Soluciones extrañas: ¿cómo distinguirlas? ¿por qué surgen?

Ésta es la entrada 95 del blog. La idea se empezó a formar la semana pasada, pero no alcancé a redactarla completa, así que hasta hoy la compartiré. Estoy viendo este tema con mis alumnos universitarios, pero puede abordarse desde secundaria, con el enfoque adecuado.

¿Si durante el proceso de resolución de una ecuación no cometemos errores algebraicos o de cálculo, siempre llegaremos a una respuesta que sea realmente una solución de la ecuación?

Puede pensarse que sí, pero no es así. Hoy veremos por qué.

Empecemos por recordar:

¿Qué significa resolver una ecuación?

Lo mencioné en la primera entrada que escribí sobre ecuaciones (ver aquí):

Resolver una ecuación NO es “hallar x“.

Es encontrar el(los) valor(es) de la(s) incógnita(s) para el(los) cual(es) se cumple la igualdad. A esos valores también se le llaman soluciones o raíces de la ecuación.

Como al encontrar dicho valor llegamos a una expresión como esta:

x = 9,

suele decirse también que resolver una ecuación es “despejar la x”, es decir, dejarla sola a un lado del igual mientras su valor está al otro lado del igual.

Tengamos cuidado: “despejar la x” NO significa “quitarle” el coeficiente y el exponente.

Significa que éstos valgan uno.

Decir x = 9 significa que una equis elevada a la potencia uno vale nueve.

¿Cómo se comprueba que una solución a una ecuación es correcta?

Todas las soluciones a las ecuaciones se pueden comprobar si se sustituye cada solución en la expresión original y se verifica que los valores de las expresiones a ambos lados del igual sean idénticos.

x = 9 es solución de x – 2 = 7 porque, si sustituyo: 9 – 2 = 7, se cumple que 7=7

¿Es indispensable comprobar las soluciones encontradas?

Si bien algunos estudiantes consideran que terminaron el ejercicio cuando obtuvieron el valor de la incógnita, yo animo a mis alumnos a que siempre comprueben sus respuestas.

Considero que les ayuda a ser disciplinados en verificar su trabajo (académico y en general) y les da la ventaja de saber que ese ejercicio está bien resuelto.

Además, les ayuda a distinguir las verdaderas soluciones de las soluciones extrañas.

¿Qué son las soluciones extrañas?

Una solución extraña es aquella que satisface la ecuación transformada pero no la ecuación original.

¿Cuáles son las ecuaciones transformadas?

Aquellas que se consiguen al efectuar la misma operación a ambos lados del igual: sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia, etcétera.

En principio, al hacer una operación como las mencionadas, se obtiene una ecuación equivalente, es decir, que tiene las mismas soluciones que la original

¿Todo tipo de operaciones efectuadas a ambos lados del igual producen siempre ecuaciones equivalentes?

La realidad es que no. Veamos los casos más comunes en los que sí ocurre:

*Al sumar, restar, multiplicar y dividir una constante, sí se obtiene una ecuación equivalente siempre.

La solución de x – 2 = 7 es la misma que la de 3 ( x – 2 ) = 3 ( 7 ), y es, como habíamos visto, x = 9

*También al sumar y restar una variable o un polinomio (sin importar la potencias o los coeficientes).

La solución de x – 2 = 7 es la misma que la solución de x^2 + x – 2 = x^2 + 7, y también es, como habíamos visto, x = 9.

*En algunas fuentes mencionan el factorizar o elevar una expresión (binomio, trinomio) a una potencia, pero eso se hace sólo a un lado del igual.

La soluciones de ( x – 2)^2 = 49 son las misma que las de x^2 – 4x + 4 = 49. En este caso son x = 9 y x = -5.

¿Qué tipo de operaciones efectuadas a ambos lados del igual pueden producir ecuaciones no equivalentes?

*Multiplicar por una expresión que contenga a la incógnita puede agregar una solución.

Es decir, la nueva ecuación tiene una solución que no lo es de la ecuación original.

E1

*Dividir entre una expresión que contenga a la incógnita puede desaparecer una solución.

Es decir, la nueva ecuación tiene una solución menos que la ecuación original.

E2

*Elevar a una potencia entera también puede agregar una solución, que puede ser extraña.

E3

*No se menciona mucho, pero si no se tiene cuidado al obtener una raíz de índice par, también pueden desaparecer soluciones.

E4

Como es relativamente sencillo determinar cuáles de las soluciones encontradas son extrañas, multiplicar y elevar son operaciones que podemos (de hecho normalmente debemos) hacer para resolver la ecuación sin temor, siempre y cuando recordemos verificar las soluciones.

En cambio, dividir y obtener raíces de índice par debe hacerse con mucho cuidado, para evitar desaparecer, por un descuido, soluciones.

Veamos una manera de resolver las ecuaciones anteriores sin desaparecer soluciones:

E5

E6

¿Por qué aparecen las soluciones extrañas?

Las soluciones extrañas están relacionadas con la reversibilidad (ver más aquí)

Si consideramos que siempre que obtengamos una raíz de índice par se va a tomar sólo la raíz principal (positiva), entonces nos daremos cuenta de que elevar a una potencia par no es reversible:

Por ejemplo, si se tiene un -3, al elevarlo al cuadrado se obtiene un 9 y al obtener su raíz cuadrada tenemos 3. No regresó a su valor original.

Por tanto, la aparición de soluciones extrañas puede estar relacionada con el hecho de elevar una expresión negativa al cuadrado, como en el ejemplo que ya mostramos:

Me gusta explicar este caso a mis alumnos de la siguiente manera:

Si se tiene la parábola horizontal trasladada una unidad hacia arriba:

E7

Y se despeja “y” para que quede una función:

E8

Cuando se iguala la función a 0 para obtener la intersección con el eje de las x, elevamos al cuadrado y obtenemos como solución x = 1, que es la intersección de la parábola con el eje x, pero no la intersección de la función radical con dicho eje.

Pasa algo similar con las semicircunferencias, las hipérbolas y las elipses.

En cambio, elevar números positivos al cuadrado es reversible sin problemas.

Multiplicar por una expresión que contenga a la incógnita también puede no ser reversible, pues, si se da el caso de que la expresión vale 0 en el valor que encontramos posteriormente como solución, estamos multiplicando por cero ambos lados de la ecuación y eso no es reversible, pues la división entre cero no está definida.

Observemos lo que pasa con el primer ejemplo si, antes de multiplicar ambos lados del igual por el 3 x – 6 lo factorizamos:

E9

En esa expresión, x no puede tomar el valor de 2, porque el lado izquierdo estaría indeterminado (ver más sobre la división de cero entre cero aquí). Pero, al no darnos cuenta de esa situación antes de multiplicar ambos lados de la ecuación por 3x – 6, llegamos a una solución que no es tal.

Si factorizamos el denominador y simplificamos la expresión, llegamos a 1/3 = 7, lo cual obviamente no es posible y nos indica que la ecuación no tiene solución.

Veamos este otro caso, analizándolo para identificar la posible aparición de una solución extraña desde un principio:

E10

Puede observarse que el binomio x+3 provoca un 0/0, por lo que generará una solución extraña. Sin embargo, esta ecuación sí tiene solución, ya que al simplificar el x+3 sigue quedando una expresión coherente, x – 3 = 0, cuya solución es x = 3.

Multiplicar por números diferentes de cero es reversible sin problemas.

Otros casos interesantes

Cuando se llega a algo como 7x = 5x, puede parecer que el paso siguiente es dividir entre x ambos lados del igual. Sin embargo, eso llevaría a 7 = 5, y daría la impresión de que la ecuación no tiene solución.

El procedimiento correcto es restar 5x a ambos lados del igual y después dividir entre 2, para llegar a que x = 0. En casos como éste, al dividir entre x, se desaparece la única solución.

7x = 5x

7x – 5x = 0

2x = 0

x = 0/2

x = 0

Noten cómo al desaparecer soluciones que eran cero quedan incongruencias matemáticas que sólo pueden evitarse al multiplicar ambos lados del igual por cero.

Por otro lado, las ecuaciones que involucran logaritmos también son susceptibles de generar soluciones extrañas. Veamos un ejemplo:

E11

Aunque parece que la ecuación tiene dos respuestas, los logaritmos no pueden tener bases negativas, ni cero, ni uno. Por lo tanto, sólo la solución x = 3 es correcta, la otra, x = – 3, es una solución extraña.

Existen unos casos en los que la solución es extraña porque no se encuentra en los números reales, aunque sí en los imaginarios. Por ejemplo:

E13

Al comprobar, con x = 5 se obtiene ln (20)=ln (20), lo cual es correcto, mientras que con x=-1 se obtiene ln (-4) = ln (-4), lo cual también es correcto, pero sólo en los números imaginarios.

Dependiendo el contexto, x = -1 puede considerarse solución extraña o no.

Para cerrar

¿Conocen más casos de soluciones extrañas? Compártanlos en los comentarios, por favor. Las he visto en ecuaciones que involucran logaritmos y en ecuaciones de aplicación, en las que las respuestas negativas o con con valores en ciertos rangos no son adecuadas al contexto.

Con base en las razones por las que se generan soluciones extrañas, ustedes pueden generar más ejercicios para que sus alumnos practiquen. Confío en que esta actividad les ayude a convencerlos de la conveniencia de comprobar las soluciones que obtienen.

Por lo visto en esta entrada, el alumno puede reconocer desde un principio cuáles ecuaciones pudieran generar soluciones extrañas y cuáles no, y decidir comprobar sólo las primeras. Yo los invito a comprobar todas.

Por si se preguntan qué relación tiene la imagen con el tema, me la topé buscando ideas “extrañas”. Pensé en las ecuaciones para las que se obtienen dos soluciones, pero que sólo una es adecuada y la otra no lo es. Es extraña. Como el calcetín que no hace juego con la ropa que se usará.

Como siempre, gracias por leer, comentar y compartir.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

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