Ésta es la entrada 87 del blog. La dedicaremos a un acercamiento a los temas de relaciones y funciones, que pretende ayudar a que los conceptos se comprendan y distingan de forma sencilla, sin tantas «fórmulas». Una siguiente entrada complementará ésta con más ejemplos.

Nos limitaremos a relaciones y funciones entre dos conjuntos.

¿Qué es una relación?

Una relación es una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos.

Dicha regla de correspondencia puede darse a conocer mediante:

• Flechas (se le llama diagrama sagital), que van de un elemento del primer conjunto a un elemento del segundo conjunto.

• Pares ordenados, en el que el primer elemento del par pertenece al primer conjunto y el segundo elemento del par pertenece al segundo conjunto.

(A,1), (A,2), (B,2), (B,3), (C,3)

• Tabulaciones, en las que en la primera columna aparecen los elementos del primer conjunto que están relacionados con el elemento del segundo conjunto que está en el mismo renglón.

Conjunto 1      Conjunto 2

A     1

A     2

B     2

B     3

C     3

Las tres representaciones anteriores corresponden a la misma relación. Las siguientes dos corresponden a otra.

• Expresiones algebraicas con dos variables. Regularmente la x corresponde a los elementos del primer conjunto y la y a los elementos del segundo conjunto.

x² + y² = 9 

• Gráficas con puntos (pares ordenados) o líneas (representando la expresión algebraica)

Suele considerarse que todos los elementos del primer conjunto deben estar relacionados con al menos un elemento del segundo conjunto, sin importar que queden elementos del segundo conjunto que no estén relacionados con ninguno del primer conjunto.

¿Qué es una función?

Es una relación cuya regla de correspondencia está limitada a que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

Se puede expresar de las siguientes formas, similares a las de una relación:

• Diagrama sagital, en el que se ven muy claros los diferentes casos:

Función inyectiva: a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno del segundo y puede sobrar alguno del segundo conjunto:

Función suprayectiva o sobreyectiva: a cada elemento del segundo conjunto le corresponde al menos uno del primero y puede ser más de uno.

Función biyectiva: a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno del segundo y viceversa, por lo tanto, no se repiten. Se trata de una función inyectiva y suprayectiva a la vez:

• Expresiones algebraicas con dos variables. Regularmente la variable x corresponde a los elementos del primer conjunto y la variable y a los elementos del segundo conjunto. Y regularmente la variable y está a la izquierda del signo igual, con coeficiente y exponentes 1 y del otro lado hay sólo variables x.

y = x²

• Tabulaciones

x        y

-3        9

-2        4

-1        1

0        0

1        1

2        4

3        9

• Pares ordenados

(-3 , 9), (-2 , 4), (-1 , 1), (0 , 0), (1 , 1), (2 , 4), (3 , 9)

Nota: la tabulación y los pares ordenados que puse como ejemplo concuerdan con algunos de los valores enteros de x y con los correspondientes valores de y, calculados mediante la función y = x². La gráfica que aparece a continuación incluye los valores no enteros de x y sus correspondientes valores de y.

• Una gráfica con puntos (pares ordenados) o líneas (representando la expresión algebraica)

La gráfica de una función debe pasar la prueba de la recta vertical. Esto es: a lo largo de toda la gráfica, cada recta vertical que se dibujara sólo podría tocar un punto de dicha gráfica en cada posición.

Se puede probar acomodando una regla de forma vertical, moviéndola de izquierda a derecha y comprobando que sólo toca en un punto a la gráfica en cada posición.

Nota: Relación y función NO son conceptos excluyentes. Toda función es una relación que cumple con la restricción de que a cada valor del primer conjunto le corresponde máximo un valor del segundo conjunto.

¿Qué otras formas de representar una relación y una función conocen?

Dominio de una función

Es una palabra que muchos de mis alumnos temen, considero que por no entender cabalmente su significado

El dominio de una función es el conjunto de los números para los cuales la función tiene sentido (o sea, puede calcularse).

El diccionario de la Real Academia de la Lengua Española en Internet no incluye una definición de dominio en matemáticas, sin embargo, algunas otras definiciones ayudan a entenderlo, como “territorio”:

Digamos que, de entre todo el “territorio” de los números reales, la función puede sólo existir en cierta parte de dicho “territorio”. Al intentar relacionar los números que quedan fuera de ese territorio con los del otro conjunto mediante la regla de correspondencia, entramos en indefiniciones matemáticas en general (como la división de un número diferente de cero entre cero y el logaritmo de cero en cualquier base) o al menos en los números reales (como las raíces de índice par de un número negativo o los logaritmos de cualquier base de números negativos).

Por tanto, para determinar el dominio de una función, lo que se requiere es identificar sus restricciones de dominio, es decir, aquellos números para los cuales la función no tiene sentido, porque ocurre algo de lo que mencioné en el párrafo anterior.

Cuando al conjunto de los números reales se le restan aquellos números que pertenecen a las restricciones de dominio, por provocar indefiniciones matemáticas, lo que queda es el dominio de la función.

Al dominio también se le conoce como pre-imagen, conjunto de definición y conjunto de partida. ¿Qué otro nombre conocen?

Cada tipo de función tiene su correspondiente restricción de dominio. Veremos ejemplos en la próxima entrada.

Rango de una función

Es el conjunto de todos los resultados posibles de la función. Así de sencillo. Así de complejo.

Si bien el dominio de una función se puede determinar sólo con analizar la expresión algebraica, el rango de la misma es más complejo de determinar. Normalmente yo pido a mis alumnos que el dominio lo determinen analíticamente y el rango lo determinen gráficamente, después de «dibujar» la función.

Al rango también se le conoce como imagen, codominio, contradominio y conjunto de llegada, aunque siendo muy estrictos esas palabras pueden no ser sinónimos. ¿Qué otro nombre conocen?

Otra forma de ver este tema

Buscando ejemplos qué compartir aquí, se me ocurrió una idea un poco diferente a lo que normalmente escribiría. Veamos si funciona:

Una relación en matemáticas es parecida a una relación humana: a veces sabes con bastante certeza qué va a ocurrir como respuesta a lo que tú hagas y a veces tienes más de una posible de respuesta a tus acciones.

En cambio una función en matemáticas es parecida a una función de una máquina, en la que se conoce con bastante certeza la respuesta que la máquina dará a una acción nuestra.

Siguiendo esa línea de pensamiento, en matemáticas las relaciones pueden ser impredecibles con exactitud, en el sentido de que a un mismo dato de entrada puede corresponderle más de un dato de salida.

En cambio una función en matemáticas es totalmente predecible. Para cada dato de entrada hay uno y sólo uno de salida.

Recuerden que los conceptos no son excluyentes, todo lo contrario. Todas las funciones son casos especiales de relaciones para las cuales se puede predecir su valor.

Y no todos los números existentes funcionarán siempre como datos de entrada. Puede haber uno o más que tienen un efecto tal dentro de la regla de correspondencia, que no permiten que la función se calcule y, por tanto, no pertenecen a su dominio.

¿Por qué es importante conocer la regla de correspondencia de una relación, aunque sea menos predecible que una función?

Porque nos ayuda a determinar todas las posibles combinaciones de datos de entrada y salida y eso es una información muy valiosa también.

Las circunferencias, elipses, parábolas horizontales e inclinadas y muchas hipérbolas son relaciones, no funciones, pero, al escribir la regla de correspondencia entre las variables, sabemos exactamente de qué figura estamos hablando, la podemos dibujar o reconocer y determinar sus características.

Para cerrar

Entender lo que hace diferente a una relación de una función permite trabajar con las ambas más adecuadamente, facilitando el graficarlas y el usarlas en otros ámbitos matemáticos, como el Cálculo Diferencial e Integral.

Determinar el dominio y el rango de una función permite identificar los valores que nunca podrán tomar las variables, lo cual es útil, por ejemplo, al resolver problemas en los que intervengan funciones.

En la siguiente entrada complementaremos lo visto en ésta con más ejemplos.

Como siempre, gracias por leer y compartir.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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