Como dice el título, ésta es la segunda entrada, de dos, dedicada al tema de límites de funciones. En la primera (ver aquí) revisamos las distintas formas de ver un límite, las dificultades para comprender adecuadamente este tema y la determinación de límites a partir de la gráfica de una función y de aproximaciones sucesivas de sus valores.

Esta entrada la dedicaremos a analizar y contrastar distintos casos a los que nos podemos enfrentar al determinar límites de forma analítica (sin depender de las gráficas), incluyendo límites infinitos y al infinito, que ni con un telescopio podríamos verles el final (de ahí la imagen que encabeza este texto). El alcance de esta entrada serán las funciones polinómicas, racionales, radicales, exponenciales y logarítmicas sencillas.

Antes de empezar, pongamos en contexto la necesidad de determinar un límite.

Quienes descubrieron el Cálculo Diferencial e Integral, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, buscaban encontrar valores que estaban en situaciones límite:

El área bajo una curva se puede encontrar por medio de rectángulos bajo dicha curva, que tengan un ancho que tienda a cero y, por tanto, se tratará de un número de rectángulos que tiende a infinito (Cálculo Integral).

La pendiente de la recta tangente a una curva se puede encontrar por medio de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos cuya distancia entre sí tiende a cero (Cálculo Diferencial).

¿Les suena la palabra tendencia? Está dentro de la definición del límite de una función que, como escribí en la entrada pasada.

El límite de una función es el valor al que tiende la función cuando la variable independiente tiende a un valor dado, sin tomar ese valor.

En lenguaje matemático:

Recuerden que el límite debe ser igual por ambos lados para que exista, por eso la condición escrita abajo de la definición.

Esto implica que sin calcular límites de funciones no podemos determinar áreas bajo la curva ni pendientes de tangentes ni todas las aplicaciones y variaciones de ellas. Por tanto, conviene entender bien cómo determinarlos. Veremos distintos casos, según las estructuras de las funciones y los valores a los que tienden tanto la variable independiente como la función.

Propiedades de los límites

En la entrada pasada expliqué que suele pensarse que determinar un límite es sustituir en la función el valor al que tiende x, porque ciertas propiedades de los límites lo hacen ver así. Pondré aquí el cuadro con esas propiedades y sus restricciones:

Algunos casos en los que la sustitución no es suficiente o adecuada

Raíz de índice par de cero

En las funciones que mencioné como alcance de esta entrada, polinómicas, racionales, radicales, exponenciales y logarítmicas sencillas, si al sustituir obtengo un número definido (incluido el cero), por las propiedades de los límites ese número es el límite buscado, no es necesario confirmar que el límite sea igual por izquierda y por derecha, pues siempre lo será, excepto en el siguiente caso:

Si al sustituir obtengo una raíz de índice par de cero, es necesario revisar qué pasa por derecha e izquierda, pues se corre el riesgo de que haya una raíz de índice par de un número negativo, la cual no está definida en los números reales. Al no existir el límite por un lado, el límite como tal tampoco existe. Aquí pueden verlo de forma analítica y de forma gráfica. Cuando la x tiende a cero por la derecha, la función tiende a su extremo, que también es cero. En cambio, cuando la x tiende a cero por la izquierda la función no existe y el límite tampoco. Por lo tanto el límite general no existe.

Cociente de número diferente de cero entre cero

El cociente de un número diferente de cero entre cero está indefinido, por lo que es necesario revisar lo que pasa por izquierda y derecha. Por la izquierda de cero se trata de una división de un número positivo entre números muy pequeños negativos, lo cual da como resultado números muy grandes también negativos. Por la derecha de cero se trata de una división de un número positivo entre números muy pequeños positivos, lo cual da como resultado números muy grandes también positivos:

Cuando se da la combinación de una indefinición de la función en el valor, y tendencias al infinito por alguno de los dos lados, o por ambos, la interpretación es que se tiene una asíntota vertical en el valor al que tiende x. En este caso, se tiene una asíntota vertical en x=0, que es el eje coordenado vertical.

Paréntesis sobre las asíntotas

Las asíntotas son rectas a las que las gráficas de las funciones se acercan, sin tocarlas. Existen diferentes tipos:

Verticales, cuando el límite de la función tiende a infinito (positivo o negativo), pero la x no.

Horizontales, cuando la x tiende a infinito (positivo o negativo), pero el límite de la función no.

Oblicuas, cuando tanto la x como la función tienden a infinito (positivo o negativo), pero la función se acerca cada vez más a una línea oblicua.

Por la definición de función podemos saber que una asíntota vertical nunca será cortada por la gráfica de la función. En cambio las asíntotas horizontales y oblicuas sí pueden ser cruzadas en alguna región de la gráfica, aunque hacia el infinito (positivo o negativo) ya cumplan su función de ser el valor al que se acerca la gráfica de la función, sin tocarla.

Las funciones logarítmicas básicas también tienen asíntotas verticales, aunque sólo existen por un lado de ellas:

Las funciones exponenciales básicas también tienen asíntotas horizontales, aunque sólo existen por un lado de ellas:

Cociente de cero entre cero

El cociente de cero entre cero está indeterminado, que no es lo mismo que indefinido (caso anterior). Para las funciones racionales que veremos en esta entrada, el que al sustituir obtengamos un 0/0 significa que existen factores en numerador y denominador que tienden a cero cuando la variable independiente tiende al valor sustituido. Si encontramos esos factores y los simplificamos, obtenemos una nueva función cuyo comportamiento es prácticamente idéntico a la original, excepto en el valor que hace cero el factor simplificado.

En el caso de la función de la entrada anterior, sería igual a la función simplificada f(x)=x+3 , excepto para x=3:

La buena noticia es que, al determinar un límite, el valor al que tiende x nunca se alcanza y, por tanto, los límites de la función original y la simplificada son los mismos:

Que es el valor que habíamos obtenido tabulando en la entrada pasada. La gráfica de la función original incluye un «agujero» en el valor (3,6), al que se le puede denominar discontinuidad evitable, pues se podría «tapar» agregando un punto en ese lugar:

Ojo: NO debemos asumir que siempre un resultado 0/0 al sustituir indicará que existe un agujero en la función. Comparen estos casos:

**Cuando se simplifica un factor que provoca un cero y queda un segundo factor en el numerador, el límite es cero y se trata de un agujero en (3,0):

**Cuando se simplifican ambos factores y sólo queda un 1, hay un agujero en (3,1):

**Sin embargo, cuando se simplifica un factor y queda otro en el denominador, lo que se encuentra es una asíntota vertical en x=3:

Otro ojo: Si se simplifica un factor que NO vale cero en el valor al que tiende la variable independiente, entonces NO se trata de un agujero en ese valor de x, sino de un valor funcional. En este ejemplo, coincide con la intersección en el eje x, pero puede ser un valor que no tenga ninguna característica particular dentro de la función.

Límites al infinito

Como el infinito NO es un valor, sino un concepto, no debería sustituirse al determinar un límite. Sin embargo, sí podemos «pensar» en lo que pasaría cuando el valor de la variable crece infinitamente, ya sea hacia los positivos o hacia los negativos.

Existen varias formas de determinar los límites cuando la x tiende a más o menos infinito. Aquí expondré la que me parece más práctica y que implica entender que un infinito al cuadrado es infinitamente más grande que un infinito a la primera potencia, y así sucesivamente.

Por lo tanto, para determinar el límite de una función polinómica cuando la x tiende a más o menos infinito, sólo tomaremos en cuenta el término con el exponente mayor. De la siguiente manera. Noten que, por jerarquía de las operaciones, el signo del infinito primero se eleva a la cuarta potencia y luego se multiplica por el más cinco. De ahí que la respuesta sea infinito positivo.

Ahora veamos lo que pasa en funciones racionales. Existen tres casos:

Caso 1, cuando el término con el exponente mayor está en el numerador. En tal caso el límite tiende a infinito, puede ser positivo o negativo dependiendo de los signos, coeficientes y exponentes que queden después de la simplificación. Puede decirse que el límite como tal no existe:

Caso 2, cuando el término con el exponente mayor está en el denominador. En este caso el límite tiende a 0, porque, según vimos en la entrada anterior, al dividir un valor conocido entre uno que tiende a infinito, la respuesta tiende a cero. La interpretación de este resultado es: la función tiene una asíntota horizontal en y=0 cuando x tiende a infinito positivo:

Caso 3, cuando el término con el exponente mayor está tanto en el numerador como en el denominador. En este caso, el límite tiende al cociente de los coeficientes de los términos con exponente mayor, con todo y signo. La interpretación de este resultado es: la función tiene una asíntota horizontal en y=4/5 cuando x tiende a infinito positivo:

En todos los casos es necesario tener cuidado con los signos de los términos para asegurarnos de determinar correctamente el signo del límite.

Los límites más interesantes (o sea, los que suelen venir en los exámenes) son aquellos que involucran ceros e infinitos (ya sea en el valor al que tiende la variable independiente o el valor al que tiende la función). Agotar este tema llevaría varias entradas más, lo cual dejaré para un momento posterior. Espero que lo compartido en estas dos entradas les resulta claro y útil para poder entender cómo determinar límites de funciones similares a estas y otras con estructuras más complejas, basadas en éstas.

Para cerrar

Llegamos a la entrada número 52, técnicamente la última (el límite) del primer año de vida de este blog, aunque, por ciertas circunstancias en la forma de numerarlas, todavía habrá otra entrada antes del 24 de enero que se cumple oficialmente el primer año de haberse publicado la primera entrada. Explicaré esto con más detalle la próxima semana.

Lo que sí es cierto es que hoy hace exactamente un año que el dominio impulsomatematico.com nació en Internet. Supongo que comprenden que me encanta analizar este tipo de detalles, ¿verdad?

Como siempre, gracias por leer, aprender, enseñar, comentar, compartir lo que escribo. Sé que la distancia entre la situación actual con las matemáticas y el que la gente se empiece a llevar realmente bien con ellas es enorme, pero no es infinita. Seguiré intentando acortarla, una semana a la vez.

Hasta la próxima semana

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

Obtuve parte de esta información del libro Matemáticas para administración y economía de Haeussler, Paul y Wood

Usé Word y Geogebra para hacer las imágenes