Al diseñar figuras geométricas, para que los alumnos practiquen el calcular áreas y perímetros, nos encontramos con una dificultad: las combinaciones numéricas (altura, base y lados) deben elegirse con cuidado para que la figura pueda construirse con ellas realmente. No todas las combinaciones funcionan.

Para facilitar el encontrar aquellas combinaciones de medidas enteras de lados y alturas de triángulos, que sí funcionan, podemos basarnos en las ternas pitagóricas, que son combinaciones de tres números enteros que cumplen con el Teorema de Pitágoras y que son fáciles de determinar si se conoce el procedimiento para generarlas.

Dedicaré esta entrada, por tanto, a las ternas pitagóricas y a otros detalles que es necesario cuidar en la introducción de los alumnos a las áreas y perímetros de figuras geométricas.

Conviene iniciar por entender de dónde salen las fórmulas.

Empezar dando el formulario ahorra tiempo… y afecta la comprensión

Si el profesor comienza dando un formulario a los alumnos, antes de explicarles lo que significa obtener el área y el perímetro y sin mostrarles su fundamento, quizá logre que pronto empiecen a calcularlos, pero las posibilidades de que se equivoquen por estar actuando sin entender son grandes. Además, limita el que saquen esas conclusiones interesantes que logramos cuando entendemos lo que estamos haciendo. ¿De dónde salen esas fórmulas? Veamos:

Perímetro

Perímetro viene de peri: alrededor y metro: medida. Por tanto, es la medida del contorno de una figura. Se obtiene sumando todos sus lados. Si hay varios lados que midan lo mismo, puede abreviarse la suma multiplicando la medida del lado por la cantidad de lados iguales que tiene la figura. Se mide en unidades de longitud, lineales (sin exponentes): cm, m, km, pulgadas, etc.

Para determinar la longitud de la cerca que rodea un terreno, calculamos su perímetro. Conociendo su área podremos determinar, por ejemplo, cuántos metros cuadrados de pasto necesitamos comprar para cubrirlo.

Área

El área de una figura es la medida de la superficie comprendida dentro del perímetro de esa figura. Se mide en unidades de superficie, cuadradas (exponente 2): cm², m², km², pulgadas².

El área de un cuadrado, cuyo lado mide 1 cm, es 1 cm². La cantidad de cuadrados de 1 cm² que caben dentro de una figura es su área en cm². Ocurre lo mismo con cualquier otra unidad de medida.

Como podrán contar en la imagen, en un rectángulo de 5 cm de base y 2 cm de altura caben 5 x 2 = 10 cuadrados de 1 cm². Es por ello que el área de un rectángulo se calcula como la multiplicación de la medida de la base por la medida de la altura: A = b•h

Un cuadrado es un rectángulo especial en el que la base y la altura miden lo mismo, por lo que el área de un cuadrado se calcula como lado por lado, o lado al cuadrado: A = l².

La forma más sencilla de entender el origen de la fórmula del área de un triángulo es observando cómo un triángulo puede obtenerse partiendo un rectángulo a la mitad de forma diagonal. Por ello, el área de un triángulo se obtiene dividiendo la fórmula del área del rectángulo entre dos: base por altura, sobre dos. A=b•h/2. 

Cuando se hace un sándwich con pan de caja, su área es la de un cuadrado. Si se corta de forma diagonal se obtienen dos triángulos cuyas áreas son la mitad de la del sándwich original.

Lo mismo ocurre cuando los rectángulos de brownie los partimos en diagonal, el área de cada triángulo que obtenemos es la mitad del área del rectángulo original.  La bola de nieve es una esfera y el tubito de barquillo podría considerarse un cilindro, pero no hablaremos de esos cuerpos geométricos en esta entrada.

Nota: la fórmula del área del triángulo sigue funcionando aunque su forma varíe (deje de tener un ángulo recto), sólo es necesario considerar que la base realmente puede ser cualquiera de los lados, aunque suele elegirse el lado que está más abajo y/o es horizontal. La altura debe ser la medida de una línea que sea perpendicular a la base y que llegue hasta el vértice opuesto. Pueden ver ejemplos en la siguiente sección.

Fórmulas

Ahora sí, una vez que comprendemos de dónde viene cada fórmula, podemos armar un formulario:

Es muy importante que el alumno sepa qué significa cada una de las letras de la fórmula mediante un dibujo que lo indique claramente.

También es muy importante que se cuide que cada letra dentro de cada fórmula sólo pueda tener un valor. ¿Por qué? Porque en álgebra, dentro de una misma expresión, las letras iguales representan valores iguales, así que es importante que lo vean así desde el primer momento en que empiezan a enfrentarse con letras que representan valores. Debemos, por tanto, evitar escribir que el perímetro de un triángulo con lados desiguales es l + l + l.

Pregunta: ¿Qué pasa con el área y el perímetro de una figura como las que vimos si sus medidas se duplican? Pueden verificar su respuesta en la sección “para cerrar”.

Figuras que sí se pueden construir

Cada ejercicio que un profesor diseñe debe cuidar ciertos detalles. Por ejemplo, cuando un alumno no ha estudiado los números negativos, deben evitarse restas que den negativos.

De la misma forma, diseñar ejercicios de geometría en los que se pidan áreas y perímetros de distintas figuras implica retos, si queremos que las figuras puedan realmente construirse con esas medidas.

¿Por qué es importante? Porque si un alumno ve un triángulo más alto que ancho en el que las medidas indican que la altura es menor a la base, o un triángulo cuya figura tiene todos sus lados iguales pero las medidas indicadas son distintas, podrá llegar a pensar que no debe preocuparse porque los dibujos y las medidas estén proporcionados y se limitará a usar las medidas que le dan y las fórmulas.

Puede que sus resultados sean correctos, pero habrá desconectado en su mente el buscar que lo que haga tenga sentido. Y eso sería muy, pero muy triste, porque afecta el desarrollo del pensamiento lógico, que es tan importante (ver más sobre pensamiento lógico aquí). Si observamos con atención esta imagen, que es un triángulo de Penrose, nuestra mente se da cuenta de que no sería posible construirlo. Así también debería de darse cuenta cuando los datos que se le presentan en un ejercicio quedan de forma evidente fuera de toda lógica, como lo que mencioné en el párrafo anterior.

Los cuadrados y rectángulos pueden tener cualquier medida en sus lados y podrán construirse proporcionadamente. El dibujo de un rectángulo de 6 unidades (cm, m, pulgadas) de base por 3 unidades de altura debe medir el doble en su base que en su altura. Se entiende que es una representación a escala (no puede medir 6 metros), pero debe respetar las proporciones entre las medidas, como lo mencioné. Es simple diseñar cuadrados y rectángulos con medidas enteras.

La situación se complica cuando buscamos dibujar triángulos en los que queremos que todos los lados y la altura sean enteros… al mismo tiempo. Aquí entran al rescate las útiles:

Ternas pitagóricas

Las ternas pitagóricas son grupos de 3 números enteros que cumplen el conocido

Teorema de Pitágoras:

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras

La más conocida es ésta: 3, 4, 5 ->  3² + 4² = 5²

Los dos números más pequeños siempre corresponden a los catetos (los lados que forman un ángulo recto) y el más grande a la hipotenusa.

Las ternas en las que todos los números son primos entre sí, esto es, no comparten divisores (ver explicación aquí) se llaman ternas primitivas. El resto son no primitivas y son múltiplos de las primitivas.

Por ejemplo, una no primitiva que es múltiplo de la anterior es: 6, 8, 10 . No es primitiva porque los números comparten el divisor dos.

Las ternas pitagóricas (a, b, c) se determinan mediante fórmulas. Aquí presento la más conocida:

Si m > n son enteros positivos, entonces:

a = m² − n²           b = 2mn          c = m² + n²    

es una terna pitagórica.

Es primitiva si y sólo si m y n son primos entre sí y uno es par y el otro impar. Si m y n tuvieran factores comunes, a, b y c también los tendrían. Si m y n fueran ambos impares, a, b, c serían pares. En ambos casos, a, b y c ya no serían primos entre sí.

Por la naturaleza de la relación entre los números (a² + b² = c²), las ternas pitagóricas sólo pueden estar formadas de tres números pares o de dos impares y uno par. Recordemos que par al cuadrado es par e impar al cuadrado es impar; impar más impar es par, par más impar es impar y par más par es par. Identificar esto apoya el desarrollo del sentido numérico (ver sobre su importancia aquí)

Estas son las cinco ternas pitagóricas más pequeñas generadas con esas fórmulas:

(3, 4, 5)    (5, 12, 13)     (7, 24, 25)     (8, 15, 17)     (9, 40, 41)

Lo que sigue es un breve paréntesis algebraico que permite entender por qué esas fórmulas sirven para obtener las ternas:

Teorema de Pitágoras:   a² + b² = c²

Sustituyendo las fórmulas

(m² − n²)²  +  (2mn)²  = (m² + n²)

Realizando los cuadrados y reduciendo:

Como queda la misma expresión a ambos lados de igual, se comprueba que funcionará para cualquier combinación de m>n enteros positivos.

Aquí cierra el paréntesis algebraico, veamos ahora cómo usar las ternas pitagóricas.

Ternas pitagóricas en la construcción de triángulos

Para triángulos rectángulos (un ángulo recto), simplemente se usan los datos de la terna cuidando que el número más grande vaya en la hipotenusa siempre. Éste es un ejemplo con la primera terna: 3, 4, 5.

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Para triángulos isósceles (dos lados iguales), se toma uno de los catetos como altura y el doble del otro como base, así los lados iguales también serán un número entero. Veamos el ejemplo.

Para triángulos escalenos agudos (todos sus lados diferentes, todos sus ángulos agudos), se buscan dos ternas pitagóricas, o múltiplos de ellas, que compartan un número (que no sea el mayor en ninguna) y ese número se toma como altura. La base es la suma de los otros dos números que no sean el mayor y los números mayores de cada terna serán las medidas de los otros dos lados.

Por ejemplo, se puede usar la terna de (7, 24, 25) y el doble de la de (5, 12, 13), es decir (10, 24, 26). La altura sería el número común, 24, la base mediría 17 (7 + 10) y los lados 25 y 26 respectivamente.

Otra opción sería usar el quíntuple de la terna (3, 4, 5), es decir (15, 20, 25) y la de (8, 15, 17). La altura sería 15, la base mediría 28 (20 + 8) y los lados 25 y 17.

Para construir los dos triángulos escalenos que propuse con lápiz y una regla, se traza primero la altura (vertical) luego las dos partes de la base, una hacia cada lado y luego se unen los extremos de la base con el final de la altura. Es emocionante ver que da un número entero, si se hace con cuidado.

Para triángulos escalenos obtusángulos (un ángulo mayor a 90 grados) con datos enteros, se empieza igual, buscando dos ternas pitagóricas, o múltiplos de ellas, que compartan un número (que no sea el mayor en ninguna) y ese número se toma como altura. Solo que ahora la base será la resta de los otros dos. Veamos cómo se haría con los mismos ejemplos anteriores:

Se usa el doble se la terna (5, 12, 13), es decir (10, 24, 26) y la de (7, 24, 25). La altura sería 24, la base mediría 3 (10 – 7) y los lados 26 y 25.

Con el quíntuple de la terna (3, 4, 5), es decir (15, 20, 25) y la de (8, 15, 17). La altura sería 15, la base mediría 12 (20 – 8) y los lados 25 y 17. Así se vería:

Como se ve en la imagen, para construir estos triángulos con lápiz y regla, se dibuja el triángulo rectángulo más grande, luego el más pequeño dentro de él, alineando el cateto que comparte medidas y luego se “puntean” ese cateto y la sección de la base del grande que no va a pertenecer al nuevo triángulo, para que queden como referencia para la altura.

Otra ventaja de usar ternas pitagóricas es que siempre la base o la altura son pares, por lo que las áreas de los triángulos siempre serán enteras. Con los ejercicios diseñados de esta manera, los alumnos se pueden concentrar en los conocimientos geométricos sin preocuparse por fracciones y decimales. En cuanto se considere que han dominado dichos conocimientos, deben empezar a integrarse medidas no enteras para ampliar el aprendizaje.

No crean que olvidé al triángulo equilátero (tres lados iguales), lo que ocurre es que, por la medida de sus ángulos, no es posible, hasta donde yo sé, que la altura y la base sean enteras al mismo tiempo. Jugando un poco con las opciones mediante una hoja de cálculo y un poco de trigonometría, encontré éstas: si un triángulo equilátero mide 7 unidades de lado, su altura medirá muy poco más de 6. De la misma forma, si la base es 8, la altura será casi 7 y si la base es 15 la altura será prácticamente 13. Pueden hacer la prueba.

Una breve explicación trigonométrica de cómo se obtienen esos valores la daré en la siguiente entrada, que dedicaré al diseño de otras figuras que se puedan construir con medidas en números enteros, principalmente polígonos regulares.

Para cerrar

Diseñar actividades para los alumnos es todo un reto. Si queremos que el pensamiento lógico de los alumnos se desarrolle a la par que les enseñamos el temario de la materia, necesitamos que entiendan los porqué y que trabajen con ejercicios que no atenten contra la lógica.

A veces es complejo diseñarlos, por eso destiné esta entrada a proporcionar ideas que facilitarán ese proceso para los triángulos. Recuerden: una vez que diseñaron una figura que sí se puede construir, pueden, para dar variedad, multiplicar todos los valores por un mismo número y obtendrán otra que también se puede construir. Pueden cambiar las unidades o voltear la imagen de derecha a izquierda… usen su imaginación para darle más oportunidades de aprendizaje a sus alumnos.

Es momento de contestar la pregunta: ¿qué pasa con el área y el perímetro de una figura como las que vimos si sus medidas se duplican? El perímetro también se duplica, pero el área se multiplica dos veces por dos, es decir, por 4, dado que el efecto se multiplica a sí mismo. Si las medidas se triplican, el perímetro se triplica y el área se multiplica por 9. Y así sucesivamente. Pueden comprobarlo fácilmente haciendo los cálculos.

Como siempre, gracias por leer y compartir. Si quedó alguna duda, escríbanme, por favor. Contestaré.

Rebeca

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