El calendario y sus curiosidades matemáticas

Ésta es la entrada número 53 de este blog. Dado que un año no bisiesto tiene 52 semanas y un día, las probabilidades de que fuera la primera entrada del segundo año de vida del blog serían, en teoría, de 6/7. Sin embargo, no lo es. Esa y otras peculiaridades que ocurren con los días de la semana, los años de nuestra era, etcétera, serán el tema de esta entrada.

agenda-152918_1280_optPregunta: Si quisiéramos tener un calendario como el de la imagen para cada uno de los diferentes años que pueden existir, sin importar si se trata de 1991 o 2019, ¿cuántos diferentes tendríamos? Sigan leyendo, para que puedan conocer los patrones presentes en el calendario. lo que ayuda a desarrollar el pensamiento lógico (ver más aquí, aquí y aquí) y a saber la respuesta.

Dedico esta entrada a la Dra. Elena Nesterova, mi directora de tesis de la maestría y la única persona que conozco que cumple años el 29 de febrero. ¿Habrá celebrado su cumpleaños número 15 el año que sus compañeras de clases estaban celebrando su cumpleaños número 60?

block-calender-1118351_1280_optLa primera entrada de este blog se publicó el miércoles 24 de enero de 2018. Como 2018 no fue bisiesto, el primer año de vida del blog contó con 52 semanas y un día, es decir, contó con 52 días de jueves a martes y con 53 miércoles. Eso provocó que hoy miércoles 23 de enero de 2019, un día antes de cumplir el primer año del blog, con todas las hojas del calendario arrancadas, como en la imagen, se llegara a la publicación número 53. Mañana celebraremos el primer cumpleaños del blog y será un segundo año más “normal”, pues sólo se publicarán 52 entradas.

¿Cuándo volverá a haber un año con 53 entradas? ¿Siete años después, en el 2026, octavo año de vida del blog? No, será antes. Debido a que el 2020 será bisiesto, el 2024 (también bisiesto) será el siguiente año en el que el 24 de enero caiga en miércoles y, por tanto, vuelva a haber 53 entradas en un solo año. ¿Cómo puedo saberlo? La respuesta está relacionada con la pregunta que hice unos párrafos antes.

Por cierto, aunque la probabilidad de que un año cualquiera tenga 53 miércoles es de 1/7, la probabilidad de que este blog tuviera 53 entradas en su primer año era del 100%, dado que empezó en miércoles y su primer año se cumplirá en jueves (o se hubiera cumplido en viernes, si se hubiera atravesado un bisiesto). En una entrada posterior escribiré más sobre probabilidades.

¿Cuántos calendarios diferentes existen?

Si se considera que se existen 7 calendarios diferentes de 365 días, uno que inicia cada día de la semana, y 7 calendarios diferentes de 366 días (años bisiestos), entonces existen sólo 14 calendarios diferentes en total.

Por cierto, tanto 1991 como 2019 son años no bisiestos que empezaron en martes, por lo que podemos usar exactamente el mismo calendario para ambos, sólo cambiando el año.

¿Cada cuánto tiempo se repite la secuencia en la que se ordenan esos calendarios?

Existe una repetición “corta”, que ocurre cada 28 años, número que suena lógico si multiplicamos 7 días de la semana por 4 años que tarda en ocurrir un bisiesto. Dentro de esos 28 años hay 1 de cada uno de los 7 calendarios bisiestos y 3 de cada uno de los 7 calendarios regulares.

Si numeramos los calendarios del 1 al 14 según el día en el que cae el primero de enero y si son regulares o bisiestos de esta forma:

Días.JPG

La secuencia “corta” se obtiene uniendo de forma consecutiva 3 calendarios regulares, luego incluyendo el bisiesto correspondiente y reiniciando la secuencia dos calendarios después:

1, 2, 3, 11, 6, 7, 1, 9, 4, 5, 6, 14, 2, 3, 4, 12, 7, 1, 2, 10, 5, 6, 7, 8, 3, 4, 5, 13… y se repite, como explico más adelante.

La última vez que empezó esa secuencia fue en el 2001, con el primero de enero en lunes. Este año, 2019, es un año “2”, no bisiesto y con el primero de enero en martes.

Además de la repetición “corta”, que ocurre 3 veces y fracción cada siglo, empezando diferente en cada uno, hay una repetición “larga”, que ocurre cada 400 años. Es decir, cada 400 años se repite completo el orden de los calendarios, partiendo del 1601 que empezó en lunes, igual que empezó el 2001 y que empezará el 2401.

¿A qué se deben los años bisiestos y cada cuántos años hay uno?

sunrise-1756274_1280_optLa Tierra gira sobre sí misma (transcurre un día) 365.242375 veces mientras da una vuelta completa al Sol, o sea, durante un año. Por lo tanto, un año dura 365 y poco menos de un cuarto de día, así que se determinó necesario repetir (bi) un día (sextus) de febrero cada cierto número de años. ¿Cómo decidir cada cuántos años? Ajustando poco a poco la cantidad promedio de días, como explico a continuación.

Agreguemos 1 día cada 4 años (1/4 = 0.25) y tendremos en promedio 365.25 días al año cada 4 años. Eso sigue siendo poco exacto.

Quitemos un día cada siglo (1/100 = 0.01 días al año) y tendremos 365.24 días en un año en promedio cada siglo. ¿Podremos hacerlo más exacto?

Agreguemos un día cada 4 siglos (1/400 = 0.0025) y obtendremos un promedio de 365.2425 días calendario cada 400 años. Bastante aproximado a lo real. Dejaremos a las generaciones futuras que hagan nuevos ajustes cuando sean necesarios.

Siguiendo los cálculos anteriores, cada 400 años hay 146097 días (303 años de 365 días + 97 años de 366 días), que es múltiplo de 7. Por eso el primer día del año (y cualquier otra fecha) de cada 400 años siempre será el mismo día de la semana.

El 7 es el número primo menor a 10 con menos múltiplos entre los números naturales (ver más sobre múltiplos y divisores aquí). Al dividir 1 entre 7 obtenemos decimales con una periodicidad de 6 dígitos: 1/7 = 0.142857142857… por lo cual resulta muy interesante que se logre que cada 400 años haya un número de días múltiplo de 7, mientras se busca llegar a la mayor coincidencia entre nuestro calendario y el comportamiento de nuestro planeta: 365.2425 * 400 = 146097, a la vez que 146097 / 7 = 20871 semanas exactas que hay en 400 años.

Esto es, el sobrante de días después de 52 semanas más cercano al real, que se logra mediante poner y quitar días cada determinada cantidad de años, a lo largo de 400 años, es 1.2452 y se vuelve múltiplo de 7 al ser multiplicado por… 400: 1.2452 * 400 = 497. Creo que el Sistema Solar nos quiso facilitar la vida. También tengo la sensación de que este análisis de múltiplos y divisores se está quedando corto, pero no logro determinar por qué. Si alguno de los lectores lo sabe, le agradeceré que lo comparta en los comentarios.

¿Sería más sencillo que la semana tuviera una cantidad de días diferente, para que no se necesitaran tantos calendarios distintos?

linux-161107_1280_optDado que el número de días reales en un año no es un número entero, no serviría de mucho usar otro número, de cualquier forma se necesitarían años con más y con menos días, para que no se fueran moviendo las estaciones con respecto al calendario, que es lo que pasaba antes de la introducción de los años bisiestos. Además, 365 sólo es múltiplo de 5 y de 73, o sea que pudiera haber años con 5 semanas de 73 días o con 73 semanas de 5 días, pero los bisiestos seguirían iguales.

¿Quién querría que su cumpleaños cayera el mismo día de la semana 3 años seguidos? Si toca en fin de semana, qué bien, pero si no… a esperar 3 años para que se mueva un día. Además, 146097 no es múltiplo ni de 5 ni de 73, entonces se requeriría un periodo aún más largo de años para que se repitiera una secuencia completaCreo que no está tan mal así como está ¿verdad?

Calendario Perpetuo

Les comparto aquí una hoja de cálculo en la que construí un calendario perpetuo. En la primera página están las claves para saber qué tipo de calendario corresponde a cada año (pueden observar la secuencia corta de 28 años y la larga de 400 años). En la segunda están los 14 calendarios distintos, para que puedan consultar qué día de la semana fue o será cualquier fecha a partir de 1600. Aunque en el archivo se incluyen sólo 500 años, ahora ya saben que hacia delante se repite la secuencia cada 400 años. Este calendario se empezó a usar poco antes de 1600, por lo que la secuencia no se puede generalizar hacia atrás.

calendario_perpetuo

¿Cómo saber el día de la semana de una fecha dada, sin tener el calendario correspondiente?

think-about-1184858_1280_optQuizá haya distintos métodos. Éste que presento está basado en el que propone Alberto Coto en su libro “Entrenamiento mental al cuadrado”. Me tocó ver a Alberto en acción haciendo esto en una conferencia y me dije a mí misma que algún día aprendería a hacerlo sin tener la guía de cálculos en papel. Aún no llega ese día.

Primero es necesario memorizar un código numérico que le asigna un dígito a cada mes del año:

0 Enero
3 Febrero
3 Marzo
6 Abril
1 Mayo
4 Junio
6 Julio
2 Agosto
5 Septiembre
0 Octubre
3 Noviembre
5 Diciembre

¿Ven la lógica del código? Si el primer día de enero cae en lunes, el primer día de febrero caerá 3 días después, en jueves, dado que enero tiene 31 días (3 más que 28, que son 4 semanas exactas) y así sucesivamente. Los bisiestos se toman en cuenta en otro momento del cálculo.

Como ya sabemos, al final de cada siglo puede o no haber un bisiesto. Entonces la fórmula para calcular el día cambia cada siglo, según la siguiente tabla que asigna un dígito a cada uno:

6   1600 – 1699
4   1700 – 1799
2   1800 – 1899
0   1900 – 1999
6   2000 – 2099
4   2100 – 2199
2   2200 – 2299

¿Notan el patrón? Se repite cada 400 años, como vimos anteriormente

Teniendo el día, el mes y el año, se hacen estos cálculos para saber qué día de la semana fue o será:

Se suma el día, más la equivalencia del mes en la tabla correspondiente, más las decenas del año, más la parte entera de dividir las decenas del año entre 4 (para saber el número de bisiestos) más el número correspondiente al siglo, según la tabla correspondiente.

Luego se divide entre 7 y se obtiene el resto. Ese número indica qué día fue, según esta tabla:

1 Lunes
2 Martes
3 Miércoles
4 Jueves
5 Viernes
6 Sábado
0 Domingo

OJO: ese cálculo funciona bien para todos los días de los años no bisiestos y para los días después del 28 de febrero de los años bisiestos. Si queremos determinar algún día entre el 1 de enero y el 28 de febrero de un año bisiesto, debemos restarle un día al cálculo.

Veamos algunos casos para que se entienda el procedimiento:

Comprobemos que el 24 de enero de 2018 fue miércoles:

El día: 24
El código del mes: 0
Las decenas del año: 18
La parte entera de dividir 18 / 4: 4 ( y sobran 2)
El código del siglo 2000 – 2099: 6

Sumamos todo: 24 + 0 + 18 + 4 + 6 = 52

Dividimos entre 7 y tomamos el resto: 52 / 7 = 7 y sobran 3
3 corresponde a miércoles. Comprobado.

Probemos con otra fecha. ¿Qué día de la semana fue el 31 de mayo de 1983?

El día: 31
El código del mes: 1
Las decenas del año: 83
Los bisiestos hasta ese año, 83 / 4: 20 (y sobran 3)
El código del siglo: 0

Sumamos todo: 31 + 1 + 83 + 20 + 0 = 135

Dividimos entre 7: 135 / 7 = 19 y sobran 2
2 corresponde a martes. El 31 de mayo de 1983 fue martes.

Para que quede claro lo que ocurre en los años bisiestos antes del 29 de febrero, ¿Qué día de la semana fue el 1 de febrero de 2004?

El día: 1
El código del mes: 3
Las decenas del año: 4
Los bisiestos hasta ese año, 4 / 4: 1
El código del siglo: 6

Sumamos todo: 1 + 3 + 4 + 1 + 6 = 15

Dividimos entre 7: 15 / 7 = 2 y sobra 1
1 corresponde a lunes, pero como todavía no se vivía el 29 de febrero, realmente el 1 de febrero de 2004 fue domingo.

Pueden comprobar todas las respuestas en los calendarios del archivo que les compartí.

Supongo que ahora entenderán por qué todavía no he aprendido a hacer esto de memoria. Hay que dedicarle un buen rato a memorizar, practicar y a hacer cálculos mentales rápidamente. Confío en pronto darme un tiempo para ello, pues, como mencioné en la entrada sobre libros para conocer mejor y disfrutar más las matemáticas (ver aquí) es un pendiente que tengo conmigo misma.

Algunos acertijos relacionados con el calendario

maze-1147506_1280_opt*Algunos meses tienen 31 días y otros sólo 30, ¿Cuántos tienen 28 días?

**La Navidad cayó en martes el año pasado y una semana después, también en martes, cayó el Año Nuevo. Sin embargo, este 2019 la Navidad y el Año Nuevo no caerán en el mismo día de la semana ¿por qué?

***¿En qué lugar el jueves está antes del miércoles?

Nota: el laberinto es una imagen que me encontré para ilustrar esta sección, no tiene relación con los calendarios. Pueden ver las respuestas en la sección Para cerrar.

Una peculiaridad sobre la manera de contar los días

calendar-1232802_1280_optEsto que voy a mencionar parece ser común en gran parte de México y en algunos países de Latinoamérica, aunque no en todos, ni en España. Agradeceré que en los comentarios me escriban si en su país o región se acostumbra hablar de esta manera:

Si hoy es miércoles y estoy planeando algo para el siguiente miércoles, diré que lo haré “en 8 días”.

Si es para dentro de 2 miércoles, entonces será “en 15 días”.

Y si es para dentro de 3 miércoles, será “en 22 días”. Esta frase en particular yo sí la digo, aunque estuve preguntando y parece ser menos usada.

Y no he escuchado decir “en 29 días” para 4 miércoles, creo que es más común decir “en 4 semanas”.

¿Por qué hacemos los cálculos así? Parece que es una manera de dejar abierto el periodo de tiempo, dado que un día es un lapso largo de tiempo. Es decir, si hoy miércoles son las 6 de la mañana y haré algo a las 6 de la tarde del siguiente miércoles, realmente transcurrieron 7 días y medio. O si hoy son las 8 de la noche y en una semana haré algo a las 8 de la mañana, transcurrirán 6 días y medio.

O sea que entre un miércoles y otro pueden transcurrir desde poco más de 6 días hasta poco menos de 8. Y alguien, en algún momento, decidió que decir “dentro de 8 días” era una buena idea de dejar abierto el lapso de tiempo. Se cuenta el primer día y también el último, tanto para adelante como para atrás. Por eso se dice “dentro de 15 días”, o “hace 22 días”, porque se cuentan tanto el primero como el último día, no es que se cuente alguno doble.

Y es la misma razón por la que si algo ocurre un día sí y uno no decimos “ocurre cada tercer día”. Se cuenta el primero y el último, más el día intermedio en el que no ocurre aquello de lo que hablamos.

Yo pensaba que esta forma de hablar era común para todos los hispanoparlantes, hasta que unas alumnas del norte de México me dijeron que allá no se dice así. Daniela, mi amiga de Uruguay, tampoco lo considera común en su país, aunque María Isabel, de Colombia, sí. ¿Cómo se dicen estos periodos de tiempo en sus países o ciudades?

Ahora una peculiaridad sobre la manera de contar los años

No existe el año cero. Al 31 de diciembre del año 1 antes de Cristo (a.C.) siguió el 1 de enero del año 1 después de Cristo (d.C.).

Tampoco existe el siglo 0. Al siglo I (a. C) le siguió el siglo I (d.C.), que empezó el primero de enero del año 1.

fireworks-1124136_1280_opt.jpgPor eso el milenio pasado se acabó realmente el 31 de diciembre del 2000, cuando se terminó el último día de los primeros 2000 años. El primero de enero del 2001 empezó el siglo XXI y el segundo milenio de nuestra era, pero resultaba más emocionante y “lógico” festejar el cambio del calendario de 1999 a 2000, así que mucha gente celebró el cambio de siglo y milenio la noche del 31 de diciembre de 1999.

Si bien es un poco confuso de entender, creo que se aclara si lo pensamos de esta manera: el año 1, y cualquier año, es todo el periodo desde el 1 de enero hasta el 31 de diciembre. Al principio se ha vivido sólo una porción de dicho año y al final ya se vivió completo y se cambia a vivir el año 2, al principio sólo una porción y así sucesivamente. Hacia atrás sería igual, muy cerca del 31 de diciembre del año 1 a.C estaríamos apenas una porción de tiempo “negativo”, mientras que el 1 de enero de ese año estaríamos todo un año completo “negativo”.

En matemáticas se diría que estamos considerando el “techo” (número entero no inferior) en todos los años “positivos” (después de Cristo) y el “mayor entero” (número entero inmediato inferior) en todos los años “negativos” (antes de Cristo). Es decir, no se usa el mismo criterio en ambos períodos, lo cual explica por qué no hay año cero ni siglo cero en ninguno de los dos.

(O quizá quienes lo definieron pensaron que estaban usando el mismo criterio sin darse cuenta que el “techo” de 1.5 es 2, pero el “techo” de -1.5 es -1 y no -2).

Pueden verlo en esta imagen:

Años.JPG

Para cerrar

Antes de irnos, veamos las respuestas a los acertijos:

*Todos los meses cuentan con al menos 28 días, aunque 11 de los meses no se quedan ahí: 4 tienen 30 días y 7 tienen 31.

**Eso es algo que ocurre todo el tiempo. La Navidad de un año y el Año Nuevo del año siguiente caen el mismo día de la semana, con una semana de diferencia. Sin embargo, el Año Nuevo y la Navidad del mismo año no caen nunca el mismo día de la semana, varían por uno o dos días, dependiendo de si el año es bisiesto o no.

***El jueves está antes que el miércoles en el mismo lugar donde el sábado está antes del viernes: en el diccionario.

Esta entrada fue un poco diferente, relacionada más con las curiosidades matemáticas que con la matemática escolar. Me interesó escribir esto para explicar la “extraña” situación de llegar a las 53 semanas de publicación del blog sin haber cumplido el primer año. Aproveché para extenderme y escribir sobre más peculiaridades relacionadas con el calendario que me han llamado la atención desde hace tiempo.

Los aspectos del calendario y de los relojes que se ven en la matemática escolar los dejaré para una entrada posterior.

events-2607706_1280_optMañana soplaremos una velita en el pastel y la próxima semana retomaremos las matemáticas de la primaria. Agradeceré que me sugieran temas sobre los que quieran que escriba para incrementar su caja de herramientas estratégicas para enseñarlos.

Como siempre, gracias por acompañarme todo este tiempo, por leer y por compartir.

Hasta la próxima semana (dentro de 8 días 😉 )

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

Usé Excel y Geogebra para hacer las imágenes

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