Ésta es la entrada 63 del blog. Es múltiplo de 9, un número que me gusta un poco más que los demás (ver más sobre las características del 9 aquí), por lo que la dedicaré a un tema especial: La reversibilidad en matemáticas.

Comprender qué es la reversibilidad en general y en matemáticas en particular facilitará de forma importante el aprendizaje y la enseñanza de la materia, por diversas razones que veremos a lo largo de la entrada.

Comencemos por las definiciones del Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española:

Reversibilidad: cualidad de reversible.  (Vaya, no nos dice mucho, ¿verdad?).

Reversible: Que puede volver a un estado o condición anterior. (Esto ayuda un poco más: si algo es reversible, dentro y fuera de las matemáticas, se puede regresar a como estaba antes de ser modificado).

Dicho de una prenda de vestir: Que puede usarse por el derecho o por el revés, según convenga. (Son muy prácticas esas prendas, permiten mucha flexibilidad al usarlas, al igual que la comprensión de las operaciones matemáticas reversibles da mucha flexibilidad a nuestro pensamiento matemático).

Dicho de un mecanismo: El movimiento de una de sus partes causa el movimiento de otra y, a su vez, el de esta última es capaz de causar el movimiento de la primera. (En matemáticas, es frecuente ver una función como un «mecanismo» que provoca una transformación, la cual puede revertirse con la función inversa).

Reversibilidad del pensamiento

Es la capacidad de volver al punto de partida después de un proceso mental, mediante un proceso inverso.

Puede ser contar una historia de ida y vuelta o describir un procedimiento de ida y vuelta. En general, es ser consciente de los pasos que se siguieron en un sentido y cómo serían en el orden inverso, como subir y bajar una montaña por la misma ruta en ambos sentidos.

Reversibilidad del pensamiento en matemáticas

Es lo mencionado anteriormente, aplicado a los procesos matemáticos:

Si agregamos algo, lo podemos quitar (suma/resta). Y viceversa.

Si duplicamos algo, lo podemos partir a la mitad (multiplicación y división). Y viceversa.

Si elevamos al cuadrado, podemos obtener la raíz cuadrada. Y viceversa

Si separamos, podemos juntar. Y viceversa.

Si ordenamos de mayor a menor, podemos re-ordenar de menor a mayor. Y viceversa.

Y así…

Breve paréntesis: palabras y números reversibles

Las palabras que se leen igual al derecho y al revés se llaman palíndromos. Existen ejemplos cortos, como Ana y oso. También existen ejemplos largos, como reconocer.

Existen frases palíndromas, como Anita lava la tina. Incluso textos más largos también palíndromos.

Asímismo hay números palíndromos, a los que también se les llama capicúas, como el 171 y el XIX. Pueden ver más sobre números capicúas, romanos y arábigos, aquí.

Y las palabras que se leen distinto al derecho y al revés, pero en ambos sentidos significan algo, se llaman bifrontes: Roma <-> Amor es una de las más conocidas.

Todos los números arábigos pueden ser considerados bifrontes, pues al leerse en ambos sentidos representan números válidos. Con los romanos no siempre sucede: VI <-> IV es bifronte, pero VIII no, porque IIIV no es un número romano válido.

Cómo aprovechar la reversibilidad al aprender y enseñar matemáticas

Presentaré aquí algunas formas en las que se puede aprovechar la reversibilidad al enseñar matemáticas: para lograr un aprendizaje más eficiente, para comprender las sumas y restas con transformación, para comprobar las respuestas o encontrar la forma de llegar a ellas, para plantear problemas de forma inversa y para resolver ecuaciones. Si conocen otras, les agradeceré que las compartan en los comentarios.

Lograr un aprendizaje más eficiente

Al practicar dos procesos a la vez (ida y vuelta), se logra más aprendizaje en el mismo tiempo y ese aprendizaje resulta más útil, por ser más completo, más integral.

Algunas ideas para hacerlo son estas preguntas:

• ¿Cuánto es 3 + 5?
• ¡8!
• ¡Bien! Por lo tanto 8 – 5 son 3 (pues le quito lo mismo que le agregué, que es la verdadera reversibilidad) y 8 – 3 son 5 (éste es un aprendizaje extra relacionado con la conmutatividad de la suma)

• ¿Cuánto es 8 – 5?
• ¡3!
• ¡Bien! Por lo tanto, 3 + 5 son:
• ¡8! (pues le agrego lo mismo que le quité)

Los dos ejemplos anteriores se pueden hacer en voz alta, escritos o con material concreto.

• ¿Cuánto es 7 x 8?
• ¡56!
• ¡Bien! Por lo tanto, 56 / 8 son:
• ¡7! (porque divido entre lo que multipliqué)
• ¡Bien! Y 56 / 7 son:
• ¡8! (éste es un aprendizaje extra relacionado con la conmutatividad de la multiplicación

Estas actividades ayudan, además, a desarrollar el sentido numérico, que yo considero el segundo pilar de una buena relación con las matemáticas  (ver más aquí y aquí).

Veamos otras ideas:

• Quién es más alto ¿Juan o Pedro?
• ¡Juan!
• ¡Bien! Eso significa que:
• Pedro es menos alto que Juan (o que Pedro es más bajo que Juan… incluso que Juan es menos bajo que Pedro)

• ¿Hay más manzanas o más peras?
• ¡Hay más peras que manzanas!
• ¡Bien! Eso significa que:
• ¡Hay menos manzanas que peras!

También en notación de desigualdad se puede decir:

• Si 3 > 1 eso significa que 1 < 3

Pueden ver más información sobre el tema de desigualdades aquí y más ideas sobre aprendizaje eficiente aquí.

Comprender las sumas y restas con transformación

Si cuando sumamos 6 unidades + 5 unidades obtenemos 11 unidades, que es 1 decena más 1 unidad. Para restar 1 unidad menos 6 unidades necesitamos conseguir 1 decena «prestada» para descomponerla en 10 unidades, sumarlas a la unidad que ya tenía y así obtener 11 – 6 = 5. (Ver más sobre sumas y restas con transformación aquí)

     61
–   36
=  25

Comprobar las respuestas haciendo los procesos en reversa.

Vean estos ejemplos, que no son exhaustivos, pero sirven de base para pensar en otros.

Si se hizo una suma, se comprueba con una resta. ¡Y viceversa!

     25
+   36
=   61

     61
–   36
=  25

Si se hizo una multiplicación, se comprueba con una división. ¡Y viceversa!

25 x 6 = 150

150 / 6 = 25

Una factorización se puede comprobar realizando la multiplicación. ¡Y viceversa!

ab + ac = a ( b + c )          a ( b + c ) = ab + ac

En Cálculo, una integral se puede comprobar derivándola y una derivada se puede comprobar parcialmente integrándola (sólo parcialmente, debido a la constante de integración).

Y, cuando tenemos la respuesta a un ejercicio que nos plantearon y que no sabemos por dónde empezar a resolver, como unas integrales que estaba resolviendo mi hijo hace un momento, podemos irnos en reversa desde la respuesta hasta la pregunta y, con eso, saber cómo resolverlo ya en el sentido correcto.

Para plantear problemas de forma inversa

Se da lo que normalmente se pediría como respuesta y se pide algo que normalmente se daría como dato:

Puede ser algo que implique poco proceso de pensamiento:

¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuyo perímetro es 36?

Descubre cómo clasificó mi hija estos objetos

Si el divisor es 3, el cociente es 7 y el residuo es 1, ¿cuál fue el dividendo?

O puede ser algo en lo que hagan volar su imaginación. En este caso contemplen que evaluar una actividad así, que es muy enriquecedora para el aprendizaje del alumno y para conocerlo mejor, es mucho más tardado que evaluar una actividad en la que todos den la misma respuesta.

Plantea una suma cuya respuesta sea 36.

Plantea una resta de fracciones cuya respuesta sea 1/36.

Plantea un problema cuya respuesta sea 36 pelotas.

Para resolver ecuaciones

Armar una ecuación puede semejarse a armar una muñeca rusa. Encontrar el valor de x puede semejarse a ir abriendo una muñeca tras otra hasta llegar a la más pequeñita. Veamos un ejemplo sencillo, en la que se reconoce la estructura de la ecuación y el orden en el que se realizan las operaciones (ver más sobre sentido de estructura algebraica aquí):

4x – 20 = 0

Si conociéramos el valor de x y quisiéramos calcular el lado izquierdo de la ecuación, primero lo multiplicaríamos por 4 y después le restaríamos 20.

Para resolver la ecuación, vamos haciendo las operaciones contrarias en orden inverso, a ambos lados de la ecuación.

Primero le sumamos 20:

4x -20 + 20 = 0 + 20

4x = 20

Y después dividimos entre 4:

4x / 4 = 20 / 4

x = 5

Lo mismo se puede hacer con una expresión más compleja, aunque en ocasiones existen dos operaciones que se pueden hacer en dos órdenes distintos, por lo que deben elegirse los ejercicios que se trabajarán con reversibilidad con mucho cuidado:

2x / 3 – 8 = 0

La última operación es restar 8, por lo tanto sumamos 8 a ambos lados del igual:

2x / 3 – 8 + 8 = 0 + 8

2x / 3 = 8

Aquí puede hacerse primero la división o primero la multiplicación, por lo que el proceso en reversa también puede hacerse de dos formas distintas. Creo que los alumnos preferirán trabajar con el 3 primero. Como está dividiendo, multiplico a ambos lados del igual por 3:

( 2x / 3 ) *3 = 8 * 3

2x = 24

La última operación es la multiplicación por 2. Divido ambos lados del igual entre 2:

2x / 2 = 24 / 2

x = 12

Pueden ver más sobre ecuaciones lineales, cómo resolverlas y cómo plantearlas, aquí y aquí.

Una idea extra para explorar

Pensando en más ideas relacionadas con este tema para compartir aquí, recordé las monedas, que tienen dos caras: anverso y reverso. Es una forma distinta de ver la reversibilidad, que puede complementar todo lo ya dicho. Está relacionada, por ejemplo, con la ropa reversible, que tiene dos caras y uno usa la que es más adecuada para una situación particular.

En matemáticas los productos notables y las factorizaciones podrían verse como un proceso reversible y también como las dos caras de una misma moneda. Elegimos cuál tomar según convenga para lo que buscamos lograr, es decir, hacemos la transformación de derecha a izquierda o de izquierda a derecha según necesitemos resolver una ecuación, simplificar una fracción algebraica, reducir términos semejantes, etcétera.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

(a + b) (a – b) = a² – b²

…

En general, identificar las dos (o más) caras de cada situación, y elegir la que más nos convenga, es muy útil. Podemos ver la clase de matemáticas como algo que no queremos vivir, o podemos verla como algo que, si le damos una oportunidad, puede sorprendernos gratamente.

Ojalá que los profesores logremos cada vez más que los alumnos elijan la segunda opción.

Para cerrar

La reversibilidad en matemáticas no sólo es esencial para comprender a fondo los procedimientos; aprovecharla en los procesos de aprendizaje puede ser de gran beneficio para nuestros hijos y alumnos, al fomentar no sólo el sentido numérico, sino también el pensamiento lógico matemático (ver más aquí y aquí). El tiempo invertido en incluirla en las actividades de enseñanza-aprendizaje rendirá grandes frutos. Algunos los veremos claramente nosotros y algunos los verán los profesores de los cursos siguientes… y nos los agradecerán, junto con nuestros ex-alumnos. Si logramos hacer comunidad en la institución en la que trabajamos y todos planeamos nuestras clases pensando en el hoy y en el mañana de nuestros alumnos, el beneficio crecerá exponencialmente.

Todo lo bueno (y lo malo) que hacemos regresa, quizá no de la misma forma, pero regresa. Si estoy en quinto de primaria, lo que yo haga le beneficiará al profesor de sexto y subsecuentes, pero lo que hagan el profesor de cuarto, tercero y hacia atrás me beneficiará a mí. ¿Y el profesor de primero? Agradecerá a los maestros de preescolar… y ellos a los papás… Les recuerdo que pueden leer aquí, aquí y aquí algunas ideas para acercar a los niños muy pequeños a las matemáticas.

Todos podemos contribuir a que la relación de las personas con las matemáticas mejore y, con ello, su estancia en la escuela se prolongue y su elección de carrera sea más libre. Para eso, entre otras cosas, escribo este blog. Como siempre, gracias por leerlo y compartirlo.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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