Ésta es la entrada ¡100! de este blog. La primera con dos ceros, así que queda bien dedicarla a ese número tan especial.

Ya había dedicado una entrada previa a los que se consideran los cinco números más relevantes de las matemáticas (ver aquí). Hoy retomaré lo visto en ese momento y lo complementaré con más información interesante.

¿El cero es un número?

Sí, el cero es tan número como todos los demás, aunque con ciertas características que lo distinguen de los otros y que conviene hacer notar a nuestros hijos y alumnos conforme vaya siendo relevante en su aprendizaje.

El cero es el número que usamos para indicar cuántos hay cuando no hay nada.

Para entenderlo mejor, revisemos un poco de su historia.

El cero en la historia

Dependiendo de las características de un sistema de numeración, se requiere o no se requiere un símbolo que signifique la ausencia de cantidad.

Para los sistemas de numeración que no son posicionales, como el romano (ver más aquí), no fue necesario tener un símbolo para el cero. Si al contar no había nada, no requerían un número como tal para indicarlo, sólo la frase correspondiente.

En cambio, para la escritura de números en las culturas babilonia, maya e india, que tenían sistemas de numeración posicionales, se requirió algún símbolo que indicara que en esa posición no había nada.

Para explicarlo de forma sencilla, en nuestro sistema de numeración decimal, 903 indica que hay 9 centenas, 0 decenas y 3 unidades, es decir no hay decenas. (Ver más sobre el sistema numérico decimal, posicional, aquí).

Los sistemas de numeración posicional permiten escribir grandes números con pocos caracteres. El sistema numérico decimal en general y el cero en particular, permitieron el desarrollo de la matemática a partir de que llegaron a Europa, cerca del siglo XIII, aunque el cero empezó a usarse como número en la India unos seis siglos antes.

Como información histórica interesante, para los griegos el primer número como tal es el dos, pues los números servían para contar más de uno. A los griegos la idea de la “nada” no les hacía mucho sentido, por eso no veían la necesidad de un número que la representara. En cambio en la India el concepto era bienvenido, al punto de crear un símbolo para él: el cero.

Si a la humanidad le costó trabajo llegar al concepto del cero, después de llevar años contando y haciendo operaciones con números, incluso algo de álgebra, es razonable pensar que a nuestros hijos y alumnos les cueste trabajo comprender las características especiales de ese número. Por lo tanto, es conveniente hacérselas notar y acompañarlos mientras las aprenden.

Pueden ver más sobre la historia del cero aquí.

¿Qué características del cero lo hacen diferente a los demás números?

El cero es el elemento neutro en la suma, incluso si se intercambian los sumandos. Esto es, si sumamos cero a un número, su valor no cambia:

9 + 0 = 9

0 + 9 = 9

El cero es el elemento neutro en la resta, pero sólo si está escrito después del operador:

9 – 0 = 9

0 – 9 = -9 (sí cambia)

El cero es el resultado de restar un número a sí mismo:

9 – 9 = 0

O de sumarle a un número su inverso aditivo:

9 + (-9) = 0

El cero es el elemento absorbente en la multiplicación, incluso si se intercambian los factores. Esto es, si multiplicamos cualquier número por cero, obtendremos siempre cero:

9 x 0 = 0

0 x 9 = 0

En cuanto a la división, es necesario tener mucho cuidado. Dados los elementos de la división (dividendo y divisor) existen tres posibles combinaciones de números diferentes de cero y cero.

Suponiendo que a es diferente de cero, tenemos:

0 / a = 0

a / 0  no está definido, aunque si el denominador no fuera cero, sino un número muy chiquito cercano a cero, el resultado de esa división sería un número muy grande. Por eso en algunos textos se dice que el resultado es infinito.

Pueden ver un video explicativo aquí:

0 / 0 no está determinado. Es una situación muy diferente a la anterior. Realmente pudiéramos dar cualquier respuesta, dado que al comprobarla tendríamos una igualdad válida. Veamos cómo:

Si 10 / 5 = 2  porque 2 x 5 = 10

Entonces 0 / 0 = 2 porque 2 x 0 = 0. Pero también puede ser cualquier otro valor.

Cuando el 0/0 o el a/0 se obtienen dentro del proceso de solución de un problema (límites, sistemas de ecuaciones resueltos por determinantes, etc), el contexto puede ayudar a determinar el valor o el conjunto de valores que realmente resolverían el problema, aunque matemáticamente esté indeterminado o indefinido.

Ojo, en los dos casos anteriores, regularmente las calculadoras indican lo mismo “math error”. Sin embargo, la interpretación de cada caso es distinta, como ya vimos.

Todo este apartado se refiere a aritmética básica. Me parece que no se hace suficiente hincapié en la educación primaria sobre estas características del cero, lo cual hace que, cuando llega el momento de necesitarlas (solución de ecuaciones lineales, por ejemplo), la complejidad del aprendizaje se eleve, al ser necesario aprender las características del cero a la par de, por ejemplo, los procedimientos válidos para solucionar una ecuación.

¿Qué otras características del cero son relevantes?

El cero puede o no ser considerado un número natural. Se puede establecer dependiendo del contexto, siempre y cuando seamos congruentes y lo usemos siempre igual. Si se considera que los números naturales sirven para decir cuántos hay de algo, el cero se requiere para el caso en el que no hay nada.

Lo que sí es en todos los casos, es un número entero.

Al ser un número entero, también es racional y real.

El cero no tiene signo. Es el parteaguas entre los números negativos y los positivos.

El cero es un número par, dado que al ser dividido entre 2 se obtiene 0 y el resto es 0, es decir, se trata de una división exacta. Pueden ver más aquí.

El cero no es un número primo, pues tiene infinitos divisores (la división de cero entre cualquier número diferente de cero es igual a cero, con residuo cero). La definición de un número primo indica que tiene solo dos divisores (el mismo número y la unidad).

Los múltiplos de cualquier número natural distinto de cero son infinitos. Sin embargo, el cero sólo tiene un múltiplo: el propio cero.

Los divisores de cualquier número natural son finitos. Sin embargo, los divisores del cero son todos los naturales excepto el propio cero.

El factorial de 0, esto es 0!, es igual a 1. Pueden ver la explicación aquí.

Cero elevado a cualquier potencia positiva es igual a cero. Eso implica que la raíz cuadrada, cúbica, etcétera de cero son iguales a cero.

Cero elevado a cualquier potencia negativa, por leyes de exponentes, equivale a una división entre cero que, como vimos antes, está indefinida:

0^(-2) = 1 / 0^2 que está indefinido

Cualquier base diferente de cero elevada a la potencia cero es igual a 1.

La razón está en las leyes de los exponentes. Cuando dos bases iguales se dividen, la base permanece y los exponentes se restan. Entonces si se divide, por ejemplo, 2^5 / 2^5 se obtiene 2^(5-5)=2^0 que debe ser 1, dado que, si se dividen dos números iguales, el resultado es uno.

¿Y si se eleva 0^0? Nuevamente depende del contexto y las condiciones. El resultado puede ser 1, 0 o indefinido.

¿Qué otros cuidados es necesario tener?

Normalmente cuando empezamos a contar, siempre empezamos por el 1, sin embargo, eso puede ser un problema al medir.

Muchos niños, por esa costumbre de empezar a contar en el uno, al medir un objeto ponen el número 1 de la regla en un extremo y revisan el número en el que está el otro extremo, con lo que obtienen una medición errónea.

Considero que hay un par de formas de evitar ese error:

Se puede practicar el conteo pasando objetos de un lugar a otro y diciendo: empezamos con cero objetos aquí, luego uno, dos… y luego decir: al medir, también se empieza con cero centímetros.

También se les puede mostrar un objeto que mida 2 cm y otro que mida 4 cm y hacer evidente que uno mide el doble que otro. Luego pedirles que los midan. Si lo hacen bien, una cantidad será el doble de la otra. Si empiezan del 1, el objeto pequeño medirá 3 cm y el grande 5 cm, que no es el doble. Esa contradicción les puede ayudar a entender.

Otra idea que se me ocurre es algo que vivimos en México: cuando vamos a poner gasolina al coche, el despachador nos dice: “empieza en ceros” antes de introducir la manguera en el depósito, porque aún no empieza a fluir el líquido. Igual cuando se pesa algo en una báscula. Si está vacía, marca ceros, en cuanto tiene algo con peso se mueve la medición. ¿Y el cronómetro? También empieza en ceros.

Las ideas anteriores ayudan también a transferir conocimientos entre distintos ambientes (conteo, medida de longitud, de peso, de volumen, de tiempo, etc.)

El cero en la escritura de los números

También debemos tener cuidado en la escritura de los números: Aunque en algunos contextos no se escribe el 0 antes del punto (o coma) decimal cuando el número es menor a uno, yo creo que es mejor siempre escribirlo, para evitar errores de interpretación si no se alcanza a percibir claramente el punto.

0.81  es mejor que .81

Por otro lado, debemos cuidar cómo se comprende la multiplicación por 10:

Si son números enteros, al multiplicar por 10 se agrega un cero a la derecha del número:

81 x 10 = 810

Si son números decimales, al multiplicar por 10 se mueve el punto decimal una posición hacia la derecha. Agregar un cero a la derecha, como se hace con los enteros, no modifica el valor de los números decimales.

0.81 x 10 = 8.1

Si son números racionales, al multiplicar por 10 se agrega un cero solamente al numerador (y se simplifica si es necesario):

81/7 x 10 = 810 / 7

Lo anterior está relacionado de alguna manera con la conocida frase: “ser un cero a la izquierda”.

Un cero a la izquierda en un número entero no modifica su valor:

81 = 081

Sin embargo, un cero a la derecha sí, multiplica el valor original por 10:

810 = 81 x 10

Sólo que la situación cambia en los decimales:

Un cero a la derecha no modifica su valor:

0.81 = 0.810

Mientras que un cero a la izquierda, pero antes del punto decimal, divide el valor original entre 10:

0.081 = 0.81 / 10

Para cerrar

Todo parece indicar que Eduardo Sáenz de Cabezón es un gran admirador del número cero. Acabo de ver una conferencia suya sobre este peculiar número y tiene al menos cuatro vídeos relacionados con el mismo. Todos los vinculé a esta entrada. ¡Gracias por compartirnos tus conocimientos de una forma tan amena!

Como siempre, muchas gracias a todos por leer, compartir y comentar.

Los siguientes dos miércoles este blog estará de vacaciones. Confío en volver a publicar el 8 de enero. Gracias por la paciencia.

¡Hasta entonces!

Rebeca

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