Ejemplos limitados y ejemplos exhaustivos, algunas reflexiones al respecto

Esta es la entrada 73 del blog. 73 es un número primo simpático, porque sus dígitos suman 10. Además es uno de los 9 números primos entre 10 y 100 que, leídos al revés, también son primos. ¿Por qué no es una cantidad par de casos? Porque uno es capicúa, es decir, se lee igual al derecho y al revés (ver más sobre capicúas aquí):

11  13  17  31  37  71  73  79  97

Supongo que el 73 tendrá más características interesantes, pero no es el tema de hoy, así que dejaremos que Kike, de Perú, o alguien más que las conozca nos las comparta en los comentarios, por favor.

La idea de esta entrada surgió hace unos días, cuando analizaba junto con Érika y Gaby (¡gracias por ello!) cómo explicar la división de fracciones con dibujos, incluso con material concreto. Se trabaja de forma diferente según el caso, pero los ejercicios propuestos no contemplaban todos los casos y el que faltaba resultó realmente complejo de explicar con dibujos en ese momento (todavía estoy pensando en otras formas de hacerlo).

El caso es que esa vivencia me hizo pensar en las veces que limitamos la experiencia de los alumnos, al aprender un tema, a los casos más conocidos o más fáciles de resolver, lo cual los deja con una perspectiva pobre e incluso errónea del tema.

Esta va a ser una entrada extraña, al hablar sobre ser exhaustivos y no poder ser yo misma exhaustiva al escribirla. Compartiré los casos que tengo presentes y les pido que complementen la información, en los comentarios, con otros casos que se hayan topado.

Hoy ando un poco corta de tiempo, así que me limitaré a exponer brevemente algunos ejemplos y a ligarlos con lo que ya he escrito al respecto, una disculpa por ello.

Comprensión de la división de fracciones mediante dibujos:

Vaya, creo que necesitamos empezar un poco más atrás:

Comprensión de las fracciones mediante dibujos:

Normalmente se enseña a los niños pequeños que las fracciones representan en cuántas partes se partió (denominador) y cuántas de esas partes se tomaron (numerador).

Eso está bien, pero tiene fecha de caducidad. Es decir, funciona muy bien siempre y cuando las fracciones sean propias.

wood-fired-pizzas-2119644_1280_optPorque cuando son impropias, muchos niños se confunden. Si les pedimos que dibujen 9/8 de pizza quizá no sepan cómo empezar. Ayudaría que convirtieran la fracción a número mixto y así pudieran verlo más claramente: 9/8 = 1  1/8  esto es, tenemos una pizza completa (partida en octavos, si gustan) y otra pizza de la que sólo tomamos un octavo.

Este es, por tanto, uno de esos casos en los que los ejemplos pueden ser limitados (sólo fracciones propias) o exhaustivos (fracciones propias, impropias, aparentes y números mixtos). Yo considero que, bien manejados los ejemplos, se pueden mostrar todos los casos desde los primeros acercamientos de los niños a las fracciones, pero si tienen alguna objeción pueden escribirla en los comentarios, por favor, para tomarla en cuenta.

Comprensión de la suma y resta de fracciones mediante dibujos:

Considero que para la comprensión de la suma y la resta de fracciones mediante dibujos los casos más importantes a considerar son: mismo denominador y diferente denominador. Si además se contemplan las distintas combinaciones de números (fracciones propias, impropias, aparentes y números mixtos) nuestros alumnos estarán mejor preparados para enfrentar este tipo de operaciones más adelante.

Se pueden usar pizzas partidas según indiquen los denominadores y el mínimo común múltiplo de los mismos.

Comprensión de la multiplicación de fracciones mediante dibujos:

Nota previa: es importante, para evitar ciertos conflictos al revisar este tema, que evitemos decir que al multiplicar dos números (de cualquier tipo, enteros, decimales, fraccionarios) siempre se obtiene uno más grande. Eso es cierto sólo para números mayores a la unidad.

Al multiplicar una fracción propia por otra fracción propia, se obtiene una fracción que es menor que cualquiera de las anteriores.

back-day-91107_1280_optSi usamos pizzas, se “partirían y tomarían” los pedazos indicados en la primera fracción, y luego cada uno volvería a “partirse y tomarse” los pedazos indicados en la segunda fracción. Quizá convenga usar una de esas pizzas rectangulares. Hacerlo analíticamente es sencillo, con pizzas lleva un poco de tiempo y requiere de un buen análisis para determinar el denominador y el numerador de la fracción.

Al multiplicar una fracción propia por una impropia se obtiene una fracción que es menor que la impropia pero mayor que la propia. Hacer eso analíticamente es sencillo, pero con pizzas es complejo.

Al multiplicar una fracción impropia por otra impropia se obtiene una fracción que es mayor a ambas. Nuevamente, hacer eso analíticamente es sencillo, pero con pizzas es complejo.

Nos quedan los casos de la multiplicación de un entero por una fracción, ya sea propia o impropia, que son relativamente sencillos por implicar una sola fracción.

Comprensión de la división de fracciones mediante dibujos:

Si con la multiplicación es compleja, imagínense la comprensión de la división mediante dibujos.

Considero que el caso más sencillo es al dividir una fracción propia entre otra fracción propia. Siempre y cuando la primera sea más grande que la segunda. Por ejemplo, para dividir 3/5 entre 1/5 una opción es pensar cuántas veces cabe 1/5 de unidad en 3/5 de unidad. Cabe 3 veces, por lo tanto, 3/5 entre 1/5 = 3. Claro que también se puede pedir dividir 3 / 4 entre 1 / 2. Ahí es un poquito más difícil de ver. 1 / 2 cabe una vez y media en 3 / 4, por lo tanto, 3 / 4 entre 1 / 2 = 1  1 / 2.

Hacer la división cuando el dividendo es menor que el divisor es analíticamente sencillo, pero con dibujos representa un gran reto que aún estoy buscando cómo resolver convenientemente.

Luego tenemos el caso de una fracción entre un número entero, por ejemplo 3 / 4 entre 5. Se parte una unidad en 4, se toman 3 y de lo que quedó se parte en 5 y se toma 1. Puede entenderse como que cada uno de los tres cuartos tomados se parte en 5 y de cada uno se toma 1, con lo que queda 3/20. Es similar a multiplicar 3 / 4 x 1 / 5 = 3 / 20 .

También están los casos de divisiones de fracciones impropias, la mayor entre la menor y viceversa y la división de entero entre fracción, propia e impropia… ¿qué otras se les ocurren?

¿Se dan cuenta cómo hay distintos casos y cada uno se enfrenta ligeramente distinto? Considero conveniente que los alumnos comparen y contrasten los distintos casos y su procedimiento de solución, para que logren una comprensión más profunda del tema.

Pueden ver lo que he escrito sobre fracciones en general aquí, sobre simplificación y amplificación de fracciones aquí y sobre operaciones con fracciones aquí.

Nota: personalmente considero que practicar fracciones siempre de forma “concreta”, con referencias a objetos como pizzas puede resultar contraproducente a la larga. Nuestros hijos y alumnos necesitan comprender el concepto de fracción de una forma más amplia, más allá de una pizza, pero de eso hablaré en una ocasión posterior.

Paralelas y perpendiculares:

cube-1078310_1280_opt.jpgParalelas y perpendiculares no son antónimos, porque el que algo no se paralelo no significa que sea forzosamente perpendicular. Probablemente estarán pensando sólo en el caso de las rectas oblicuas para completar los casos, sin embargo, existe un cuarto caso: las rectas coincidentes. En geometría euclidiana no tienen mucho sentido y se usan realmente poco, pero en geometría analítica sí pueden presentarse por ahí dos rectas que parezcan distintas pero que realmente sean coincidentes, es decir, que todos sus puntos coincidan. Ver más sobre líneas rectas aquí)

Ecuaciones lineales:

Suelen darse a los alumnos sólo ecuaciones que sí tienen solución. Sin embargo, también existen las ecuaciones sin solución. Y las que tienen un número infinito de soluciones.

He escrito sobre ello aquí y aquí.

Operaciones básicas:

En la resta, si limitamos a sólo operaciones con resultados positivos tendrán problemas en comprender los negativos cuando lleguen a ellos.

Si en la división limitamos sólo a operaciones con resultados enteros tendrán problemas en comprender las fracciones cuando lleguen a ellas.

Para cerrar:

La idea aquí no es sugerir que se enseñen todos los temas antes de tiempo a profundidad, sino más bien que se contemple por ahí un ejemplo de un caso que rompe con lo que parecería lo que siempre ocurre. Así los alumnos estarán pendientes de las variaciones que puedan encontrar y sus implicaciones y se evitarán las sobregeneralizaciones erróneas, como el que crean que al multiplicar dos números siempre, pero siempre se obtiene un número mayor a ellos. Esto ampliará su panorama y les ayudará a desarrollar su pensamiento lógico matemático.

Algún caso que omitamos puede hacer que el conocimiento quede incompleto, como el rompecabezas de la imagen.

Gracias a todos los que leen y comparten estas ideas, por ayudarme a difundir el mensaje.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

 

 

 

 

 

 

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