Sorprendamos con lo contraintuitivo

Ésta es la entrada 148 de este blog. La dedicaré a una breve reflexión sobre lo útil que puede resultar el aprovechar los resultados contraintuitivos para sorprender a nuestros hijos y alumnos y dejarles ver lo conveniente que es aprender procesos matemáticos formales, en vez de sólo dejarse guiar por la intuición o por una interpretación limitada del problema.

Compartiré tres ejemplos:

Un problema de edades:

El padre de un niño de 6 años tiene 30 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será 9 veces la del niño?

Cuando les pedí a mis alumnos plantear y resolver este problema, muchos pensaron que con hacer una tabla de valores de las edades año con año, y su comparación, sería suficiente, pero no daban con el resultado por más años hacia adelante que buscaban… ni se daban cuenta de que el resultado estaba “para el otro lado”.

Si se plantea algebraicamente, haciendo x los años que han de transcurrir y se iguala la edad dentro de x años del papá a nueve veces la edad del niño, también dentro de x años:

30 + x = 9 ( 6 + x )

Al resolverlo se observa lo siguiente:

30 + x = 54 + 9 x

-24 = 8 x

¡¡ x = – 3 !!

En efecto, hace tres años el niño tenía 3 y el papá 27, nueve veces la edad del niño.

La respuesta no está hacia adelante, como sugiere la pregunta, sino hacia atrás, como confirma la resolución del planteamiento algebraico.

Con un poco de reflexión, podrían haberse dado cuenta de que la respuesta estaba hacia el otro lado, porque la proporción de las edades no hacía más que disminuir mientras más años transcurrían. Entonces la tabla les hubiera servido y en tres iteraciones hubieran dado con la respuesta.

Es un interesante ejercicio que ayuda a entender que las respuestas pueden no estar donde las buscamos, por más que el planteamiento inicial del problema sugiera que están ahí. Y que al álgebra no le importan los prejuicios del planteamiento del problema, si existe una solución y se hacen operaciones válidas que no generen soluciones extrañas (ver más sobre soluciones extrañas aquí), la encontrará.

Multiplicar o dividir por o entre una cantidad positiva menor a la unidad

Cuando los niños aprenden a multiplicar, lo hacen con números enteros, por lo que la cantidad resultante siempre es mayor que los dos números originales. Multiplicar se enseña como sumar repetidamente, lo cual lleva a pensar en una cantidad que siempre crece.

De la misma manera cuando aprenden a dividir: el cociente siempre es menor que el dividendo. Dividir se enseña como repartir o como restar repetidamente; ambos conceptos llevan a pensar en que siempre se llega a un número más pequeño.

Es por ello que cuando se enfrentan a una multiplicación o una división entre una cantidad positiva entre cero y uno, les resulta sorprendente encontrarse con resultados de una magnitud distinta a la esperada:

Al multiplicar 10 por 1/2, ¡ se obtiene 5 !

Al dividir 10 entre 1/2, ¡ se obtiene 20 !

En este caso, una vez superada la sorpresa por lo contraintuitivo del resultado, puede generalizarse y usarse para una primera revisión de los resultados: al multiplicar por un número entre cero y uno, se obtiene un resultado menor al número original y al dividir entre un número entre cero y uno, se obtiene un resultado mayor al número original.

Esto es, el efecto de la operación depende del tipo de números que se operen. Es algo que en los primeros años de primaria no se menciona, por lo que resulta particularmente importante que se introduzca de forma que el nuevo aprendizaje logre complementar al anterior, que hasta ese momento se consideraba una verdad única y sin matices.

El conejo bajo la cuerda

Una cuerda que rodee a una Tierra imaginaria (sin irregularidades) de forma ajustada (pegada al suelo) mediría unos 40 000 km. ¿Cuánto debe medir una cuerda que rodee a esa misma Tierra dejando 16 cm de distancia entre la cuerda y el suelo, para que pase por debajo, digamos, un conejo?

Yo había mencionado este problema en la entrada sobre los círculos (ver aquí), la respuesta: aproximadamente 1 metro (sí, sólo un metro), también es contraintuitiva. Y sorprende aún más darse cuenta de que no importa de qué planeta se trate, cualquier cuerda ajustada a una esfera debe crecer un metro para que pase un conejo por debajo a lo largo de todo el perímetro.

Se entiende la razón si se plantea geométricamente:

Perímetro de la Tierra (diámetro D): πD

Perímetro de la Tierra si se le agregan 16 cm a cada lado: π(D+32cm)

Incremento en el perímetro: π(D+32) – πD = 32π cm que es aproximadamente… 1 metro

Analizar este ejemplo permite entender cómo afecta un cambio en una dimensión con respecto al resto: si el radio de un círculo se aumenta en 1 cm, su perímetro se aumenta en 2.2832 cm, sin importar lo que medía originalmente el radio, en cambio el área sí se afecta de forma diferente según el tamaño original del radio.

En el mismo sentido de la variación de las dimensiones, podemos observar que si el radio se aumenta al doble, el perímetro también se aumenta al doble, pero el área se multiplica por cuatro. Y si se tratara de una esfera, el volumen se multiplicaría por ocho.

Cuando siempre ocurre lo que el alumno espera que ocurra, puede dejar de observar con cuidado tanto su proceso como el resultado. Si se les ponen ejercicios como los que aquí comparto, se rompe esa inercia y se consigue más trabajo mental y, con él, más aprendizaje.

¿Qué otros ejemplos con resultados contraintuitivos conocen?

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

Un comentario en “Sorprendamos con lo contraintuitivo

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