De entre las figuras geométricas básicas que existen: cuadrado, triángulo, rectángulo, círculo…, el círculo posee características que lo hacen muy diferente a las demás, empezando porque se necesita un compás para dibujarlo, a comparación de las que se dibujan con regla (bueno, también se pueden dibujar a mano alzada, como en la imagen, pero no quedan tan bien).

Escribí hace tiempo una entrada sobre construcción de triángulos con medidas enteras para lados, perímetro y área simultáneamente (ver aquí) y otra sobre construcción de cuadriláteros y polígonos también con medidas enteras, o casi (ver aquí). Creo que es buen momento para escribir sobre el círculo… cuyas medidas de radio, perímetro y área nunca podrán ser enteras al mismo tiempo. Sigan leyendo para saber por qué.

Será una entrada un poco ecléctica, esto es, no sólo incluiré algo de geometría como tal sino también algunas curiosidades relacionadas con esta simpática figura geométrica. Comencemos.

Círculo y circunferencia

A veces podemos confundir ambas palabras. Creo que la manera más fácil de recordar cuál es cuál es pensando en cómo le decimos a un niño pequeño que identifique una figura: “esto es un círculo”. Por lo tanto, el círculo es la figura completa, mientras que la circunferencia es la línea exterior del círculo, que lo limita, sobre la cual se mide su perímetro. Estas son las definiciones formales de la Real Academia de la Lengua:

Círculo: Área o superficie plana contenida dentro de una circunferencia. Conjunto de puntos interiores a una circunferencia, incluyendo a la propia circunferencia.

Circunferencia: curva plana y cerrada cuyos puntos son equidistantes (que están a la misma distancia) de otro situado en su interior, llamado centro.

Probablemente lo confundimos porque, para dibujar una circunferencia y un círculo, se hace prácticamente lo mismo, aunque colorear una circunferencia es sólo darle color a la línea y colorear un círculo es darle color a la figura (rellenarla).

El resto de las figuras básicas no tienen nombres especiales para sus contornos, al menos que yo conozca, lo cual evita confusiones. De un cuadrado calculamos su perímetro y listo, pero de un círculo podemos tanto calcular su perímetro como la longitud de la circunferencia que lo rodea, que son lo mismo. Debemos, por tanto, tener claras las diferencias de los conceptos y usarlos según se requieran.

(Nota: el perímetro es la medida del contorno de una figura)

Líneas notables de la circunferencia

Se les llama «notables» porque tienen algo de especial.

Radio: Segmento lineal que une un punto cualquiera de la circunferencia con su centro.

Diámetro: Recta que une dos puntos de una circunferencia pasando por su centro

Cuerda: Segmento recto que une dos puntos de un arco. Una cuerda que pasa por el centro del círculo es un diámetro.

Arco: Porción de circunferencia definida a partir de dos puntos sobre la misma. En el caso de la imagen los dos puntos son los extremos de una cuerda. También puede estar definida por un ángulo central, cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.

Posiciones de una recta con respecto a una circunferencia

Secante: recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Tangente: Recta que toca a la circunferencia en un sólo punto, sin cortarla. Eso significa que NO puede ser una recta muy cortita que atraviese la circunferencia en un sólo punto, como el palito de la Q. Las tangentes son perpendiculares al radio correspondiente al punto de contacto.

Ojo: aunque dibujé todas las rectas horizontales o verticales, realmente pueden estar en cualquier posición, siempre y cuando se respeten las características que las definen.

Otras peculiaridades de la circunferencia

Se considera que tiene un número infinito de lados y un número infinito de ejes de simetría (líneas que lo dividen en dos partes iguales, como su diámetro).

Si se dibuja un triángulo dentro del círculo usando el diámetro como uno de sus lados y haciendo que el vértice opuesto toque la circunferencia, este triángulo siempre será rectángulo y su hipotenusa será el diámetro de la circunferencia.

Existen más situaciones especiales con los ángulos dentro de los círculos y cada una tiene su demostración, pero dejaremos eso para otra entrada.

Sólo presentaré aquí un ejemplo muy especial, en el que el triángulo tiene como medidas la terna pitagórica básica (3, 4, 5). Como esta entrada es la 34, me pareció interesante incluirlo.

Perímetro y área del círculo

El perímetro y el área del resto de las figuras básicas se obtienen con base en operaciones hechas con sus medidas y, en ocasiones, algún número entero. El círculo también es peculiar en ese sentido, pues involucra, además de la medida de su radio, un número muy especial, pi (ver lo que escribí sobre pi en una entrada anterior aquí).

Veamos las fórmulas básicas de perímetro (P) y área (A), expresadas tanto en función del radio como del diámetro, el cual mide el doble del radio:

Y ahora entendamos la lógica de las fórmulas:

Para entender la del perímetro: pi (π), por definición, es el valor que se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro. Por lo tanto, para obtener la longitud de una circunferencia es necesario multiplicar su diámetro (o el doble de su radio) por pi. De hecho, el que se le haya asignado la letra p griega a la razón entre la circunferencia y el diámetro se debe a que es la inicial de «perímetro» en griego.

La fórmula del área la podemos comprender si nos imaginamos que cortamos y acomodamos el círculo como un triángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia y cuya altura es igual al radio, de esta manera:

Como el área de un triángulo está dada por el producto de su base por su altura divididos entre 2, el área de un círculo está dada por el producto de su circunferencia por su radio, dividido entre 2. Al sustituir los valores y simplificar la expresión, llegamos a la fórmula del área como la conocemos.

(Esta interpretación, que me pareció muy interesante, la tomé del libro Aprendiendo matemáticas con los grandes maestros, de Vicente Meavilla)

La cuadratura del círculo

Supongo que habrán escuchado que los antiguos matemáticos griegos estuvieron buscando mucho tiempo la cuadratura del círculo. ¿Qué significa eso?

«Cuadrar» un círculo significa dibujar un cuadrado que tenga exactamente la misma área que el círculo en cuestión. La idea era hacerlo, como se hacía todo en geometría al principio, sólo con regla (no graduada, esto es, sin medidas) y compás. Apenas hace siglo y medio se descubrió que eso no era posible ya que la relación entre el diámetro del círculo y su área está vinculada a un número trascendente: pi, según la fórmula que vimos en la sección anterior.

El que pi sea un número trascendente significa que no se puede expresar como un cociente de dos números (o sea, como fracción), lo cual imposibilita que se elija un valor entero para el radio o el diámetro que, al multiplicarlo por pi, de un número entero. Si el área o el perímetro de un círculo son números enteros, su radio no lo será, y viceversa.

Volumen de la esfera y el cilindro

Quiero compartirles un acertijo que tiene qué ver con algo redondo y con geometría, por lo que escribiré aquí las fórmulas del volumen de la esfera y el cilindro, aunque dedicará otra entrada posterior a cuerpos geométricos.

Éste es el acertijo:

Tienes un alimento con forma de cilindro cuyo radio mide «z» y cuya altura mide «a», ¿qué es? Descúbrelo al final de esta entrada.

El problema del conejo bajo una cuerda que rodea una esfera

Algo que es fascinante de las matemáticas es que nos permiten encontrar resultados que, en principio, no parecen lógicos, pero que los procedimientos seguidos para encontrarlos indican que están correctos y se pueden comprobar. Veamos un ejemplo de esto.

Imaginen que tienen dos pelotas de playa diferentes, una de 0.80 metros de diámetro y otra de 1.30 metros de diámetro.

Primero rodean cada pelota con una cuerda por su parte más ancha. ¿Cuánto mide la cuerda correspondiente a cada pelota?

Para cualquier pelota, la cuerda que la rodea por su parte más ancha es igual a la circunferencia mayor de la pelota, esto es, a pi por su diámetro. Por lo tanto, la cuerda que rodea la primera pelota mide 0.80π metros (≈2.5 metros) y la que rodea la segunda pelota mide 1.3π metros (≈4.1 metros).

Ahora quieren separar la cuerda de la pelota lo necesario para que, sostenida de alguna forma, pase un conejo por debajo. Digamos que requerimos unos 20 cm (0.20 m) de espacio alrededor de la pelota.

¿Cuánto deberá crecer la cuerda en cada caso?

Para la primera pelota, la cuerda debe crecer para que el diámetro de la nueva circunferencia sea 0.40 metros más grande que la anterior (0.20 m por cada lado), esto es, que rodee una circunferencia de 1.2 metros de diámetro. Deberá medir, por tanto, 1.2π metros (≈3.8 metros).

Para la segunda pelota, la cuerda también debe crecer para que el diámetro de la nueva circunferencia sea 0.40 metros más grande que la anterior, esto es, 1.7 metros de diámetro. Deberá medir, por tanto, 1.7π metros (≈5.4 metros).

¿Cuánto creció la primera cuerda? 1.2π – 0.8π = 0.4π metros (≈1.3 metros).

¿Cuánto creció la segunda cuerda? 1.7π – 1.3π = 0.4π  metros (≈1.3 metros).

¿Lo mismo? ¿En serio? Pues sí. Y la explicación es muy sencilla: al incrementar el diámetro en una cierta cantidad, la circunferencia se incrementa en esa misma cantidad multiplicada por pi. No importa si el diámetro original era el de una pelota de tenis o el de la Luna. Para pasar un conejo bajo la cuerda dejando 20 cm de espacio, siempre será necesario alargar 0.4π metros (1.3 m aproximadamente) la cuerda.

Contra-intuitivo e interesante, ¿verdad?

Nota: yo no puedo probarlo físicamente porque soy alérgica a los conejos, pero confío en la solución matemática que obtuvimos.

El problema del conejo bajo la cuerda lo conocí en el canal de you-tube «Derivando», de Eduardo Sáenz de Cabezón (ver aquí). Presenté aquí una versión libre del mismo. Existe desde hace unos tres siglos.

Sangakus

Al pensar en más ideas que estuvieran relacionadas con los círculos, recordé un concepto que conocí hace poco en El libro de las matemáticas de Clifford Pickover: los sangakus. Se trata de rompecabezas geométricos en los que, a partir de una sola medida se deben deducir todas las demás. Por cuestiones de espacio (y porque no es sencillo hacerlos ni encontrar imágenes de ellos libres en la red) sólo voy a poner un Sangaku relativamente sencillo aquí, que mi hijo Víctor dibujó en Geogebra de forma aproximada.

Si el diámetro del círculo que envuelve a todos es 12 m, ¿cuánto miden los diámetros del resto de los círculos? Se requieren una serie de cálculos geométricos que varían en grado de dificultad según lo complejo del dibujo. En este caso, el círculo interior verde mide 6 m de diámetro, el morado 4 m y el azul 2 m, lo cual se deduce de que el círculo morado y el verde se tocan en el centro del círculo que envuelve a todos y los centros de esos tres círculos están sobre el mismo diámetro del círculo grande. Los círculos rosas miden 2.3 m de diámetro y los naranjas miden 4.3 m, pero eso lo saqué con Geogebra. El cálculo a mano aún estoy aprendiendo a hacerlo, pero no quise esperar para compartirles este interesante pasatiempo japonés (sí, es un pasatiempo, como los sudokus, que fue popular en el siglo XVII).

Para cerrar

Vaya… cuando se me ocurrió dedicar una entrada completa a los círculos, pensé que quizá no habría mucho qué decir, pero resultó que sí y que incluso quedaron pendientes algunos aspectos que abordaré en alguna entrada futura. Espero que les hayan parecido interesantes los apartados menos académicos que incluí.

Los círculos son figuras geométricas que distinguen de las demás figuras geométricas básicas por su forma curva y su relación con pi. No se mezclan fácilmente con ellas y no se pueden «cuadrar» como ellas. Pudiera pensarse que son como el agua y el aceite. A propósito, la foto que encabeza esta entrada es de gotas de aceite flotando en agua.

Cierto, antes de irnos, resolvamos el acertijo:

Tienes un alimento con forma de cilindro cuyo radio mide «z» y cuya altura mide «a», ¿qué es?

Recordemos que el volumen de un cilindro está dado por V= π ⋅ r² ⋅ h. Podemos reescribirlo sin usar letras griegas ni exponentes, y sustituyendo los valores, para averiguar de qué se trata:

V = pi⋅z⋅z⋅a

Un poco de geometría, un poco de álgebra y un poco de griego nos permitieron dar con la solución. Se trata de una deliciosa pizza.

Les agradezco, estimados lectores, el leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les puede resultar útil lo que escribo. Gracias también por sus comentarios, preguntas y sugerencias.

Publico una nueva entrada cada miércoles. Pueden suscribirse para recibir un correo avisándoles cuando está lista la nueva entrega.

¡Hasta la próxima semana!

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas dos páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog:  Pixabay   y   Webresizer

Realicé algunas imágenes en Word y en Geogebra

Consulté el Diccionario de la Real Academia de la Lengua, Wikipedia y Geometría de Baldor para algunos conceptos.