En la segunda entrada de este blog (ver aquí) mencioné que considero el pensamiento lógico-matemático el primer pilar de una buena relación con las matemáticas. En una entrada posterior (la 18, ver aquí) escribí más sobre su utilidad y compartí algunas ideas para fomentarlo.

Hoy les presento una nueva idea para desarrollar el pensamiento lógico matemático: crear y usar material lógicamente estructurado. Al hablar de este material normalmente se hace referencia a algo físico, manipulable, pero propondré también hoy unas opciones “abstractas” para apoyar el aprendizaje eficiente (ver más aquí), en este caso, desarrollar ese pensamiento mientras se aprende algún otro tema de matemáticas.

¿Qué define a un material como lógicamente estructurado?

Se trata de un conjunto de objetos físicos que poseen una cierta cantidad de características, cada una de las cuales presenta dos o más variantes. Los objetos que forman el conjunto son todos distintos entre sí y hay un objeto que posee cada una de las combinaciones posibles de las variantes de las características. Se entenderá mejor con un ejemplo.

El material lógicamente estructurado más conocido son los Bloques lógicos de Dienes, originalmente creados por William Hull, pero usados como material lógicamente estructurado propiamente dicho, para enseñar matemáticas, por Zoltan Dienes.

Son piezas de madera o plástico que poseen cuatro características fácilmente reconocibles: forma, color, tamaño y grosor, cada una de las cuales tiene las variantes que se muestran en la tabla:

Si multiplicamos las cantidades de variantes de cada característica sabremos cuántas piezas distintas hay en un conjunto de bloques lógicos de Dienes: 4 x 3 x 2 x 2 = 48

Puede conseguirse en tiendas de material didáctico. ¿Cómo se usa? Sigan leyendo…

¿Cómo se pueden crear materiales lógicamente estructurados?

Dejando volar la imaginación podemos crear materiales lógicamente estructurados muy variados, cuidando que cumplan las características básicas:

Cada pieza posee todas las características y corresponde a una combinación posible de las variantes de las características.

Todas las piezas difieren en por lo menos una característica y habrá piezas que varíen entre sí en todas las características.

Cada pieza debe resultar lógica, si no, sería contraproducente el uso de ese material. Por ejemplo, debe evitarse que las características sean tipo de animal (pez, perro, perico), hábitat (agua, perrera, árbol), color (café, dorado, azul) porque al combinarlas saldrían opciones muy raras, como un perro azul que vive en un árbol. Recuerden, estamos buscando desarrollar la lógica, no desafiarla.

Veamos un par de ideas:

«Camisas lógicas»

Me las hizo una amiga que es muy hábil para estas cosas (¡Gracias Silvia!).

Combinan 3 colores, 3 largos de manga y 3 cantidades distintas de botones, por lo que son 3 x 3 x 3 = 27 camisas diferentes en total. En la imagen principal de esta entrada pueden ver las 27 piezas juntas. Si se complementan con un tendedero y pinzas se vuelve aún más divertido trabajar con ellas. Aquí vemos las 9 camisas de tres botones acomodadas por color en sentido horizontal y por largo de manga en sentido vertical.

«Perros lógicos»

Los dibujó y coloreó mi hija (¡Gracias Gaby!)

Combinan 3 razas de perros distintas (Husky, Pug y Golden Retriever) con 3 colores de pelaje (negro, beige y café), por lo que son 3 x 3 = 9 perros diferentes en total. No soy experta en perros, espero que sí existan esas combinaciones de razas y colores de pelaje.

Si se cuenta con tiempo suficiente, se puede pedir a los propios alumnos que recorten, construyan o dibujen el material lógicamente estructurado. Podemos darles las características y variantes nosotros o podemos dejarlo a su imaginación. Lo importante es que quede lógicamente estructurado. Todas las combinaciones posibles están presentes, no hay ninguna repetida y no hay combinaciones ilógicas.

Aquí hay más ideas:

«Mariposas lógicas»

Se pueden combinar, por ejemplo, 2 formas de alas, 4 colores de alas y 3 diseños distintos de manchas dentro de las alas, por lo que serían 2 x 4 x 3 = 24 mariposas distintas en total.

«Coches lógicos»

Con cajuela y hatchback (2 tipos), 4 colores y 3 tipos de rines  y con vidrios polarizados o transparentes (2 tipos), lo que da 2 x 4 x 3 x 2 = 48 coches distintos.

«Brownies lógicos»

Con azúcar glass, con chochitos de colores y sin nada encima, rectangulares, cuadrados, circulares y triangulares, delgados y gruesos, con nuez y sin nuez, lo que da 3 x 4 x 2 x 2 = 48 brownies distintos.

Vaya, hacía tiempo que no incluían brownies en lo que escribía, ya hacía falta 🙂

Como ven, pueden escoger casi cualquier objeto que les agrade y convertirlo en material lógicamente estructurado.

¿Material lógicamente estructurado “abstracto”?

Teóricamente es excluyente que sea material y que sea abstracto. Se puede lograr mediante tarjetas (material) en las que se escriban las expresiones matemáticas (abstracto) que queremos usar para hacer lo mismo que haríamos con el resto de los ejemplos que presenté.

Los maestros y papás de hijos de primaria que prefieran no involucrarse con álgebra todavía, pueden brincarse esta sección y continuar con los usos y aplicaciones del material concreto.

Una idea con líneas rectas

Aprovechemos que acabamos de aprender sobre las ecuaciones de las líneas rectas la semana anterior (ver aquí) para dar un ejemplo:

Las características que pueden tener las ecuaciones de las rectas, además de los valores numéricos específicos, son:

Pendiente: positiva, negativa, cero (horizontal), indefinida (vertical)
Ordenada al origen: positiva, negativa, cero
Forma en la que está expresada: pendiente-ordenada al origen, punto-pendiente, simétrica, general.

Ojo: necesitamos elegir un número fijo para cuando la pendiente no sea cero ni indefinida, digamos 2, otro para la ordenada al origen cuando no sea cero, digamos 4 y otro para el valor de x que usaremos para la forma “punto pendiente” y para las rectas verticales, digamos 2. De esta forma el número no implica otra variante más (se incrementaría muchísimo la cantidad de tarjetas necesarias si hacemos variar los números también).

Para que quede más claro, veamos esta tabla con todas las combinaciones posibles: 4 x 3 x 4 = 48 .

Las ecuaciones que tienen el mismo color corresponden a la misma recta (si no se alcanza a distinguir bien, son las rectas de cada tres renglones en cada columna).

Las de la primera columna tienen pendiente positiva, las de la segunda, pendiente negativa, las de la tercera son horizontales (pendiente cero) y las de la cuarta son verticales (pendiente indefinida).

Aprovechemos el acomodo de la información para observar un patrón: cuando la y y la x están de distinto lado del igual y tienen el mismo signo, la pendiente es positiva, pero si tienen distinto signo, es negativa. En cambio, cuando la x y la y están del mismo lado del igual y tienen distinto signo, la pendiente es negativa, pero si tienen el mismo signo, es negativa. Interesante, ¿verdad?

Las ecuaciones con asteriscos realmente no se encontrarían así en un libro por involucrar ceros sumados o restados (un asterisco) o multiplicados o divididos (dos asteriscos), que son posiciones poco comunes para un cero. Considero que expresarlas así ayuda a entender la naturaleza de las pendientes e intersecciones con los ejes correspondientes a cada una. En algunas verticales y horizontales podrían incluirse aún más ceros, pero consideré que ponerlos confundiría en vez de ayudar.

Una idea con leyes de exponentes y operaciones algebraicas

Esta propuesta incluye las operaciones con todo y sus resultados, para que los alumnos comparen lo que ocurre con cada combinación de operación/literal/exponente.

Opciones de bases: ambas a, ambas b, a y b (podría considerarse también b y a, lo cual implicaría otras 12 tarjetas)
Exponentes: ambos 3, 3 y 5, 5 y 3 (aquí también podría considerarse ambos 5, lo cual implicaría otras 12 tarjetas)
Operaciones: suma, resta, multiplicación y división

Creo que las consideraciones extra que puse entre paréntesis no aportan una variedad suficientemente interesante como para que se justifique el incremento de tarjetas necesarias, por eso no las incluiré en la tabla de opciones.

La tabla de opciones, 3 x 3 x 4 = 36 quedaría así:

Cada columna corresponde a una operación y cada tres filas se repiten las combinaciones de letras. El poder clasificar y comparar estas expresiones ayuda a comprender mejor las leyes de los exponentes y los resultados de las operaciones algebraicas. Pueden ver lo que escribí anteriormente sobre exponentes y leyes de exponentes aquí y aquí.

¿Para qué sirve el material lógicamente estructurado?

Además de lo divertido y enriquecedor que es crearlo (para serles sincera, la tabla de las opciones de líneas rectas resultó un desafío mucho más complejo de lo que me esperaba cuando se me ocurrió hacerla), el material lógicamente estructurado tiene diversos usos como material didáctico. Lo entenderemos más fácilmente con los ejemplos de actividades que se pueden realizar.

Aunque este material se pudiera pensar apropiado sólo para preescolar y primaria baja, la realidad es que la habilidad de observar, clasificar y comparar que se desarrolla con las las actividades que se pueden realizar con él es necesaria toda la vida, para evitar sobre-generalizaciones que llevan a errores. Es común que no esté bien desarrollada esta habilidad en los alumnos, por lo que conviene hacer actividades con materiales de este tipo en todos los grados escolares, combinándolos con algún otro aprendizaje, como en los casos de las rectas y de las leyes de exponentes.

¿Cómo se “juega” con el material lógicamente estructurado?

Las actividades que presento tienen distintos grados de dificultad. Conviene empezar por las más sencillas para que nuestros hijos y alumnos se familiaricen con el material e ir incrementando el grado de dificultad poco a poco, para que se vaya apoyando el desarrollo el pensamiento lógico matemático de forma progresiva.

Reconocer las variantes de las características presentes en el objeto

Es la actividad más básica, indispensable para realizar las demás. En este caso se trata de un coche: con cajuela, color amarillo, vidrios transparentes y rines en forma de cruz.

Identificar la pieza que falta

Por eliminación, me doy cuenta que el dibujo que falta, de los nueve que son en total, es el pug color dorado. Puedo necesitar clasificar las piezas para identificar más fácilmente cuál falta.

Buscar la pieza que tenga las características dadas por un generador aleatorio

Venden estos dados en las tiendas de material didáctico. Sirven como generadores aleatorios de características para buscar, entre las piezas, aquella que corresponda a lo que salió en los dados.

En este caso, según los dados, se debía buscar el rectángulo pequeño, grueso y amarillo. A falta de dados, se pueden hacer papelitos con las opciones, separados por cada característica, doblarlos y elegirlos al azar.

Agrupar (diagramas de Venn con intersecciones)

En este ejemplo se agrupó así: en un grupo todos los cuadrados, en otro todas las piezas azules. Esos dos grupos tienen una intersección, donde se encuentran todos los cuadrados azules. Existen piezas que no van en ninguno de ellos.

Identificar el agrupamiento hecho por alguien más

Es la actividad «en reversa» de la anterior. Se observa un agrupamiento y se deduce la regla con la que se hizo. Recordemos que la reversibilidad es básica para dominar las matemáticas.

Clasificar (por una o por dos características a la vez)

Se pueden clasificar las camisas, por ejemplo, en 3 grupos, según la cantidad de botones, sin tomar en cuenta lo demás. Con 2 clasificaciones a la vez se pueden hacer 9 grupos que clasifiquen, por ejemplo, por color y largo de manga, sin tomar en cuenta la cantidad de botones, como en la foto principal de esta entrada, que vuelvo a poner aquí para que quede más clara la idea de este tipo de clasificación:

Otra opción es clasificar por afirmación/negación de una variante, como en verde/no verde.

Identificar la clasificación hecha por alguien más

Es la actividad «en reversa» de la anterior. Se muestra una clasificación hecha por una persona y una segunda persona debe adivinarla por mera observación de lo que hay en cada grupo.

Comparar: ¿cuántas diferencias y similitudes hay entre estas dos piezas?

Identificar las características de una expresión algebraica (las partes que la componen y la forma en que están relacionadas) es básico para poder trabajar adecuadamente con ellas. Cuando sea posible, podemos preguntar las implicaciones de las diferencias entre las «piezas». Podemos comparar estas «piezas» de leyes de exponentes:

Sólo una diferencia antes del igual, la operación, que implica que, después del igual, los exponentes sean distintos.

Todo es diferente, las bases, los exponentes, las operaciones y, por consecuencia, los resultados.

O estas dos «piezas» de líneas rectas:

Es diferente la forma de expresarla (pendiente-ordenada al origen vs simétrica) y la pendiente (positiva vs negativa), pero la intersección con el eje de las y es igual en ambas (positiva)

Dominó de 1, 2 o 3 diferencias

Se pone una pieza inicial al azar y la siguiente debe tener tantas diferencias con la anterior como se indique. Aquí podemos ver un acomodo de los bloques lógicos de Dienes en el que cada pieza tiene sólo una diferencia con la anterior.

Un ejemplo con expresiones algebraicas y dos diferencias:

De la primera expresión a la segunda, cambia la operación y las literales. De la segunda a la tercera, la operación y los exponentes y de la tercera a la cuarta, las literales y los exponentes. Las respuestas siempre serán distintas, es parte del aprendizaje que se logra al comparar todas las opciones.

Veamos un ejemplo con 3 diferencias:

Entre cada pieza y la que sigue cambia todo: color, largo de manga y cantidad de botones.

Círculo de 1 diferencia

Se acomodan las piezas de forma que entre cada una y la que está al lado haya solamente una diferencia. La diferencia con la actividad anterior es que es necesario cerrar el círculo y que cada pieza tenga una sola diferencia con las dos que quedan a su lado. En ocasiones es necesario reacomodar algunas piezas que ya estaban puestas para poder cerrar el círculo, lo cual vuelve más reflexiva y enriquecedora la actividad. Según la cantidad de variaciones que tenga cada característica pudiera darse el caso de que no fuera posible cerrar el círculo.

Elegir una pieza, y una transformación (cambio en una característica) y buscar la pieza transformada correspondiente (puede haber más de una opción válida).

Por ejemplo, se elige una pieza al azar y después se elige un dado al azar (o un papelito con la palabra escrita), que nos indica qué tranformación es necesaria hacer entre esa pieza y la que sigue. La «transformación» entre estas dos piezas se dio en la figura (color, grosor y tamaño permanecen).

Identificar las transformaciones (diferencias) observadas

Se toman dos piezas al azar y se identifican las transformaciones que fueron necesarias para llegar de una a otra. Es muy similar al de identificar las diferencias y similitudes, sólo que en el otro es platicado o escrito en algún formato y aquí es con algo físico que indica las transformaciones que, en este caso, fueron figura y tamaño (grosor y color permanecen).

Seriar y/o formar patrones

Existen autores que consideran que no es posible generar series o patrones con material lógicamente estructurado, dado que no hay piezas iguales. Yo creo que es posible si nos concentramos en una característica e ignoramos las demás. Esto, además, incrementa nuestra habilidad para enfocar lo que es relevante para lo que estamos haciendo y desenfocar lo demás. Por ejemplo, este patrón de figuras es sólo eso, un patrón de figuras, para el que no es trascendente el resto de las características de las piezas. El patrón, que se da la vuelta cada que llega a una orilla, es: triángulo, círculo, cuadrado, rectángulo, triángulo…

Para cerrar

Los materiales lógicamente estructurados son muy flexibles y útiles para desarrollar el pensamiento lógico matemático, partiendo desde su diseño, en el que pueden participar nuestros hijos y alumnos, pasando por la mejora en las habilidades de identificar características, seriar, comparar, clasificar, etcétera y llegando, si le damos esa intención desde el diseño, a aprovechar lo anterior para mejorar nuestra habilidad para contestar ejercicios de matemáticas de forma acertada, dado que analizamos sus características a profundidad antes de responder.

Quiero agradecer a Gaby, mi hija, por haber dibujado los perros lógicos, acomodado todos los materiales y tomado todas las fotos que ilustran esta entrada.

Agradezco también a los lectores por leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les puede resultar útil lo que escribo. Gracias también por sus comentarios, preguntas y sugerencias.

Recuerden que publico una nueva entrada cada miércoles. Pueden suscribirse y les llega un correo avisándoles cada vez.

¡Hasta la próxima semana!

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas dos páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog:  Pixabay   y   Webresizer

Realicé algunas imágenes en Word

Parte de la información aquí presentada fue orientada por las ideas del libro «Desarrollo de competencias matemáticas con recursos lúdico-manipulativos» de Ángel Alsina, discípulo de María Antonia Canals, experta en matemática manipulativa, recreativa y lúdica.

Muchas gracias, Lorena, por regalarme el libro, ¡está muy interesante!