Ésta es la entrada 66 del blog. Tratará sobre un tema que, bien entendido, puede ser muy interesante: los logaritmos.

Cuando no existían las calculadoras, tener una tabla de logaritmos era como tener un as bajo la manga, hoy veremos por qué. Pensarán entonces que actualmente ya no tiene sentido estudiarlos… y tendrían razón, si el único uso de los logaritmos fuese hacer cálculos más rápidos. Realmente existen más aplicaciones, algunas de las cuales veremos hoy, con lo que comprenderemos que estudiarlos sí es relevante. La próxima semana complementaré esta entrada con más ideas sobre el tema, así como estrategias para resolver ecuaciones que involucren logaritmos.

Este par de entradas va dedicado a Andrés, un nuevo suscriptor de este blog que me sugirió escribir sobre el tema. Gracias, Andrés, espero que te resulten útiles.

Si alguien más gusta sugerirme algún tema, se lo agradeceré y lo tomaré en cuenta para una futura entrada.

¿Qué es un logaritmo?

La etimología de la palabra, es decir, el significado de la palabra según sus raíces griegas, une los conceptos de razón o relación (logos) y número (arithmos), según el Diccionario de la Real Academia de la Lengua, dado que una tabla de logaritmos es un arreglo que permite relacionar dos números según una regla que veremos a continuación.

A la obtención del logaritmo también se le llama la séptima operación, porque para las primeras dos operaciones básicas (suma y multiplicación) existen las contrarias, una para cada una, que permiten revertir el proceso (ver más sobre reversibilidad aquí) y regresar a los datos originales. Para la tercera operación básica (elevar a un exponente) se requieren dos operaciones distintas para obtener los datos originales:

La suma tiene su operación contraria, que es la resta, con la cual podemos averiguar cualquiera de los dos sumandos, conociendo el otro.

a + b = c      implica      a = c – b       b = c – a

La multiplicación tiene su operación contraria, que es la división, con la cual podemos averiguar cualquiera de los dos factores, conociendo el otro.

a * b = c       implica       a = c / b      b = c / a

Elevar a un exponente tiene la operación contraria que aprendemos primero, que es sacar la raíz del índice correspondiente:

Sin embargo, con esa operación sólo podemos calcular cuál era la base original, sabiendo el exponente (o la potencia) al que se elevó. Con la radicación no es posible averiguar a qué potencia se elevó, sabiendo la base. Para eso entran al rescate los logaritmos.

“El logaritmo base b de un número a es el exponente c al que debe elevarse b para obtener dicho número”

Se puede entender mejor relacionando los elementos de estas dos expresiones:

Del lado izquierdo, b es la base, c el exponente y a el resultado. Del lado derecho, b vuelve a ser la base, a es el argumento del logaritmo y c es el resultado (el logaritmo).

Ah, por cierto, las primeras tablas de logaritmos que existieron eran los logaritmos de los senos y tangentes de un ángulo, a intervalos de 1°, con siete cifras decimales. Las preparó y calculó, con una paciencia admirable John Napier (1550 – 1617), a lo largo de unos 20 años. La base que él usó para hacer su tabla fue:

Tengo entendido que usó esa base porque los primeros logaritmos los usaron los astrónomos, que trabajaban con números muy grandes, de un tamaño comparable con 10^7. Tomé parte de esta información de aquí.

Para ciertas aplicaciones, realmente no es relevante cuál es la base que se use, pues primero se obtiene el logaritmo y después el antilogaritmo, con la misma base, por lo que la mencionada base no forma parte de la respuesta, sólo del procedimiento. En el caso de las ecuaciones y funciones logarítmicas sí es relevante, pues la forma de resolverlas o graficarlas cambia según la base.

Ah, y teniendo toda la tabla de logaritmos en una base es relativamente sencillo cambiarla a otra base, como veremos un poco más adelante.

Evitemos confundir “algoritmo” con “logaritmo”

Aunque tienen las mismas letras e incluso riman, se trata de conceptos distintos:

Un algoritmo es un conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema.

El logaritmo base b de un número a es el exponente c al que debe elevarse b para obtener dicho número.

Por cierto, veremos hoy un algoritmo para calcular un logaritmo, aunque parezca trabalenguas.

¿Cualquier número puede ser la base de un logaritmo?

No. Por las leyes de los exponentes (ver más aquí y aquí), podemos darnos cuenta que:

Los logaritmos no pueden tener como base 0, ya que 0 elevado a cualquier potencia distinta de 0 es igual a 0, entonces el proceso de obtener el logaritmo no llegaría a ninguna parte.

Los logaritmos no pueden tener como base 1, ya que 1 elevado a cualquier potencia es igual a 1, entonces el proceso de obtener el logaritmo tampoco llegaría a ninguna parte.

En general, se dice que los logaritmos no pueden tener una base negativa, porque diferentes exponentes darían resultados con diferentes signos y eso marcaría un comportamiento errático si se intentara graficar. Además, al resolver una ecuación logarítmica con una base negativa, en ciertos casos tendría un resultado real y en otros complejos. Cuando veamos más adelante la fórmula para cambiar de base, veremos que, siguiéndola, técnicamente se podrían calcular los logaritmos con bases negativas, sólo que serían números complejos. Quizá exista alguna otra razón que desconozco para considerar inválidos los números negativos como base de los logaritmos. Si ustedes la conocen, les agradecería que la compartieran en los comentarios.

Dado lo anterior, las bases de los logaritmos sólo pueden ser números entre 0 y 1, sin incluirlos, o mayores que 1. He visto que en algunas fuentes los limitan a números mayores a 1, pero realmente sí se pueden obtener logaritmos con bases entre 0 y 1, como veremos más adelante.

No se puede calcular un logaritmo (en los números reales) de un número negativo, dado que, si las bases son positivas, elevadas a cualquier potencia darán un resultado positivo siempre. Sin embargo, la identidad de Euler (ver más aquí) nos permite darnos cuenta de cómo podemos calcular los logaritmos de los números negativos, que son números imaginarios:

Los exponentes en sí (los logaritmos) sí pueden ser negativos, positivos, incluso cero.

¿Cuáles son las bases más comunes para los logaritmos?

10, que es la base de los logaritmos comunes, por ser 10 la base de nuestro sistema numérico decimal (ver más aquí). Los logaritmos base 10 regularmente se escriben sin especificar la base. Se considera implícita:

e, que es la base de los logaritmos naturales, por tener el número e una presencia constante en la naturaleza. Los logaritmos base e regularmente se escriben como ln, sin especificar la base:

Nota: ln se refiere tanto a logaritmo natural como a logaritmo neperiano, en honor a John Napier. Sin embargo, la base que usó Napier no era e, como vimos unos párrafos arriba. Es una confusión que no causa demasiados problemas, pero que conviene conocer y corregir.

Por cierto, una de las formas de calcular el valor de e es obteniendo el siguiente límite.

(Ver más sobre límites aquí y aquí)

Este número sirve para describir diversos fenómenos físicos, incluso ayuda a calcular el ritmo de desintegración de los átomos, con lo cual se pueden datar los objetos con el método del carbono 14. Nos extenderemos en las aplicaciones en la siguiente entrada.

Para cualquier logaritmo en otra base, ésta debe especificarse como un sub-índice después de la palabra log.

¿Cuáles son las partes de un logaritmo?

Un logaritmo se compone de dos partes, la característica (parte entera del logaritmo) y la mantisa (parte decimal), lo cual es relevante al usar tablas de logaritmos. La calculadora lo genera completo en un solo paso.

La característica del logaritmo base 10 de 66 es 1 (significa que 10 se debe elevar a la potencia 1 y fracción para llegar a 66 o que 66 sólo se divide una vez entre 10 para llegar a un número menor a 10, que es básicamente la misma idea expresada de dos formas distintas).

La mantisa es 0.8195 (complementa el número al que se debe elevar 10 para obtener 66).

log⁡ 66 = 1.8195

Si quieren saber por qué no escribí la base, lean el siguiente apartado, por favor.

¿Cómo se traduce una expresión en forma exponencial a una en forma logarítmica?

Sólo se reacomodan los datos para que ambas expresiones sean congruentes. Puede facilitarse el proceso siguiendo una guía de colores y recordando el significado de logaritmo de un número: el exponente al que se eleva la base para obtener dicho número. Considero que la lógica del primer ejemplo es fácil de entender y siguiendo el mismo procedimiento pueden entender el resto:

¿Cómo se calcula un logaritmo con base en una expresión exponencial?

Para los logaritmos sencillos y fáciles de reconocer, sólo es cuestión de pensar en el proceso inverso al anterior:

Algoritmo para calcular logaritmos

Les presento ahora un algoritmo para determinar un logaritmo, si no resulta evidente su valor:

Se divide el número entre la base tantas veces como sea necesario hasta llegar a 1 o al primer número que sea menor que la base. Si el número ya era menor que la base, entonces se multiplica tantas veces por la base como sea necesario para llegar a 1 o al primer número mayor que la base. En este caso, el logaritmo será negativo. La división/multiplicación se puede hacer de forma similar al proceso de obtención de factores primos, pero usando siempre la base del logaritmo para dividir o multiplicar.

De hecho, otra forma de entender el concepto de logaritmo base b de un número es: la cantidad de veces que es necesario dividir el número entre b hasta llegar a 1. Si lo que se requiere para llegar a 1 es multiplicar, entonces la cantidad de veces se considera negativa, por ser la operación contraria.

Si se llega a 1 de forma exacta, entonces el resultado es un número entero. Si no, el resultado tiene cifras decimales, que se calculan mediante el procedimiento que explico a continuación. Es tan laborioso hacerlo a mano que uno entiende por qué tardó tanto Napier en hacer sus tablas. Quien tenga curiosidad, puede leerlo. Quien no, puede saltarse a la siguiente sección:

Calculemos el logaritmo base 10 de 66, número de esta entrada, que la calculadora dice que es 1.8195. Usaremos 4 cifras decimales en cada paso:

Al dividir 66 entre 10 UNA vez llegamos a 6.6, que ya es menor que 10, por tanto la característica será 1.

Ahora elevamos el resultado ya dividido, 6.6, a la décima potencia (me apoyaré en la calculadora):

6.6^10 = 156 833 688.1

¿Cuántas veces podemos dividir 156 833 688.1 entre 10 hasta llegar a un número menor a 10? 8. También pueden pensarlo como ¿cuántas posiciones puedo mover el punto decimal hacia la izquierda hasta que sólo quede una cifra a la izquierda del punto? 8.

El logaritmo que vamos construyendo es: 1.8…

Ahora tomamos el resultado de dividir 156 833 688.1 ocho veces entre 10 y lo elevamos a la décima potencia:

1.5683^10 = 90.0101

¿Cuántas veces podemos dividir 90.0313 entre 10? 1

El logaritmo que vamos construyendo es: 1.81…

Elevamos a la décima potencia el número ya dividido : 9.0010^10 = 3490660544

¿Cuántas veces podemos dividir el número resultante, 3490660544 entre 10? 9

El logaritmo que vamos construyendo es: 1.819…

Elevamos a la décima potencia el número ya dividido : 3.4907^10 = 268611.9069

Que puede dividirse 5 veces entre 10.

Por lo tanto, el logaritmo base 10 de 66, con 4 cifras decimales, es 1.8195

Nota importante: como las cifras de la mantisa del logaritmo se están calculando en el sistema decimal, cada número dividido se eleva a la potencia 10. Si se estuvieran calculando en el sistema binario (ver más sobre sistema binario aquí y aquí) se elevarían a la potencia 2. Es decir, el número al que se eleva coincide con el sistema de numeración usado para escribir el logaritmo y el número entre el que se divide coincide con la base del mismo. En este ejemplo, ambos fueron 10.

Con la base 10 las divisiones son muy sencillas. Con la base de Napier debió ser un proceso muy largo, tedioso y susceptible de errores.

Estuve buscando en diversas fuentes este algoritmo, sin éxito. Finalmente encontré un ejemplo aquí, en el cual me basé para lo que acabo de exponer.

Podrán notar que este algoritmo se forma de una serie de pasos que se parecen, de cierto modo a lo que haríamos en una división o una raíz cuadrada. Vamos encontrando el resultado cifra a cifra:

Para obtener 66 necesitamos elevar 10 a un número que es:

Mayor a 1, pero menor a 2

Mayor a 1.8, pero menor a 1.9

Mayor a 1.81, pero menor a 1.82

Mayor a 1.819, pero menor a 1.82

Mayor a 1.8195, pero menor a 1.8196

… y así, hasta lograr la exactitud deseada.

¿Se pueden usar promedios para calcular logaritmos?

La respuesta es: no. Por ejemplo, aunque 6 esté a medio camino de 4 y 8 (es su promedio), el logaritmo base 2 de 6 NO es 2.5 (que sería el promedio de 2 y 3, logaritmos base 2 de 4 y 8 respectivamente). Realmente es 2.585.

Explicaré cómo obtenerlo con la calculadora un poco más adelante. En este momento lo que es trascendente es que se den cuenta que los logaritmos NO cambian al mismo ritmo que los números de los números de los que son logaritmo. Esa es una gran ventaja de los logaritmos, que permiten trabajar con números más pequeños y operaciones más sencillas al hacer cálculos complejos.

Observen esta tabla, la progresión de la primera fila es geométrica y la de la segunda es aritmética (ver más sobre patrones, series, progresiones y sucesiones aquí y aquí). Todas las tablas serían similares, sólo cambia la base y, por tanto, qué tan rápido avanzan:

Número                     1    2    4    8    16    32    64    128
Logaritmo base 2     0    1    2    3     4      5      6        7 

¿Siempre podemos obtener el logaritmo de un número?

Dadas las restricciones que vimos al principio, se imaginarán que no. Veamos, como contraejemplo, unos casos en los que no se puede obtener el logaritmo, al menos en los números reales:

Nota: las calculadoras científicas que no manejan números complejos marcan el mismo tipo de error cuando el logaritmo no está definido de ninguna manera (no existe) que cuando no está definido en los números reales. Como profesores, podemos pedirles a los alumnos que hagan la distinción, para que demuestren una comprensión más profunda del tema.

Falta aclarar esto: el logaritmo de cero no existe en ninguna base, porque sea cual sea la base (válida, claro), por más pequeño que sea el número al que se eleve, el resultado nunca podrá ser cero.

¿Cómo obtener un logaritmo de cualquier base en la calculadora?

Algunas calculadoras tienen la facilidad de escribir la base que necesites. Entonces sólo es cuestión de capturar los datos como te lo pida y listo.

Si tu calculadora es más sencilla, de las que sólo calculan el logaritmo natural y el común, puedes usar esta fórmula:

Como la fórmula indica, puedes usarla tanto con logaritmo común como con logaritmo natural.

Si quieren ver la demostración de esta fórmula y las propiedades de los logaritmos que presento en la siguiente sección, pueden entrar aquí:

Veamos cómo funciona la fórmula para obtener el logaritmo base 2 de 6, que párrafos arriba mencioné que no era 2.5, a pesar de que 6 está a medio camino entre 4 y 8:

¿Cuáles son las propiedades de los logaritmos?

Como los logaritmos son exponentes, sus propiedades están directamente relacionadas con las leyes de los exponentes (ver más aquí y aquí):

¿Para qué se utilizaban originalmente los logaritmos?

La creación de las tablas de logaritmos fue tremendamente útil. Ocurrió poco tiempo antes que el descubrimiento del cálculo (ver más aquí) y facilitó de forma importante los cálculos a ingenieros, astrónomos y demás personas que necesitaban hacer cálculos complejos.

Imaginen que por alguna buena razón quieren sacar la raíz cúbica de 3691000 y viven en una época en la que aún no se inventan, o son accesibles, las calculadoras de ningún tipo. Pueden hacer el proceso de la raíz cúbica a mano… o pueden ir a la tabla de los logaritmos comunes, encontrar el correspondiente al número:

6.5671

Dividirlo entre 3, dada la siguiente propiedad:

6.5671 / 3 = 2.1890

Y luego buscar su antilogaritmo común en la tabla correspondiente:

154.5

La raíz cúbica de 3691000 es un número muy cercano a 154.5 (no es exacto debido a que se pierde precisión por el redondeo a 4 decimales)

¡Así de sencillo! Napier duró 20 años calculando los numeritos que le ahorraron un montón de tiempo a todos los matemáticos, ingenieros y científicos que le siguieron. La tabla que usé es la de logaritmo común o base 10, que se construyó un poco después que la de Napier, basada en ella (ya vimos que teniendo un logaritmo en una base puedes cambiarlo de base mediante una sencilla división). Esa tabla es la que usé en la escuela secundaria cuando aprendí este tema.

Usando logaritmos podemos obtener la raíz de cualquier índice positivo, aunque no sea entera y, de la misma manera, podemos elevar a cualquier exponente, aunque no sea entero. También podemos multiplicar números muy grandes mediante una suma, o dividirlos mediante una resta, siempre aprovechando las propiedades de los logaritmos. Veamos otro ejemplo:

3691000 x 24680

Obtenemos sus logaritmos y los sumamos

6.5671 + 4.3923 = 10.9594

Obtenemos el antilogaritmo

91 070 000 000

La respuesta es 99.97% exacta, ya que la que se obtiene con la calculadora es: 91 093 880 000

Dado el trabajo que nos ahorramos, creo que podemos considerarlo una buena exactitud.

Para cerrar:

La próxima semana explicaré cómo usar las tablas de logaritmos y antilogaritmos. También compartiré más ideas alrededor de este tema, incluyendo lo relacionado con funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas y una paradoja matemática.

Agradezco a Andrés su sugerencia de escribir sobre este tema. Y aún más agradezco su deseo de entender los porqué de los procesos y conceptos matemáticos y de buscar ser un profesor que se los explique a sus alumnos, o los ayude a descubrirlos, en vez de limitarse a llenar el pizarrón de garabatos sin sentido para ellos. Confío en que poco a poco seremos más los docentes que tengamos ese enfoque, así cada vez habrá más personas que se lleven bien con las matemáticas y lo cual les beneficiará en muchos aspectos de su vida.

Como siempre, gracias a todos por leer y por ayudarme a compartir el mensaje.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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