Ésta es la entrada 89 del blog, la dedicaremos a dar continuidad a la de hace dos semanas (ver aquí), en la que hablamos de relaciones y funciones y describimos brevemente los conceptos de dominio y rango.

Por como lo he vivido, dominio y rango son conceptos para los que los alumnos quieren limitarse a memorizar una serie de reglas para determinarlos. Con ello creen que se sentirán seguros, pero acaba siendo contraproducente. Si bien puede hacerse algo parecido a un “formulario” para determinar los dominios de las funciones básicas, es poco frecuente que los profesores permitamos que los alumnos lo tengan a la mano en un examen, quizá porque nos parezca que con el sentido común debería ser suficiente.

Pero, aunque debería, no lo es, y creo que mucho depende de la forma como acerquemos a los alumnos al tema. Veremos algunas ideas al respecto, que conviene que se aborden desde el primer momento en el que algunos casos de una operación no están definidos en los números reales: la división en la educación primaria.

Recordemos la definición de dominio:

El dominio de una función es el conjunto de los números reales para los cuales la función tiene sentido (o sea, puede calcularse y se obtiene un número que también es real).

Determinar el dominio de una función es un proceso que empieza identificando las limitaciones de dicha función, conocidas como sus restricciones de dominio, es decir, aquellos números reales para los cuales la función no tiene sentido en los mismos números reales.

Nota: los números reales incluyen a los naturales / enteros / racionales más los irracionales (ver más sobre números racionales aquí y sobre números irracionales acá).

Me parece que la costumbre de poner a los alumnos sólo ejercicios que sí se pueden calcular hace que les resulte difícil ubicar bajo qué circunstancias no es posible hacer un cálculo. Por lo tanto, considero que una diferencia en el enfoque de la enseñanza en primaria y secundaria pudiera ayudar a los profesores de preparatoria y, con ello, a sus alumnos:

Si a lo largo de su vida académica el alumno sólo resolvió cálculos que sí tenían resultados en los números reales, le será complejo comprender que esas operaciones que con tanta seguridad calculaba y para las que creía que siempre habría un resultado real, puedan tener casos en los que eso no ocurra.

Si todas las divisiones que le presentaron se podían calcular, ¿cómo va a comprender de golpe que la división de un número diferente de cero entre cero está indefinida y la de cero entre cero está indeterminada (ver más aquí)?

Si todas las raíces cuadradas que conoció se podían calcular, ¿cómo va a comprender de repente que las raíces de índice par de números negativos no están definidas en los números reales?

Si todos los logaritmos que le pidieron calcular se podían obtener, ¿cómo va a entender que el logaritmo de cero en cualquier base está indefinido y que el logaritmo de un número negativo, en cualquier base, es un número imaginario?

Quizá es un poco radical la postura de enseñar al alumno las limitaciones de las operaciones en el momento mismo que las aprende, pero mi sentir es que es mejor así. No se trata de volverlos expertos en números imaginarios cuando apenas están aprendiendo a sacar una raíz cuadrada. Se trata de evitar crearles una idea equivocada de que una operación dada se puede realizar con cualquier número, lo cual puede llevar a sobre-generalizaciones peligrosas (ver más de sobre-generalizaciones aquí).

Veamos algunas ideas al respecto; agradeceré que me compartan en los comentarios las que se les ocurran después de leerlas. Trataremos cada tipo de función de forma aislada; cuando una función resulte de la combinación de dos o más tipos de funciones, estará sujeta a las restricciones de dominio de todos esos tipos de funciones.

Cuando sumamos, restamos, multiplicamos y elevamos a potencias enteras positivas, ¿podemos hacerlo con cualquier número real?

La respuesta es sí.

Todas las operaciones mencionadas pueden hacerse con cualquier número. Eso se lo podemos inculcar a los alumnos desde muy pronto en la primaria:

Todas las sumas, restas, multiplicaciones y potencias enteras positivas pueden calcularse con todos los números reales, obteniendo un número real. Quizá sea muy pronto para hablar de “números reales”, pero que observen que siempre se puede calcular va sentando un precedente: más adelante veremos operaciones que no siempre se puedan calcular.

Por lo tanto, las funciones polinómicas no tienen restringido el dominio.

Cuando dividimos, ¿el numerador y el denominador pueden ser cualquier número real?

La respuesta es no.

Como mencioné antes, la división de un número diferente de cero entre cero no está definida y la división de cero entre cero no está determinada.

La división de un número diferente de cero entre cero no está definida ni en los números reales ni en los imaginarios, pues no hay forma de repartir entre cero ni de determinar cuántas veces debo restar cero para obtener otro número.

Nota: dividir cero entre un número diferente de cero si es posible y su respuesta es cero. Algunos alumnos se “paralizan” al ver un cero en la división, porque recuerdan vagamente que eso provoca problemas; necesitamos tranquilizarlos y hacerles ver, quizá con un ejemplo, incluso probando en su calculadora, que dividir cero entre un número diferente de cero es cero.

Si ese conocimiento lo compartimos, sin profundizar mucho, con los niños en la primaria al practicar la división, les facilitaremos el entender que las funciones racionales tienen una restricción de dominio que procede de la imposibilidad de obtener una respuesta al dividir entre cero.

En una función racional formada por polinomios en numerador y denominador, el dominio está restringido a que el denominador no puede ser cero.

Si estoy analizando una función racional, reviso qué valores de x hacen que el denominador sea igual a cero y los descarto del dominio.

Por lo tanto, el dominio de una función racional (con polinomios en numerador y denominador) está formado por todos los valores de x para los cuales el denominador es diferente de cero.

Ojo: NO se debe simplificar la expresión racional antes de determinar su dominio, pues las gráficas de las funciones racionales no suelen ser las mismas antes y después de simplificarse. La simplificación frecuentemente descarta restricciones de dominio.

Cuando obtenemos una raíz cuadrada (o cuarta o cualquiera de índice par), ¿el radicando (lo que está adentro del símbolo de la raíz) puede ser cualquier número real?

La respuesta es no, veamos por qué:

Si recordamos que al elevar un número cualquiera (positivo o negativo) al cuadrado, obtenemos un número positivo (menos por menos es más y más por más es más), entonces, por reversibilidad (ver más aquí), podremos caer en la cuenta de que no podemos tener un número negativo que se haya obtenido de elevar al cuadrado (o a cualquier potencia par) un número real (sin importar el signo) y, por tanto:

No es posible obtener, en los números reales, una raíz de índice par de un número negativo. El resultado será un número imaginario.

Es ideal que los alumnos distingan cuando un resultado no es obtenible (en la calculadora) porque no está definida la operación para ese valor (como la división de un número diferente de cero entre cero y el logaritmo, en cualquier base, de cero) y cuando no es obtenible (en la calculadora) porque resulta un número imaginario. Claro que ya hay calculadoras que también manejan imaginarios, pero reitero que es ideal que los alumnos entiendan qué hay detrás del “math error” que les despliega.

En una función radical, cuyo radicando es un polinomio, el dominio estará restringido a: el radicando de una raíz de índice par debe ser mayor o igual a cero.

Si estoy analizando una función radical de índice par, reviso qué valores de x hacen que el radicando menor a cero y los descarto del dominio.

Por lo tanto, el dominio de una función radical de índice par cuyo radicando es un polinomio está formado por todos los valores de x para los cuales el radicando es mayor o igual a cero.

Nota: después de ver lo que hace el cero con la división, algunos alumnos se asustan al ver la raíz cuadrada de cero y piensan que no se puede obtener. Para que entiendan que sí es posible, podemos pedirles que piensen cuánto es cero por cero, es decir, cero al cuadrado. Incluso pueden usar su calculadora y darse cuenta de que sí les da una respuesta.

Nota 2: todas las raíces de todos los índices tienen respuesta, sólo que para las de índice non todas las respuestas son números reales y para las de índice par de números negativos la respuesta es un número imaginario. Escribiré más adelante sobre eso.

Al obtener el logaritmo, en cualquier base, ¿el argumento puede ser cualquier número real?

También en este caso la respuesta es no.

Escribí sobre logaritmos aquí y aquí.

Algo esencial en los logaritmos es que su base es positiva y diferente de 1. Si recordamos que un número positivo elevado a cualquier potencia (positiva, negativa, incluso cero) resulta en un número positivo, entenderemos que el argumento de un logaritmo, en cualquier base, no puede ser un número negativo.

Por ejemplo, el logaritmo base 2 de -2 no puede calcularse en los números reales, porque no hay ningún número al que podamos elevar 2 para obtener –2. Podemos multiplicarlo por -1, pero eso no está relacionado con los logaritmos.

Con los logaritmos ocurre algo especial. Sus restricciones de dominio están relacionadas con el cero y los negativos de una manera similar a las anteriores:

Así como la división de un número diferente de cero entre cero no está definida, así el logaritmo de cero, en cualquier base, tampoco está definido, ya que no hay ningún exponente al que pueda elevar una base para obtener cero.

Por otro lado, así como las raíces de índice par de números negativos son imaginarias, así también los logaritmos, en cualquier base, de número negativos son imaginarios, sólo que es menos común que se mencione en las matemáticas escolares. Yo lo descubrí al conocer la identidad de Euler (ver más aquí).

Nuevamente, muchas calculadoras generarán un “math error” al tratar de obtener un logaritmo de cero o de un número negativo, pero no harán diferencia entre uno y otro.

En una función logarítmica, cuyo argumento es un polinomio, el dominio estará restringido a: el argumento del logaritmo de cualquier base debe ser mayor a cero.

Si estoy analizando una función logarítmica, reviso qué valores de x hacen que el argumento menor o igual a cero y los descarto del dominio.

Por lo tanto, el dominio de una función logarítmica de cualquier base, cuyo argumento es un polinomio, está formado por todos los valores de x para los cuales el argumento es mayor a cero.

Al elevar cualquier base positiva a un exponente, ¿el exponente puede ser cualquier número real?

Aquí la respuesta es sí.

Las bases positivas pueden ser elevadas a cualquier exponente, ya sea positivo, negativo o cero, y se obtendrá un número real como resultado.

Por lo tanto, las funciones exponenciales no tienen restricción de dominio.

Para cerrar

Las restricciones de dominio de las funciones que presentamos están relacionadas de una u otra forma con el cero, de ahí surgió la idea de hacer que la imagen que encabezara esta entrada mencionara las dos primeras restricciones presentadas aquí:

El denominador de una función racional no puede ser cero.

El radicando de una función radical de índice par no puede ser menor que cero.

La tercera restricción une a las otras dos: el argumento de un logaritmo en cualquier base no puede menor ni igual a cero.

Si la función es una combinación de las anteriores y/o de algunas otras, las restricciones también deberán combinarse.

Confío en que esta entrada apoye un enfoque de sentido común en la determinación de los dominios, así como un enfoque didáctico en el que se fomente desde temprano en la enseñanza de las matemáticas el identificar las restricciones de las operaciones que después integrarán funciones en el momento en el que se enseñan las operaciones, sin esperar a que los alumnos lleguen a las funciones.

Dedicaré una entrada posterior a ejemplificar ésta y a abordar el rango de las funciones.

Como siempre, gracias por leer, comentar y compartir.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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