Fracciones: ¿cómo hacer operaciones con ellas?

digits-705666_1280_optEsta es la tercera de una serie de tres entregas sobre fracciones. Pueden leer la primera, sobre por qué son complejas de entender, aquí y la segunda, sobre cómo simplificarlas y amplificarlas, aquí.
Antes de empezar con las operaciones, revisemos unos cuantos conceptos más: 

Fracciones propias, impropias, aparentes y números mixtos

Fracción propiaPropias: el numerador es menor que el denominador, por lo que su valor es menor a la unidad.

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Fracción impropiaImpropias: el numerador es mayor que el denominador, por lo que su valor es mayor a la unidad.

.
Fracción aparente_optAparentes: el numerador es múltiplo del denominador, por lo que, al simplificarla, queda un uno en el denominador y se puede escribir como entero. En ocasiones se les clasifica junto con las impropias.

Número mixto_optNúmeros mixtos: están formados por un entero y una fracción escritos juntos y su valor equivale a la suma de valores del entero más la fracción, lo cual nos permite entender la:

Conversión entre números mixtos y fracciones impropias

Éste es el procedimiento largo, comprendiendo lo que se está haciendo, con base en la idea anterior: se convierten los 3 enteros en 15/5 y se suman a los 2/5:

Procedimiento largo

Este es el procedimiento corto, ahorra tiempo una vez que se comprendió la idea:

Procedimiento corto

La conversión contraria se logra al dividir 17 entre 5 y darnos cuenta que el 5 cabe 3 veces en el 17 y sobran 2 que, como ya no se pueden dividir entre el 5, se deja indicado.

Conversión inversa.JPG

En la recta numérica se puede ver de otra forma lo que ocurre:

Conversión en recta_opt.jpg

Ojo: para que un número mixto esté correctamente expresado en una recta numérica, debe incluirse hasta la siguiente unidad. Así queda claramente mostrada la partición.

Para que el aprendizaje de las operaciones con fracciones sea correcto y duradero, debe evitarse el enseñar algoritmos (procedimientos) que sólo aplican bajo ciertas condiciones. Conviene fomentar la comprensión de por qué funciona cada procedimiento. Así el sentido numérico se extenderá a este nuevo tipo de números. Las ideas que presentaré en esta entrada tienen esa intención.

Empecemos por la operación más sencilla de entender, la:

Multiplicación de fracciones

gift-2797843_1280_optCuando a un niño se le enseñó que multiplicar es hacer más grande un número y dividir es hacerlo más pequeño, ¿qué pasa al llegar a las fracciones? ¡Tenemos un problema! Porque al multiplicar un número por 3/2 sí se hace más grande, pero al multiplicarlo por 1/2 se hace más ¡pequeño! ¿Al dividirlo entre 1/2? ¡Se hace más grande!

Por esa razón debemos conocer cómo puede afectar más adelante lo que decimos al enseñar, para evitar inculcar ideas incompletas que se vuelven erróneas en otro contexto.

Volviendo al tema, para multiplicar dos (o más) fracciones, necesitamos multiplicar los numeradores para formar el numerador del resultado y los denominadores para formar el denominador del resultado. Recordemos que una fracción es un cociente indicado, por lo que multiplicar por una fracción equivale a multiplicar por el numerador y dividir entre el denominador.Multiplicación

Ese es un ejemplo con todos los pasos. No es necesario escribir el paso intermedio.

Multiplicación por un enteroSi vamos a multiplicar un entero por una fracción, debemos recordar que el entero puede interpretarse como una fracción con denominador 1 antes de multiplicar.

Contraejemplo multiplicaciónComo en el caso anterior, puede omitirse el paso intermedio.

Ojo: Es muy importante evitar multiplicar numerador y denominador por el entero, porque eso realmente equivale a multiplicar por la unidad, que no es lo que se pretendía en la operación original.

Si al multiplicar tenemos números mixtos, necesitamos convertirlos primero a fracciones impropias.

Multiplicación largaAhora veamos que hay al menos dos estrategias para realizar multiplicaciones cuyos resultados se pueden simplificar: una es multiplicar -> simplificar y la otra es simplificar -> multiplicar.

Multiplicación cortaConsidero que la segunda es más rápida y segura, se simplifica el 15 con el 9 dividiendo cada uno entre 3, y el 2 con el 8, dividiendo cada uno entre 4, antes de multiplicar. Así se trabaja con números más pequeños y el procedimiento es menos propenso al error.

Ojo: al simplificar el 2 con el 8 queda un 1 en el numerador, que se multiplica por el 5 que se obtuvo de la simplificación del 15 con el 9. Es una costumbre trazar una línea sobre los números (“tacharlos”) para identificar cuáles ya se simplificaron, pero debe evitarse el interpretar el tachado como que “desaparece” lo que se tachó.

Las estrategias presentadas sirven para multiplicar dos fracciones o más, así que no hay riesgo de generalizar erróneamente.

Combinaciones interesantes

Plantearnos lo que ocurre con ciertas combinaciones de factores ayudará a profundizar la comprensión de la multiplicación de fracciones.

Propia por propiaMultiplicar una fracción propia por otra propia resulta en una fracción más pequeña que cualquiera de las originales, por lo tanto, también propia.

Impropia por impropiaMultiplicar una fracción impropia por otra impropia resulta en una fracción más grande que cualquiera de las originales, por lo tanto, también impropia.

Propia por impropiaMultiplicar una fracción propia por una impropia resulta en una fracción que es más pequeña que la impropia y más grande que la propia. Según el tamaño de las fracciones que se multiplicaron, la resultante será propia o impropia.

Sigamos con la:

División de fracciones

swede-cakes-2123192_1280_optSi tenemos una receta de cocina en la que se pide 3/4 de taza de azúcar para hacer un pastel y sólo queremos preparar un pastel de la mitad del tamaño, podemos dividir 3/4 entre 2 o podemos multiplicar 3/4 por 1/2. De ambas formas llegamos a la cantidad de azúcar que necesitamos: 3/8 de taza.

División invirtiendoDividir una cantidad entre 2 es lo mismo que multiplicarla por 1/2. Eso lo podemos expresar, al recordar que los enteros tienen un denominador 1 implícito (no escrito), de la siguiente manera:

Y se puede generalizar para cualquier división de fracciones:

División invirtiendo (2).JPG

Esto nos permite entender que, para dividir dos fracciones, es posible invertir cada fracción que está después del operador de división, cambiar el operador división por el operador multiplicación y, finalmente, realizar una multiplicación.

Lo de simplificar antes de multiplicar funciona también para las divisiones, después de haber invertido las fracciones y cambiado el operador:

División con simplificación
Si hay varias divisiones seguidas, e incluso divisiones y multiplicaciones seguidas, sólo es necesario recordar cómo funciona cada operación e invertir las fracciones después de cada operador de división y dejar el resto como están, para después multiplicar todos los numeradores para obtener el numerador del resultado y todos los denominadores para obtener el denominador del resultado. Ahora sabemos que simplificar antes de multiplicar es una buena idea.

Combinación de operaciones

Ojo: cuando al realizar las simplificaciones quedan todos los numeradores simplificados como 1, el número que resulte de multiplicar los factores del denominador debe quedarse en el denominador, NO DEBE SUBIRSE:

No defraccionalizar

Cierro esta sección explicando por qué es peligroso enseñar la “multiplicación cruzada” o “método del pescado, del dulce, etc.”. La razón es que sólo funciona para dividir dos fracciones, porque es exactamente lo mismo que invertir, multiplicar y simplificar después.

División con pescado

Doble divisiónCuando se trate de dos divisiones seguidas o de divisiones y multiplicaciones combinadas, el alumno no sabrá bien qué hacer si no comprendió por qué se cruzan las multiplicaciones y cuándo pueden cruzarse y cuando no.

Considero que hay profesores que enseñan estos atajos porque no conocen otra forma o creen que ésta es la mejor. Incluso algunos sólo aceptan que sus alumnos usen el procedimiento que les enseñó. Confío en que cada vez sean más los profesores que enseñen las mejores estrategias, tanto para multiplicación y división como para la:

Suma y resta de fracciones

brownie-548591_1280_opt.jpgQuedó tan bueno el pastel anterior, que nos pidieron preparar una pequeña barra de postres, para la que necesitamos, entre otras cosas, 3/4 de kg de azúcar para los pasteles, 1/2 kg de azúcar para las gelatinas y 2/3 de kg de azúcar para los brownies. ¿Cómo calculamos cuántos kgs de azúcar necesitaremos en total?

Suma de fraccionesPara sumar y restar fracciones, es indispensable comenzar por hacerlas homogéneas, es decir, expresarlas como nuevas fracciones con el mismo valor que las anteriores y, además, con el mismo denominador. Para eso aprendimos a buscar el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números en la entrada pasada. Para este ejemplo, el mcm de 8 y 6 es 24.

mcm tresAhora contestaremos la pregunta del azúcar necesaria para la barra de postres. En este caso, el mcm de 4, 2 y 3 es 12. El resultado que obtenemos es una fracción impropia, que puede ser complicada de interpretar. Podemos convertir el resultado en un número mixto para darnos cuenta de que necesitaremos poco menos de 2 kgs de azúcar:

Suma de tres fracciones

Es posible combinar sumas y restas y también escribir el denominador una sola vez:

Suma y resta combinada

Cuando el resultado pueda simplificarse, es conveniente hacerlo:

Resta con simplificaciónLas sumas de números mixtos se pueden realizar convirtiéndolos a fracciones impropias, lo cual puede implicar trabajar con numeradores muy grandes. También se puede sumar la parte entera y la fraccionaria por separado. Es necesario cuidar que la parte fraccionaria quede con el numerador menor al denominador. Si no es así, el número mixto debe reescribirse con una unidad más en el entero, como en el ejemplo:

Suma números mixtos

Con las restas de números mixtos se puede hacer lo mismo, sólo es necesario tener cuidado con la parte fraccionaria. En ocasiones será necesario que un entero del primer número se convierta en fracción, como se muestra:

Resta números mixtos
Método mariposa_optDespués de observar los distintos casos de suma y resta de fracciones, es fácil entender por qué es mejor evitar el “método mariposa”. Es un método que sí funciona, pero sólo para sumas y restas de dos fracciones, por lo que el alumno no sabrá qué hacer si se le presentan tres. Además, hace que se pierda un poco el sentido de lo que se está haciendo, por lo que frecuentemente se cometen errores de sumar en vez de restar. Esta es una foto de un ejercicio contestado con el método mariposa por mi hija a quien, como se ve, aún no le enseñan a simplificar después de hacer la operación. Supongo que lo harán pronto.

Espero que cada vez más profesores, papás y alumnos aprendan a realizar operaciones con fracciones entendiendo lo que están haciendo y evitando los atajos que sólo funcionan bajo ciertas circunstancias.

Comparación de fracciones

Comparación fracciones 1_optAntes de terminar, aprovecho este espacio para explicar por qué funciona el método de la “multiplicación cruzada” para comparar fracciones. Ese método implica hacer sólo una parte del proceso de homogeneizar dos fracciones. Omite encontrar un mcm y omite calcular el común denominador de las fracciones homogéneas.

Comparación fracciones 2_optSimplemente se calculan los numeradores correspondientes a las fracciones homogéneas que se obtendrían con un común denominador que fuera la multiplicación de los dos denominadores, como puede verse en el ejemplo. Acepto que esta comparación puede ser más rápida de hacer que las fracciones homogéneas, así que también enseño ese método en clases, pero siempre explico primero por qué funciona.

Al igual que éste, todo procedimiento tiene una razón para funcionar y es común que existan distintas estrategias para realizar las mismas operaciones. Elegir la mejor y comprender bien cómo funciona será de gran ayuda cuando se necesiten los conocimientos que presenté aquí dentro de otros contextos.

Para cerrar

problem-2778155_1280_optFrecuentemente una sola lectura de la información que recibimos no es suficiente para entender, por más cuidadosamente explicada que esté. Releer y practicar, con los mismos ejemplos y con otros, puede ayudar a pasar de la incertidumbre de la duda a la emoción de la comprensión y el aprendizaje. Deseo de verdad que lo logren, así que, si lo necesitan, pueden escribirme sus preguntas en el apartado de “Comentarios”, debajo del título de la entrada, o a través de la sección “Contacto”. Contestaré.

Gracias por leer y por compartir con aquellos a quienes consideren que les pueda ser útil lo que aquí escribo.

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas dos páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: https://pixabay.com/   http://webresizer.com/

Realicé algunas imágenes en Word, Excel y Geogebra.

9 comentarios en “Fracciones: ¿cómo hacer operaciones con ellas?

  1. […] Los líderes llevan a su gente a conquistar metas y superar retos. Los profesores de matemáticas necesitamos tener un horizonte objetivo más amplio que el temario de la materia del curso que estamos impartiendo. De esa forma, sabremos en cuál de los siguientes temas de la matemática escolar se va a usar lo que nuestros alumnos están aprendiendo, para asegurarnos de que los aprendan de la manera correcta, sin atajos ni procedimientos que tengan fecha de caducidad. Esto significa que funcionan para los ejercicios de su curso pero no para los de cursos posteriores, como el método mariposa para sumar y restar dos fracciones, o el pescadito, para dividir dos fracciones. Ninguno de esos dos métodos funcionan para tres o más fracciones (ver más aquí). […]

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