas exactas:

¿Cuáles son los numerales ordinales?

Son los numerales que se usan para indicar el lugar en el que está un objeto en una sucesión ordenada o también el orden en el que ocurrió algo.

Por ejemplo: el primer texto que escribí en el blog se llama “El comienzo”, en el segundo escribí sobre “Pensamiento lógico” y en el tercero sobre “Sentido numérico”, por considerarlos a ambos los dos pilares de una buena relación con las matemáticas.

También se usan cuando se da una fecha que incluye el día uno: “El festejo será el primero de enero”. Para los demás días del mes sí se usa el cardinal: “El recalentado será el dos de enero” (en México tenemos festejos en los que, si sobra comida, se continúa al día siguiente con el recalentado de dicha comida ¿ocurre lo mismo en otros países?).

Algunas características de los ordinales son:

Se escriben con números romanos o con números arábigos, en este caso añadiendo una pequeña letra indicando la terminación. En la mayoría de la información que pueden encontrar en Internet se señala que se pone una pequeña “o” si se trata de masculino (primero, segundo) y una pequeña “a” si se trata de femenino (primera, segunda). A veces le ponen una rayita debajo de la o y la a:

1º se lee: primero

2ª se lee: segunda

Sin embargo, también es común, sobre todo en América, usar las dos letras finales de la palabra en vez de sólo la última. En estos casos, sobre todo si el procesador de texto no permite otra forma, llegan a escribirse abajo las letras, normalmente con punto porque se puede interpretar como una abreviatura, aunque he visto casos en los que no ponen el punto. Dependiendo del resto del texto (cuando hay un sustantivo masculino inmediatamente después), se deben apocopar (acortar) primero y tercero, escribiendo primer y tercer, en cuyo caso se escribirían:

1ro. de enero se lee:  primero de enero

2da. semana se lee: segunda semana

3er. partido se lee: tercer partido

4to. de primaria se lee: cuarto de primaria

Cuidados que debemos tener con los numerales ordinales

En cuanto a ortografía, debemos cuidar que, si escribimos décimo primero, la palabra décimo lleva acento, por ser esdrújula,  y, si escribimos decimoprimero, no lleva acento. Así para todos los ordinales del 11º al 19º y del 21º al 29º. En adelante suelen escribirse separadas las palabras, por lo que las correspondientes a las decenas llevan acento.

Cuando se usan los números romanos para indicar orden y secuencia (ver más sobre números romanos aquí), es necesario tener cuidado al leer las expresiones:
XXV Aniversario debe leerse como “vigésimo quinto aniversario” o “aniversario veinticinco”. Es menos correcto decir “veinticinco aniversario” (aunque sea claro lo que queremos expresar) y está mal dicho «veinticincoavo aniversario» pues, como mencioné en el ejemplo del piso del edificio, debemos evitar confundir la forma de expresar un ordinal con la forma de expresar un fraccionario cuando no son iguales. Al final de la entrada pondré una tabla comparativa para que queden más claras las diferencias y similitudes.

A propósito de edificios, es común usar la imagen de uno para practicar con los numerales ordinales, sin embargo eso tiene dos consideraciones que pueden dejar al ejercicio fuera de la realidad (ver más sobre preguntas que desafían y preguntas que fortalecen la lógica aquí): normalmente el piso que está hasta abajo no se considera primer piso, sino Planta Baja:

El primer piso realmente es al primero al que se llega subiendo escaleras desde el nivel de calle (lo cual es congruente con la forma como se avanza en la recta numérica, partiendo del cero y llegando al uno).

Además, en algunos países hay un alto porcentaje de edificios en los que, aunque debería haber un piso marcado como 13, éste no existe. Se llama triscadecafobia al miedo al número 13. No estamos aquí para comprender o rechazar esa fobia, pero sí necesitamos saber que existe y que puede afectar la forma como están numerados los pisos en un edificio. Si vamos a contratar un pintor y nos va a cobrar por número de pisos pintados, por ejemplo: si pinta hasta el primer piso, habrá pintado 2, si pinta hasta el 14 (y no hay ninguno marcado con 13), habrá pintado 14.

Dependiendo de la edad de nuestros hijos o alumnos, podemos explicarles todo esto e incluirlo al elaborar ejercicios para que practiquen o podemos esperar un poco y evitar los ejercicios con edificios hasta que sea momento de integrarlos al aprendizaje.

Ésta es una tabla con la escritura de los primeros numerales ordinales y algunos ejemplos de los siguientes:

Ideas para practicar con numerales ordinales

Propongo a continuación un par de ideas para practicarlos. Por un lado es el conteo y ubicación y por otro lado es la traducción de la forma de decir un número en ordinal a saber a qué cardinal corresponde para poder hacer cálculos:

Un ejercicio típico se basa en la imagen de una fila de personas. Se puede preguntar de dos formas:

¿Quién está en el tercer lugar?
¿En qué lugar está el niño del pantalón azul?

Se puede usar la imagen de un tren con vagones distintos o del cierre de una carrera de personas, coches, caballos, etc.

Se puede también hacer preguntas como éstas, en las cuales es menos mecánico el dar la respuesta:

Juan llegó quinto y Pedro llegó noveno, ¿cuántos corredores llegaron entre Juan y Pedro?

Ésta es una foto de un instante de una carrera. El coche rojo llegó en tercer lugar, luego llegaron el azul, el verde y después el morado. ¿En qué lugar llegó el morado?

Si queremos usar un edificio, podemos preguntar:

Manuel vive en el vigésimo piso de un edificio y va a subir a visitar a María, que vive en el vigésimo sexto piso. ¿Cuántos escalones debe subir si para subir de un piso al siguiente son 18 escalones? (Por el diseño de este ejercicio no hay problemas ni con la planta baja ni con el piso 13, pero sí se necesita saber multiplicar… o sumar seis veces 18)

Se puede también ordenar a los alumnos y hacer preguntas similares a las que se harían con una imagen, o darles tarjetas o cartones con los numerales ordinales para que ellos solos se ordenen. Al incluir movimiento y a sus propias personas, el aprendizaje será más significativo.

También se pueden hacer tarjetas con imágenes de una historia o un proceso de una receta de cocina o cualquier otra cosa que puedan ordenar, para después escribir los numerales, ya sea con letra o con número.

¿Cuáles son los numerales multiplicativos?

Son los que indican que se multiplicó algo que se puede medir o contar: doble, triple, etc. Escribí dos entradas sobre doble (numeral multiplicativo) y mitad (numeral partitivo) justo antes de ésta (ver aquí y aquí). Los nombres que pude encontrar en Internet, según las veces por las que se multiplica la cantidad, se encuentran en esta tabla. Existen variantes cambiando la e por la o y viceversa. Por ejemplo, es lo mismo quíntuple que quíntuplo.

Si necesitamos otro múltiplo, podemos decir “tantas veces”. O hacer lo que hice en la introducción de esta entrada: para escribir 50 veces, escribí: el quíntuple del décuplo de… Al publicar la entrada 56 habrá el séptuple del óctuplo de las que había el primer día, o el cuádruple del doble del séptuple… Pueden hacer esto como una actividad que desarrolle el sentido numérico, pues se deben buscar formas de llegar a un número para el cual no se tiene numeral multiplicativo. Aunque no todas se van a poder (los primos grandes y sus múltiplos).

Ideas para practicar con numerales múltiplos

Para practicarlo, se pueden poner imágenes como estas y preguntar

 Tazas de café que se tomó Ceci

Tazas de café que se tomó Paty

Tazas de café que se tomó Esther

Paty se tomó el __________ de tazas de café de lo que se tomó Ceci.

_______ se tomó el doble de tazas de café de lo que se tomó Esther.

Esther se tomó el triple de tazas de café de lo que se tomó _______

Observen cómo aprovechamos los mismos datos para preguntar de tres formas distintas (ver más sobre aprendizaje eficiente  aquí).

Otra idea es dar una imagen con una cierta cantidad de objetos y pedir que dibujen otra con un múltiplo de esos objetos, expresado como numeral multiplicativo: quíntuple, décuplo, etc.

Y, por otro lado, dar una imagen con una cierta cantidad de objetos y decir que esa colección tiene, por ejemplo, el triple de objetos que otra y pedir que dibujen la otra.

Recuerden que la reversibilidad es muy importante en matemáticas en general y en la resolución de ecuaciones en particular.

¿Cuáles son los numerales partitivos (fraccionarios)?

Como su nombre lo indica, son los que sirven para darle nombre a los números fraccionarios, que son parte de una o más unidades (ver más sobre números fraccionarios aquí).

Ésta es una tabla con la escritura de los primeros numerales partitivos y algunos ejemplos de los siguientes, según la cantidad de partes en la que se dividió la unidad:

Podrán observar que en este tipo de cantidades, entre cuatro y diez particiones, además del centésimo, milésimo y millonésimo, los partitivos se expresan igual que los ordinales.

La sobre-generalización de estas similaridades hace que digamos erróneamente: es mi treintavo cumpleaños, cuando realmente es el trigésimo (o incluso más, si es que ya nos empezamos a quitar la edad).

Ideas para practicar con numerales partitivos

Si Juan se comió un cuarto de pizza y Pedro se comió la cuarta parte, ¿ambos comieron la misma cantidad? ¿Cuánto dejaron para los demás?

Si Manuel se comió un rol de canela y dejó los demás en el plato, ¿Qué parte de lo que había se comió?

O, con la misma imagen, se puede hacer una pregunta diferente: si le toca un rol a cada invitado, ¿Qué parte del total le toca a cada quién?

Tabla comparativa de los nombres

A continuación presento una tabla comparativa de los nombres según los números naturales relacionados. Recuerden que, para los ordinales, al número se le agrega una o pequeña, para los multiplicativos, significa el número de veces por el cuál se multiplicó y, para los partitivos, el número de veces en el cuál se dividió. Recuerden que para los multiplicativos que no tengan forma especial de expresarse, se usa tantas veces:

Para cerrar

Es conveniente saber expresarnos correctamente en lo referente a numerales. Revisarlos todos juntos nos permite compararlos y diferenciarlos, para poder usarlos apropiadamente en distintas circunstancias, como la solución del problema de los coches. Veamos en este pequeño paréntesis algebraico cómo se plantearía:

Si tomamos x como el número de participantes, veremos que:

El número 65 sólo da contexto pero no es necesario para resolver el problema. (Recuerden que es conveniente agregar datos de este tipo para que los alumnos se acostumbren a separar lo relevante de lo que sólo da contexto).

x/4 es el número de participantes que no terminaron la carrera

2 ( x / 4 ) es el número de participantes que terminaron la carrera pero no subieron al podio (el doble de la cantidad anterior). Si simplificamos la expresión, queda x / 2 (ver más sobre simplificación de fracciones aquí)

3 participantes subieron al podio (no hubo empates en los primeros tres lugares)

Si sumamos las tres cantidades anteriores, obtendremos el número total de participantes:

x/4 + x/2 + 3 = x

Resolvemos la ecuación de primer grado resultante (ver más sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita aquí y aquí):

3 = x – x/4 – x/2 (ver más sobre operaciones con fracciones aquí)

3 = x/4

12 = x

Por lo tanto, 12 corredores participaron en la carrera

Muchas gracias por acompañarme en el inicio de este nuevo año, por leer, por aprender, por enseñar, por compartir, por comentar, por disfrutar y por difundir el mensaje. Por favor escríbanme para sugerirme temas para incluir en las siguientes entradas, para que esto que hago les resulte más útil.

¡Excelente 2019 para todos!

Un abrazo

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

La foto que encabeza esta entrada es de Alex Andrews from Pexels

Obtuve parte de esta información de Wikipedia y el Diccionario Panhispánico de Dudas de la Real Academia de la Lengua

Hice las tablas en Excel