Ésta es la entrada número dieciocho de este blog. Dieciocho es dos veces nueve, que es un número que me encanta (ver sus características en la novena entrada, aquí), así que corresponde hacer algo especial.

Hoy compartiré algunas ideas que pueden ayudar a desarrollar el pensamiento lógico matemático en personas de todas las edades. Expliqué en la segunda entrada del blog (ver aquí) que lo considero el primer pilar de una buena relación con las matemáticas y que, para mí, el segundo pilar es el sentido numérico (ver aquí).

Como no es posible desarrollar el pensamiento lógico matemático en algunas clases sueltas a lo largo del ciclo escolar, porque sería un aprendizaje raro, descontextualizado y poco duradero, necesita trabajarse un poco en cada clase o en cada interacción con nuestros hijos. Revisemos algunas ideas para hacerlo y veamos cómo es útil más allá de las actividades escolares.

Más herramientas, más capacidad de actuar

En la primera entrada de este blog (ver aquí) mencioné que lo que yo busco con él es proporcionarles a ustedes, los lectores, una serie de herramientas pedagógico-matemáticas para que las usen según la situación lo requiera. Mientras más herramientas posean, mejor se podrán desenvolver al aprender, enseñar y disfrutar las matemáticas.

Esos conocimientos, esas herramientas, tanto pedagógicas como matemáticas, se van consiguiendo a lo largo de la vida y es importante que, cuando las tengamos enfrente, las hagamos propias y las organicemos y conectemos con lo demás que ya sabemos. David Ausubel le llama aprendizaje significativo. Debemos, por tanto, evitar que los nuevos conocimientos estén aislados de los anteriores, porque eso nos dificultará el recordarlos y complicará el desarrollo del pensamiento lógico matemático, que implica establecer relaciones entre todo lo que conocemos, como menciona Jean Piaget.

Más conocimientos, más capacidad de interpretar

Si algo parece una naranja, huele como una naranja y sabe a naranja, lo más probable es que pensemos que es… un zapato, ¿no?

No, lo lógico es que pensemos que es una naranja. Pero para eso necesitamos poseer algunos conocimientos básicos (cómo se ve, cómo huele y cómo sabe una naranja). Mientras más características de una naranja conozcamos, más seguros estaremos de reconocer una cuando la tengamos enfrente.

Porque si algo sólo sabe a naranja puede ser una gelatina de ese sabor, si algo sólo parece una naranja puede ser una representación de una naranja en plástico y si algo sólo huele como naranja puede ser ¡un aromatizante para el coche!

Me gusta cómo explica Ference Marton esto: mientras más aspectos de “algo” conocemos y más relaciones entre esos aspectos entendemos, podemos aprovechar ese “algo” de formas más poderosas.

Dicho de otra forma, más conocimiento nos vuelve más poderosos, camino a ser superhéroes. Claro, para eso necesitamos el pensamiento lógico matemático, que nos ayuda a usar ese conocimiento para comparar, clasificar, ordenar, relacionar y encontrar dependencias causa-efecto. En resumen, nos ayuda encontrarle la lógica a lo que vemos y con ello, resolver situaciones.

Y el ser capaces de resolver más variedad de situaciones nos da más libertad de elegir nuestro futuro. Por eso escribo este blog. Para ustedes y para mí, que también aprendo mucho con la preparación de cada entrada.

Los tres calcetines

Cuando aún eran pequeños, pero ya sabían contar, solía decir a mis hijos frases como ésta: “pásame tus tres calcetines para ayudarte a ponértelos”. Su reacción solía ser: “mamá, sólo son dos”. Yo: “¿sólo dos, por qué no tres?”. Hijo: “porque sólo tengo dos pies, mira”. Buen conteo e identificación de relación causa-efecto de su parte.

Y así con todo, mis sufridos hijos necesitaban escuchar con atención lo que les decía, porque solía usar frases sin sentido, como esa, para provocar que estuvieran alerta y que no actuaran en automático. Si nuestros hijos y alumnos ya saben de antemano qué les vamos a decir y qué van a contestar o a hacer, se desarrolla menos su pensamiento lógico matemático.

Con los alumnos podemos hacer algo similar, al decirles algo como: «Pedro tiene 5 pesos y se gasta 3, para saber cuánto dinero le quedó vamos a sumar 5 más 3«.

O algo como: «Esta es una ecuación lineal, vamos a encontrar los dos valores de la incógnita que hacen que se cumpla la igualdad».

Como papá y profesor es muy divertido pensar en frases ilógicas. Como hijo y alumno también es divertido estar esperando el momento en que algo ilógico ocurrirá, para pescarlo y corregirlo. Y todos mejoramos nuestro pensamiento lógico matemático con este juego.

(Ojo: No se vale excederse. Debe ser divertido, no irónico, ni abusivo, para que mantenga su sentido didáctico)

Un ejemplo en geometría

Proponer algo ilógico es divertido para todos, cuando es intencionado y controlado. Proporcionar ejercicios ilógicos porque no cuidamos su elaboración no es divertido ni educativo y debe evitarse, porque resulta contraproducente.

De hecho, escribí dos entradas sobre cómo diseñar ejercicios de geometría que no fueran ilógicos. Pueden ver la de triángulos aquí y la de cuadriláteros y polígonos regulares aquí.

Para desarrollar el pensamiento lógico matemático se puede, por ejemplo, proponer intencionadamente un triángulo cuyos lados midan 5, 10 y 20 cm y pedir a los alumnos que piensen si se podría construir o que lo intenten construir. Deben caer en la cuenta de que en cualquier triángulo la suma de cada par de lados debe ser mayor a la medida del otro, si no, no hay forma de que se unan en un triángulo. Aquí se puede aprovechar para pedirles que opinen sobre qué pueden cambiar para que la construcción sea posible. Se abre un abanico de posibilidades: crecer los lados chicos (pero sólo hasta ciertos valores), reducir el grande (también sólo hasta ciertos valores), se pueden modificar para que el triángulo sea isósceles, equilátero o escaleno.

Proponer calcular el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 5, 10 y 20 cm sólo porque no se puso cuidado al diseñar el ejercicio, hace que los alumnos “desconecten” el pensamiento lógico matemático y trabajen sin analizar lo que hacen. Entregarán 35 cm como respuesta y seguirán con el siguiente ejercicio, con la paz que les da el haber contestado “bien” lo que les pedían, pero sin haber avanzado en la comprensión de lo que es físicamente posible y lo que no.

Observación de patrones

El observar lo que ocurre al contestar ciertos ejercicios para buscar patrones permite prever el tipo de respuesta que debemos obtener en nuevos ejercicios y eso nos ayuda a detectar respuestas erróneas.

Cuando escribí sobre las operaciones con fracciones (ver aquí), observamos este patrón:

Al multiplicar una fracción propia por otra propia se obtiene una que es más pequeña que ambas

Al multiplicar una fracción impropia por otra impropia se obtiene una que es más grande que ambas

Al multiplicar una fracción propia por una impropia se obtiene una que tiene un valor intermedio (más grande que la pequeña y más chica que la grande).

Cuando escribí sobre las tablas de multiplicar (ver aquí), también observamos patrones en su comportamiento.

Cualquier oportunidad de observar patrones apoya al desarrollo del pensamiento lógico matemático.

El patrón de los números al cubo

Aquí hay otro patrón interesante. Imaginen que necesitan relacionar un número con su cubo (el número multiplicado por sí mismo 3 veces), o exactamente al revés: un número con su raíz cúbica. Si tenemos todas las opciones, podemos ordenarlas de menor a mayor y listo (eso también es pensamiento lógico matemático). Pero si sólo tenemos algunos cuantos y nos piden que los relacionemos podemos recordar el patrón que podemos observar aquí:

Notarán que para seis de los dígitos en la unidad 1,4,5,6,9,0, el cubo termina en el mismo dígito que el número original. Sólo para 2, 3, 7 y 8 no ocurre, y en esos casos el cubo termina en el dígito que es el complemento a 10 del número original (para el 2 es 8, para el 3 es 7 y viceversa). Los cubos de los números mayores a 10 deben ser mayores a 1000, los mayores a 20 deben ser mayores a 8000 y los mayores a 30 deben ser mayores a 27000 y así sucesivamente (los millares del cubo son el cubo de las decenas del número que se elevó, cuando la unidad es cero).

Con eso podemos decir rápidamente que la raíz cúbica de 4 913 el 17 (4 913 es menor a 8 000), la de 13 824 es 24 (13 824 está entre 8 000 y 27 000, por lo que las decenas son 2) y la de 59 319 es 39 (59 319 es mayor a 27 000 y menor a 64 000, por lo que las decenas son 3).  Partiendo de cubos exactos, claro.

Esto se puede convertir en un truco de adivinación: “piensa en un número del 1 al 100, elévalo al cubo con una calculadora, dame el resultado y yo te diré cuál es el número sin calcular la raíz cúbica paso a paso”. No necesitamos sabernos los 100 resultados, sólo recordamos el patrón y listo. Como escribí en la entrada sobre el 9, no es magia, es matemáticas.

Y claro, esto también nos puede facilitar la vida cuando saquemos raíces cúbicas no exactas. Sobre eso escribiré en otra entrada.

Clasificación

Clasificar y explicar la clasificación es básico para desarrollar el pensamiento lógico matemático.

Las figuras geométricas se pueden clasificar por figuras colores, tamaños y combinaciones de ellas: Para las combinaciones se pueden usar lo que se conoce como diagramas de Venn, como éste, en el que todos los triángulos están en un círculo, todo lo verde está en otro y todos los triángulos verdes está en la intersección de los dos círculos. Si hay figuras que no sean ni verdes ni triángulos quedan fuera de esta clasificación.

También se pueden clasificar los números según sean múltiplos de otros números. Clasifiquemos los números del 1 al 20 de esta forma: todos los múltiplos de 2 están en un círculo, los de 3 en otro y los que son múltiplos de ambos en la intersección de los dos círculos. Eso refuerza el recordar que los múltiplos de 6 son múltiplos de 2 y de 3 al mismo tiempo.

Todo lo que se va a aprender tiene ciertas características que permiten clasificarlo. Seamos creativos para ayudar a nuestros alumnos a hacer esas clasificaciones antes de empezar a trabajar. Con eso iremos desarrollando poco a poco el pensamiento lógico matemático.

En la vida diaria

Conforme se va desarrollando el pensamiento lógico matemático, la mente se acostumbra a ver algo, conectarlo con todo lo que conoce y a buscar explicaciones a través de esas conexiones. Cada vez con más facilidad y velocidad. A veces tanta, que se siente como que es el instinto el que nos hace saber qué hacer. No sabemos cómo llegamos a la respuesta, pero llegamos (puede que intervengan otros factores, claro, pero yo creo, sin ser experta en el tema, que nuestras experiencias y conocimientos, conscientes e inconscientes, tienen mucho qué ver con lo que nos dicta el instinto).

Eso está bien, sólo hay que tener cuidado al menos en dos sentidos: primero, no dar por hecho que todas las explicaciones que brotaron de nuestro instinto son correctas, porque puede ser que nos haya faltado tomar en cuenta algo por ahí y, segundo, lo que nos dice nuestro instinto puede ser correcto, pero implicar un seguimiento para que se concrete. Si no se da ese seguimiento, puede ser que las cosas al final no salgan como nuestro instinto nos hizo sentir que saldrían.

Me explico con algo no matemático, para variar un poco:

Del primer caso: Vemos a lo lejos a alguien y estamos seguros de que nos vio y no nos saludó. Se nos ocurren una serie de razones por las que no nos saludó y elegimos que está enojado con nosotros, que se volvió descortés o algo aún peor… Conviene asegurarnos de tomar todo en cuenta, lo que puede implicar buscarlo y preguntarle. Nos podría sorprender el saber que ese día olvidó sus lentes y con trabajos veía más allá de un metro, o que estaba angustiado buscando a alguien más y eso lo cegaba de ver cualquier cosa que no se pareciera a quien buscaba. Realmente no tomamos en cuenta todas las posibilidades, por lo que elegimos una incorrecta.

Del segundo caso: Nos enteramos de que darán un curso que nos interesa, resulta accesible y consideramos que nos va a ayudar mucho en nuestro desarrollo personal. Nuestro instinto nos dice que debemos aprovecharlo y nos inscribimos. Sólo que después nos distraemos con otras cosas y no cuidamos el hacer lo necesario para aprovechar los aprendizajes el curso y que eso nos ayude en nuestro desarrollo personal tanto como nuestro instinto nos había dicho que sería, por lo que no logramos tal desarrollo. En este caso no falló nuestro instinto, falló nuestro seguimiento. Siendo conscientes de estos dos cuidados que debemos tener, seguramente lo haremos mejor la siguiente vez.

Sigamos realizando actividades para desarrollar nuestro pensamiento lógico matemático, teniendo los cuidados necesarios para usarlo a nuestro favor.

Antes de irnos

Se dice que las matemáticas son la ciencia de los patrones. Al volvernos hábiles para identificarlos y crearlos, nos facilitamos mucho nuestro trabajo matemático. Eso nos permite disfrutar más, tanto ese trabajo, como todo lo que observamos en general. Al identificar más detalles, podemos descubrir la belleza menos evidente de las cosas. Yo creo que, en general, se disfruta más lo que se comprende mejor y/o lo que se reconoce que implicó mucho trabajo lograr.

Vaya, esta dieciochoava entrada sí que fue especial. Estuvo un poco filosófica e incluso un poco inconexa. Ya retomaremos lo académico en la siguiente.

Como siempre, gracias por leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les pueda ser útil lo que aquí publico. Por favor, escríbanme si tienen alguna duda y si quieren sugerirme temas que deseen que aborde en futuras entradas del blog.

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas dos páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: https://pixabay.com/   http://webresizer.com/

Hice algunas imágenes en Word y Excel

Las ideas de Piaget y Ausubel son muy conocidas, pueden encontrarlas en wikipedia.

Pueden conocer más sobre las ideas de Ference Marton en su libro: Necessary conditions of learning

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