¿A mayor perímetro mayor área? No necesariamente

Ésta es la entrada 122 de este blog, buscaré contestar la pregunta que dejé abierta en la entrada pasada:

Dada una figura geométrica en dos tamaños, ¿la que tiene más perímetro también tiene más área?

La respuesta breve es: no necesariamente.

Vamos a ampliarla un poco.

Por alguna razón que aún no acabo de comprender, la geometría suele ocupar un espacio un tanto relegado en la enseñanza de las matemáticas. Si se revisan los libros de texto, el porcentaje de páginas dedicadas a la geometría frecuentemente es pequeño en comparación con el dedicado a la aritmética.

También cuando se hacen análisis sobre las dificultades que los alumnos tienen para aprender matemáticas y los errores que cometen en el proceso, hay mucha más información sobre cuestiones aritméticas que sobre cuestiones geométricas.

Yo misma le he dedicado menos entradas a la geometría que a la aritmética.

Quizá se considera que la geometría escolar es más fácil de ser aprendida por los alumnos, por ser algo relativamente más concreto que la aritmética escolar.

Sea cual sea la razón, dedicaré esta entrada a un detalle que debemos cuidar al enseñar el tema de áreas y perímetros de las figuras planas básicas: evitar generalizar erróneamente la relación entre ellas.

Normalmente enseñamos a calcular el perímetro como la suma de las medidas de los lados. Cuando hay dos o más lados iguales, se puede aprovechar para generar una fórmula para hacer el cálculo de manera abreviada.

Paréntesis muy relevante: Cuando se enseña a calcular el perímetro de un triángulo como la suma de sus lados, NO se debe indicar que la fórmula es P = L + L + L, porque al niño le puede quedar la idea de que una misma letra puede tomar distintos valores dentro de la misma expresión al mismo tiempo, y eso rompe con el significado de una incógnita o variable en álgebra. Se deben usar distintas letras en cada lado para evitar futuras confusiones.

Volviendo a nuestro tema, cuando enseñamos área, se puede iniciar de distintas maneras, pero se acaba por llegar a deducir (en el mejor de los casos) y a usar las fórmulas.

Entonces tenemos fórmulas de perímetro y de área para la misma figura que son diferentes pero están basadas en las mismas literales:

Para el cuadrado:

P = 4 L

A = L²

Para el rectángulo:

P = 2b + 2h

A = b*h

Vamos a limitar el análisis a estas dos figuras y luego extrapolaremos a otras:

En un cuadrado, si el tamaño del lado crece, siempre crece el área.

En un rectángulo… no. ¿Por qué la diferencia?

Porque el perímetro y el área del cuadrado dependen de una sola variable, si la variable crece, el perímetro y el área también.

En cambio, el perímetro de un rectángulo depende de dos variables y puede crecer de cuatro formas distintas, afectando de diferentes maneras al área:

Si crece la base y la altura permanece igual, el perímetro crece y el área también.

Si crece la altura y la base permanece igual, el perímetro crece y el área también.

Si ambas crecen, también lo hacen el perímetro y el área.

Si crece una de las dos medidas una cierta cantidad y la otra decrece una cantidad menor, el perímetro crece, pero lo que pasa con el área no se puede conocer tan directamente como en los otros tres casos.

En este último caso, dependiendo de las cantidades de aumento y disminución de ambas medidas será la variación en el área del rectángulo, que también depende de la dos variables.

Por ejemplo, si partimos de un rectángulo de base 6 y altura 4:

Perímetro = 2*6 + 2*4 =20                                Área = 6 * 4 = 24

Si la base crece en 2 y la altura disminuye en 1, quedando de 8 x 3:

Perímetro = 2*8 + 2*3 = 22 (Creció)               Área = 8 * 3 = 24  (¡Quedó igual!)

Si nuevamente la base crece en 2 y la altura disminuye en 1, queda de 10 x 2:

Perímetro = 2*10 + 2*2 = 24 (Creció)            Área = 10 * 2 = 20 (¡Disminuyó!)

Podemos incluso conseguir áreas mayores a partir de perímetros iguales.

Si a partir del ejemplo anterior la altura crece en 1 y la base disminuye en 1, queda un rectángulo de 9 x 3:

Perímetro = 2*9 + 2*3 = 24 (Quedó igual)    Área = 9 * 3 = 27 (¡Aumentó!)

Concluyendo:

Cuando el área y el perímetro dependen de una sola variable, a mayor perímetro, mayor área.

Las figuras básicas que caen en esta clasificación son el cuadrado y el círculo.

Los polígonos regulares: pentágono, hexágono, etcétera. también son de este tipo de figuras pues, aunque el perímetro dependa del lado y el área dependa tanto del lado como de la apotema, existe una relación entre ambos que hace que crezcan o decrezcan a la par, junto con el área de la figura.

En cambio, cuando el área y el perímetro dependen de dos variables que no tienen relación entre sí:

Si sólo una o ambas crecen, el área también crece.

Pero si una crece y la otra decrece, no puede saberse, sin hacer el cálculo directo o algún cálculo auxiliar, si el área crecerá o decrecerá.

Las figuras básicas que caen en esta clasificación son el rectángulo y el triángulo. Los rombos y los paralelogramos en general y los trapecios también.

Pregunta: ¿Qué figuras consideran que faltaron de clasificar?

La conjetura de Goldbach

En la entrada pasada comenté que la respuesta a la pregunta que la encabezaba estaba relacionada de cierta forma con la conjetura de Golbach, ahora explicaré por qué:

La conjetura de Goldbach que, según entiendo, no ha sido demostrada, dice así:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Parte de la dificultad para demostrarla recae en que relaciona números que se calculan mediante sumas con números que se determinan mediante factores (o el hecho de que no tengan más factores que ellos mismos y la unidad).

En el caso de la pregunta de ¿a mayor perímetro mayor área? la dificultad de afirmar que es cierta siempre recae también en que el perímetro se calcula mediante una suma y el área mediante un producto de dos factores. Sólo cuando todos los sumandos son idénticos se puede determinar con certeza que a mayor perímetro mayor área.

Una disculpa si esta relación les parece fuera de lugar. Puede ser que el prolongado confinamiento me esté haciendo ver lo que no existe.

Para cerrar

Gracias por la paciencia ante estas entradas tan caóticas, sigamos trabajando para que los niños y jóvenes sigan aprendiendo de esta forma emergente.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

2 comentarios en “¿A mayor perímetro mayor área? No necesariamente

  1. Muy acertado su análisis. Estoy leyendo un libro de matemática donde se dice que los Babilonios descubrieron que un producto de dos números siempre puede expresarse como la diferencia de dos cuadrados, y no podía entender porque 11 x 15 = 13² – 2².
    Saludos desde Tacna – Perú.

    Le gusta a 1 persona

    • Saludos desde México, Cristian,

      Me pusiste a pensar con tu comentario, nunca había escuchado esa afirmación, cuya justificación viene de que:

      (a+b) (a-b) = a^2 – b^2

      En el caso de tu ejemplo, a=13 y b = 2

      Conviene hacer la aclaración que los números no necesariamente son enteros:

      11 x 10 = 10.5^2 – 0.5^2

      Gracias por tu comentario y por incrementar mis conocimientos y los de los lectores.

      Rebeca

      Me gusta

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