En la entrada pasada (ver aquí) revisamos cómo convertir un número expresado en el sistema numérico decimal a uno expresado en el sistema binario de numeración, tanto para cantidades enteras como no enteras.

En esta entrada veremos cómo hacer operaciones aritméticas con números expresados en sistema binario y algunas curiosidades sobre este sistema de numeración, incluyendo un truco de adivinación de números basado en las propiedades del mismo. Sigan leyendo para conocerlo.

Al ser también un sistema de numeración posicional, las operaciones básicas en el sistema binario siguen exactamente las mismas reglas que en el sistema decimal, sólo que los dígitos a usar para contar, al ser sólo dos en vez de diez, se terminan cinco veces más rápido. Los cuidados al “llevar”, “pedir prestado” y acomodar el punto que separa la parte entera de la fraccionaria son prácticamente los mismos, con algunos ajustes debidos a las características de este sistema, como veremos a continuación.

Forma abreviada para convertir de decimal a binario

Primero veamos una tercera forma de convertir de decimal a binario (vimos otras dos en la entrada pasada). Usaremos el mismo 56 de esa entrada:

El principio es el mismo, divisiones sucesivas entre dos, sólo que en esta forma de hacerlo, más «compacta», el residuo se escribe a un lado de una línea y los cocientes enteros sucesivos de la división entre dos se escriben hacia abajo. 56 entre 2 es 28 y el residuo es 0, 28 entre 2 es 14 y el residuo es 0 … 3 entre 2 es 1, residuo 1. Al final, se toma el último 1 y de ahí todos los residuos hacia arriba para formar, de izquierda a derecha, el número escrito en binario, 111000 en este caso.

Nota: como el editor en el que escribo este texto no me permite fácilmente escribir los subíndices 2, la palabra binario estará escrita muy cerca de cada número cuando éste esté escrito en base 2.

Conversión rápida

Ahora veamos esta interesante característica que ayuda a traducir más rápidamente ciertos números, basada en los valores de las posiciones:

Si conocemos el valor de cada posición, entonces podemos convertir rápidamente números como:

Decimal    Binario
16            ->  10000
4               ->     100

Y, por la misma razón que uno menos que 10000 se escribe 9999 en el sistema decimal, también uno menos que 16, o sea 15, se escribe: 1111 en el sistema binario. Sin cálculos, sólo usando el pensamiento lógico (ver más aquí y aquí) y los patrones (ver más aquí) que se observan al escribir los números en el sistema binario.

¿Cómo escribirían 64 en el sistema binario? 64 está en la posición 7 (es 2 elevado a la sexta potencia), por lo que se escribe en binario 1000000 ¿Y 63? Es 111111 en binario.

En la medida de lo posible, conviene buscar distintos caminos para hacer las cosas, si es usando el pensamiento lógico más que los procedimientos mecánicos o algorítmicos, mucho mejor.

Sumas con números en sistema binario

Partimos de estas sumas básicas en binario:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (o sea, 0 y llevamos 1)
1 + 1 + 1 = 11 (o sea, 1 y llevamos 1)

Veamos un ejemplo de suma de números binarios. Lo que «llevamos» está en rojo:

     11  1
     11101+
         101 
  100010

Comprobemos el resultado en numeración decimal:
29 + 5 = 34

Si vamos a sumar más de dos números, lo que se lleva puede necesitar escribirse en más de una posición y, por tanto, requeriremos más de un nivel para escribir lo que llevamos a lo largo de toda la suma:

    1
    101
        11
      111
      110
  10000

En la posición más a la derecha sumamos 1 + 1 + 0 = 10, escribimos 0 y llevamos 1

En la siguiente sumamos 1 + 1 + 1 + 1 = 100, escribimos 0 y llevamos 10, que se acomodan en las dos siguientes posiciones

En la siguiente sumamos 0 + 1 + 1 = 10, escribimos 0 y llevamos 1

Finalmente sumamos 1 + 1 = 10

Comprobamos en numeración decimal:
3 + 7 + 6 = 16

Restas con números en sistema binario

Estas son las restas básicas:

0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
0 – 1 = -1 (no alcanza, por lo que necesitamos usar alguna estrategia de las que ya sabemos usar en el sistema decimal, como “pedir prestado”, por ejemplo)
Al “pedir prestado”, convertimos la resta en:
10 – 1 = 1

Ejemplo (no se necesita “pedir prestado”):

  1111 –
    101
  1010

Comprobando en el sistema decimal: 15 – 5 = 10

Ejemplo (“pidiendo prestado”)

1110 –
1001

Si abrimos las posiciones y reacomodamos los valores (el 10 en rojo está en la posición donde antes sólo estaba el 0 en azul y el 1 verde cambia a 0 por prestarle a la siguiente posición)

1 1 0 10 –
1 0 0   1
0 1 0   1

Comprobando en el sistema decimal: 14 – 9 = 5

Otro ejemplo:

1 1 0 0 –
          1

Como en la última posición no alcanza para restar y en la siguiente no hay suficiente para “prestarle”, debemos pedirle una antes. Lo escribiré en dos pasos. De la tercera posición a la segunda

1 0 10 0 –
            1

Y la segunda posición se queda con 1 y le “presta” 1 a la siguiente:

1 0 1 10 –
            1
 1 0 1  1

Comprobando en el sistema decimal: 12 – 1 = 11

Las sumas y restas con números no enteros requieren los mismos cuidados de alineación que el sistema decimal (ver más aquí). Por ejemplo:

10.1 – 1.01 =

Se alinean las cantidades usando el punto (en este caso no podría llamársele punto decimal) y se completan los ceros necesarios:

 11.10 –
   1.01

Se reacomoda lo necesario:

  11. 0 10 –
    1. 0   1
  10. 0   1

Comprobamos en el sistema decimal: 3.5 – 1.25 = 2.25

Multiplicación con números en el sistema binario

Éstas son las multiplicaciones básicas:

0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1

¡Qué rápido se pueden aprender las tablas de multiplicar en el sistema binario!

¿Notan que hay tres formas de obtener 0 y sólo una de obtener 1 y éstas son las únicas respuestas posibles a todas las combinaciones de multiplicaciones de los dígitos del sistema binario? En cambio, en el sistema numérico decimal, con 10 cifras diferentes, si multiplicamos todas las combinaciones posibles, obtendremos resultados de hasta 2 cifras y sólo 19 de los 100 posibles serán cero (ver más sobre tablas de multiplicar aquí y aquí).

Así se haría una multiplicación:

         1 1 0 1 x
            1 0 1
         1 1 0 1
      0 0 0 0
   1 1 0 1      
1 0 0 0 0 0 1

Resulta muy rápida porque sólo se multiplica por 1 o por 0. La fila de ceros puede no escribirse siempre y cuando la siguiente se escriba en su posición correcta.

Comprobando en el sistema decimal: 13 x 5 = 65

La división es similar a la que se realiza en el sistema decimal, con la facilidad de que decidir cuántas veces cabe un número en otro es mucho más sencillo. Hagamos la división de 1 0 0 0 0 0 1 entre 1 1 0 1:

Se acomodan el dividendo y el divisor y se escribe el primer uno en la posición donde ya caben todos las cifras del divisor para ser restadas. Se hace la resta y se baja la siguiente cifra.

                            1      
1 1 0 1 | 1 0 0 0 0 0 1
                   1 1 0 1
                         1 1 

Si a la cantidad resultante se le puede restar el divisor, se pone otro uno en el cociente, si no (como en este caso) se pone un cero y se baja la siguiente cifra, hasta que haya suficientes cifras para restar el divisor.

                            1 0 1
1 1 0 1 | 1 0 0 0 0 0 1
                   1 1 0 1
                         1 1 0 1
                         1 1 0 1
                                   0

Dependiendo del país, el acomodo de la «casita» o galera de la división, el dividendo, el divisor y el cociente pueden variar, pero el procedimiento general es el mismo.

Comprobamos en el sistema decimal: 65 / 13 = 5

Los cuidados con la posición del punto son idénticos a las operaciones con números decimales (ver más aquí).

Adivinando un número

El que el sistema binario use sólo dos cifras permite llevar a cabo un juego de adivinación de números con base en tarjetas con números escritos o impresos del que he encontrado distintas versiones en la red. Lo que aquí les presento es un poco distinto, porque decidí aprovechar los patrones que podemos observar en los números binarios para que el juego llevara a un mayor aprendizaje:

Veamos primero una versión del juego con sólo 4 tarjetas:

Se le dan esas 4 tarjetas a una persona y se le pide que piense en un número del 1 al 15 y nos devuelva las tarjetas en las que dicho número aparece en ROJO.

Al observar brevemente las tarjetas, podemos decir rápidamente qué número aparece en ROJO solamente en esas y no en las otras.

Por ejemplo, si nos devuelve estas dos:

Sabremos rápidamente que el número es el 12

¿Cómo funciona?

Si el número elegido solo puede estar en rojo o en azul, es decir, en uno de dos estados, el sistema binario de numeración es perfecto para ayudarnos a dar con dicho número.

Observen de nuevo las tarjetas:

La que está más a la derecha tiene el 1 y todos los demás números nones en rojo, porque corresponde a la posición más a la derecha de un número escrito en binario. Si la persona entrega esa carta, significa que su número es non.

La que sigue hacia la izquierda tiene el 2 y el 3, el 6 y el 7… en rojo, porque corresponde a la segunda posición en binario de derecha a izquierda y tiene en rojo todos los números que llevan un 1 en esa posición.

¿Ven los patrones de colores en cada tarjeta? La tarjeta de más a la derecha cambia de color en cada número, empezando con rojo en el 1, la siguiente cambia de color cada dos números, empezando con rojo en el 2, la siguiente cada cuatro, empezando con rojo en el 4 y la última cada ocho, empezando con rojo en el 8.

Si sumamos los primeros números en rojo de cada tarjeta que incluya al número elegido por la persona, (8 + 4 = 12 en el ejemplo) obtendremos dicho número.

El patrón puede verse aún más claro si se usa el cero en las tarjetas. Nuevamente pedimos que escojan un número del 0 al 15 y nos den las tarjetas donde el número está en rojo. Si dicen que en ninguna, el número es 0, si nos dicen que en todas, el número es 15, o 1111 en binario.

Pueden observar que los patrones de colores son mucho más claros en este acomodo, con filas y columnas enteras del mismo color. Esto ayuda a entender mejor cómo funciona el sistema binario, aunque pueden provocar que nos descubran el truco más fácilmente:

También pueden acomodarse las tarjetas en orden y pedir que dejen hacia arriba las tarjetas que tienen el número en rojo y volteen hacia abajo las que lo tienen en azul. El procedimiento de adivinación es el mismo, sumar los primeros números en rojo de cada tarjeta, que sería lo mismo que convertir a decimal un número binario que tenga unos en cada tarjeta cara arriba y ceros en cada tarjeta cara abajo.

¿Ya vieron cuál es el número? 8 + 2 + 1 = 11

Si quieren dar la impresión de que aumentan el grado de dificultad, pueden pedir que ahora pongan boca abajo las tarjetas que sí tengan en rojo el número que eligieron (o sea, exactamente al revés que en el ejemplo anterior). Cambiaré el número a adivinar:

En este caso, hay dos formas de encontrar la respuesta:

• Saber que las tarjetas que están cara arriba son el complemento a 15 (máximo posible) del número elegido y, como suman 2 + 4 = 6, el número elegido es el 9.  Comprobación de los complementos: si sumamos en binario 110 + 1001 obtenemos 1111. Siempre que sumemos un dos números binarios que tengan distintos los unos y ceros en cada posición, se llegará a un número que esté formado por sólo unos.
• Leer las tarjetas en binario considerando unos las que están cara abajo y ceros las que están cara arriba, por lo que el número elegido en binario es 1001, que corresponde a 9 en decimal.

Observen esta tabla con los primeros 16 números escritos en binario, ahí pueden ver cómo la posición más a la derecha cambia de 0 a 1 en cada número, la segunda cada dos números, la tercera cada cuatro números… de ahí los patrones de colores en las tarjetas.
¿Interesante, verdad?

Si quieren incrementar el grado de dificultad, pueden hacer tarjetas hasta el 36 con el mismo principio. De la misma forma que en las anteriores, el primer número en rojo indica qué valor se debe sumar para «adivinar» el resultado. Las primeras tres indican que debemos sumar 32, 16 y 8 respectivamente y las siguientes tres los valores 4, 2 y 1.

También se pueden hacer hasta el 35, incluyendo el 0 al inicio, con lo que es más evidente el patrón:

En estas tarjetas el patrón no queda en filas y columnas completas porque los cuadros quedan de 6 x 6 y 6 no es potencia de 2. Para que vuelva a verse el patrón muy claro necesitamos hacer 8 tarjetas de 8 x 8, que abarcarían hasta 63. No podemos incluir el 64 porque iría en una séptima tarjeta, por lo que debemos llenar ese hueco con un 0, un ? o algún otro símbolo, como se hizo en las tarjetas de 4 x 4. En las de 6 x 6 se puede llegar hasta el 36 porque, nuevamente, 6 no es potencia de 2 y las tarjetas están sobradas, es decir, pueden representar números aún mayores que 36.

Nota: el truco de adivinación poniendo las tarjetas en orden y volteando hacia abajo las que sí tienen el número elegido en rojo, calculando el complemento a 15 o a 63 sólo funciona con tarjetas de 4 x 4 (hasta el 15) u 8 x 8 (hasta el 63) porque, al ser potencias de 2, lo que está cara arriba es complemento de lo que está cara abajo. En las tarjetas de 6 x 6 sólo funciona el tomar una tarjeta cara arriba como cero y cara abajo como uno (siempre cuidando el orden en el que las leemos, basado en el primer número que está rojo, para que respeten el valor posicional)

Comúnmente se sugiere hacer las tarjetas incluyendo sólo los números rojos, acomodándolos de forma que no sea muy evidente el truco. Eso es suficiente para el juego de adivinación, pero no permite ver los patrones, por eso yo lo propongo de esta manera.

¿Conocen algún otro juego de adivinación basado en los números binarios? ¡Compártanlo en los comentarios, por favor! En una entrada anterior (ver aquí) compartí algunos trucos de magia matemática que involucran el nueve.

Para cerrar

Aquí termina la entrada 47 de este blog, la segunda dedicada al interesante sistema de numeración binario. Puede pensarse que traducir entre sistemas de numeración y hacer operaciones en binario no es relevante para alguien que no va a dedicarse a programar computadoras, sin embargo, en los niveles escolares básicos la mayoría de los estudiantes aún no tienen claramente definido a qué se dedicarán en su vida, así que es demasiado pronto para decidir si saber hacer esto le servirá o no en su vida laboral más adelante. Lo que sí es seguro es que las conexiones neuronales y el pensamiento lógico que se desarrolla al trabajar con números binarios y con cualquier otro tema matemático les será muy útil en su vida diaria. Así que, apoyemos a niños y jóvenes para que entiendan y apliquen correctamente todo lo relacionado con los números binarios, aderezándolo con los chistes y los trucos de adivinación que permiten estos números.

Como siempre, gracias por leer, comentar y compartir.

¡Hasta la próxima semana!

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

Algunos datos los obtuve de Wikipedia. Realicé imágenes en Word y Excel.

Gracias a la gente de ángeles editores por darme a conocer una versión del juego de adivinación de números que detonó la idea de este par de entradas.