Reconocer las características de algo nos permite compararlo, en cuanto a esas características, con algo más. Comparar en matemáticas es indispensable. Comparamos formas, tamaños, posiciones, estructuras, etcétera,  principalmente para tomar decisiones sobre qué hacer con aquello que comparamos. Si yo fuera ese puntito azul que es la Tierra, llevaría la fiesta en paz con Júpiter, después de comparar mi tamaño con él, por ejemplo.

Dos cosas pueden ser iguales o desiguales entre sí, una puede ser mayor que otra o al revés. Hoy veremos los cuidados que es necesario tener al entender las desigualdades (comparaciones) en aritmética y al resolver desigualdades algebraicas, lineales en una variable (simples y dobles) y graficar esas soluciones, para evitar tener un resbalón con ellas.

Como verán, empezaremos con temas de preescolar y llegaremos hasta secundaria-preparatoria. Así son las matemáticas, todo el conocimiento está ligado, por ello es tan importante tener buenas bases para avanzar a paso firme y enseñar sabiendo hacia dónde vamos.

Agradezco a Casandra por hacerme la pregunta que me inspiró para escribir esta entrada.

Origen del signo igual

El signo igual, del cual ya escribí acerca de sus significados en la entrada sobre sentido de estructura (ver aquí), lo inventó el matemático galés Robert Recorde en 1557, para sustituir a las palabras “es igual a”, señalando que no había dos cosas más iguales que dos líneas paralelas.

Un siglo después se modificó dicho signo uniendo los extremos izquierdos o derechos de las líneas para que significaran “es menor que” o “es mayor que”.

Menor que… mayor qué… ¿cuál es cuál?

Como en español leemos de izquierda a derecha, el símbolo < corresponde a decir “es menor qué”, dado que lo que está escrito a su izquierda es menor que lo que está escrito a su derecha. Por tanto 3 < 5 se lee “tres es menor que cinco”.

De la misma forma, > corresponde a decir “es mayor que”. Por tanto, 5 > 3 se lee “cinco es mayor que tres”

Para los alumnos que son más visuales, podemos usar unas imágenes como éstas, cambiando los números por columnas de puntos. Donde hay más puntos debe estar abierto el símbolo:

3 = 3

1 < 3

5 > 3

Cuando la línea inferior se repite, ya sea horizontal o paralela a la línea de abajo (según la tipografía del libro o programa de cómputo), el significado cambia:

≤ significa “es menor o igual que”

≥ significa “es mayor o igual que”

Esto tiene implicaciones que revisaremos más adelante.

Aritmética

Las desigualdades en aritmética se usan para comparar números. Veamos lo que implica comparar cada tipo de número:

Comparar números naturales

Los número naturales son los más fáciles de comparar (ver más sobre los conjuntos de números aquí). Ayuda mucho que nuestro sistema numérico sea posicional (ver más aquí).

Cualquier número natural que tenga más dígitos que otro será más grande que él, no importa qué dígitos lo compongan:

111 > 99 (el primer número tiene más dígitos y ambos son naturales, por lo tanto es mayor)

Si los dos números naturales tienen la misma cantidad de dígitos, se empieza a revisar de izquierda a derecha y, en cuanto se encuentre que cierto dígito de un número es mayor (o menor) al correspondiente de otro número, ya se sabe cuál es mayor (o menor).

45876 < 45932 (el primer dígito diferente es el tercero, es mayor en el segundo número)

Comparar números enteros

Los números enteros también son fáciles de comparar. Si se ubican en la recta numérica (ver más aquí), el que está más a la izquierda siempre será menor que el que está más a la derecha.

Los enteros negativos siempre serán menores a los positivos:

-5 < 5  

Dentro de los enteros positivos, se usa el mismo criterio que con los naturales, a mayor número de dígitos, mayor es el número:

222 > 88

Dentro de los negativos, se usa el criterio inverso, dado que los números negativos “crecen” hacia la izquierda:

– 222 < – 88  En la recta numérica, el -222 está más a la izquierda que el -88, por lo que es menor

Comparar números decimales positivos menores a 1

En este caso no es válido el criterio de que, a mayor número de dígitos el número es mayor. Deben compararse las posiciones decimales una a una, de izquierda a derecha, para determinar cuál es el número mayor:

0.0999 < 0.1 Aunque el primer número tiene más dígitos y éstos son más grandes, la primera posición decimal del segundo número es mayor a la del primero, lo cual lo hace mayor.

Comparar números racionales (fraccionarios) positivos

Para comparar números fraccionarios a primera vista, se requiere que los denominadores o los numeradores sean iguales.

*Si los numeradores son iguales, el número más grande será el que tenga un menor denominador:

3/4 > 3/5 dado que los cuartos son números más grandes que los quintos y tenemos la misma cantidad en ambos casos

*Si los denominadores son iguales, el número más grande será el que tenga un mayor numerador:

2/5 < 3/5 dado que en el primer caso sólo se tomaron 2 y en el segundo se tomaron 3 quintos.

*Para comparar números fraccionarios que no tengan numeradores o denominadores iguales, requerimos convertirlos en fracciones homogéneas, esto es, con el mismo denominador.

La comparación 2/5 vs 3/7 se escribe en fracciones homogéneas como 14/35 vs 15/35.

Por lo tanto: 2/5 < 3/7

Cuando los números fraccionarios a comparar tienen signo, se combinan los criterios que hemos visto:

-1/2 < 1/2

3/2 > 1/2

-3/2 < -3/4

Todo lo relativo a comparación de fracciones y fracciones homogéneas lo pueden ver con más detalle aquí.

Álgebra

Antes de ver cómo se resuelven las desigualdades lineales con una incógnita, primero necesitamos revisar unos conceptos:

Valores positivos y negativos

Por diversas razones y dentro de distintos contextos, frecuentemente se expresa que una variable tiene determinado signo de la siguiente forma:

x es positivo: x > 0.

x es negativo:  x < 0.

Recordemos que el cero no tiene signo. Pueden ver otras características del cero aquí.

Los infinitos

Para expresar los resultados de las desigualdades algebraicas se requiere frecuentemente emplear el símbolo del infinito, ∞ ,  introducido por John Wallis en 1656. El infinito en matemáticas no es un número, es un concepto que hace referencia a una cantidad que no tiene final.

Este símbolo se requiere para expresar las soluciones de las desigualdades en forma de intervalo, como lo veremos un poco más adelante.

¿Y esa línea extra?

< 9 realmente significa “es estrictamente menor que 9”
> 9 realmente significa “es estrictamente mayor que 9”

Si queremos que el resultado incluya al 9, necesitamos expresarlo con un símbolo que incluya al igual:

≤ 9 significa “es menor o igual que 9”
≥ 9 significa “es mayor o igual que 9”

Esto tiene implicaciones en las otras formas de expresar las respuestas de una desigualdad, como veremos más adelante.

Igualdades (ecuaciones) vs desigualdades (inecuaciones) ¿cuál es la diferencia al resolverlas?

Nos limitaremos a las operaciones básicas, que son las que se requieren cuando la desigualdad es lineal.

Al resolver una desigualdad lineal, el objetivo es dejar la variable con coeficiente 1 a un lado del signo de la desigualdad y un valor numérico del otro lado del signo.

De forma similar a lo que se hace con una ecuación (ver más aquí y aquí), se pueden sumar y restar las mismas variables o constantes a ambos lados de la desigualdad logrando una desigualdad equivalente (es decir, que tiene las mismas soluciones que la original).

x – 4  > 1  →   x > 1 + 4   →   x > 5

También se pueden multiplicar o dividir ambos lados de la igualdad por/entre números positivos produciendo una desigualdad equivalente:

x/3 ≤ 1   →  x ≤ 1(3)    →   x ≤ 3

Lo que requiere cuidado es el multiplicar o dividir por un número negativo. Al hacerlo, debemos invertir el signo de la desigualdad, de esta forma:

-2x < 8  →  x > 8/(-2)  →  x > – 4

Este cambio tiene una razón muy sencilla de entender. Si, en vez de dividir entre -2 como primer paso, sumamos -2x y restamos 8 a ambos lados de la igualdad, obtenemos esta expresión:

-2x < 8 →  – 8 < 2x

Al dividir entre 2 (sin cambiar el signo, porque dividimos entre positivo) obtenemos:

-8/2 < x → – 4 < x

Como podrán observar, ambas respuestas se pueden leer como x es mayor que menos cuatro, es decir, son equivalentes. Si no hacemos el cambio en el signo al dividir/multiplicar entre negativo, las respuestas dejan de ser equivalentes, lo cual no es válido en un proceso de solución de desigualdades.

Expresión de las soluciones de las desigualdades lineales

Otra diferencia importante es que una ecuación lineal que se pueda resolver tiene como solución un valor único, mientras que una desigualdad que se pueda resolver tiene como solución un conjunto de valores.

Las soluciones de una desigualdad se pueden expresar de 3 formas distintas. Veamos las correspondientes a dos de los ejemplos anteriores.

Como desigualdad

x > 5                                                     x ≤ 3

Como intervalo

(5, ∞ )                                               (- ∞ , 3]

Observen que, cuando la expresión señala que x es estrictamente mayor que 5, el intervalo empieza con el 5 y termina con el infinito, pues incluye a todos los números mayores que 5. El intervalo empieza con un paréntesis porque no incluye al 5.

Por otro lado, cuando la expresión señala que x es menor o igual a 3, el intervalo empieza con el infinito y termina con el 3, pues incluye a todos los números menores o iguales que 3, lo cual implica que cierre con un corchete, por incluir al 3.

Los extremos del intervalo que lleven infinito siempre tienen paréntesis, nunca corchete, dado que el infinito no es un número.

Forma gráfica

x > 5        (5, ∞ )   

x ≤ 3          (- ∞ , 3]

Podemos observar que, cuando la desigualdad es “estricta”, además de implicar que va un paréntesis () al lado del número en la notación de intervalo, se señala con un punto vacío en la forma gráfica. En cambio, cuando se trata de un “menor o igual qué”, por ejemplo, va un corchete [] al lado del número en la notación de intervalo y se señala con un punto lleno en la forma gráfica. El infinito siempre lleva paréntesis () e implica que se marque hasta el final de la recta.

Nota: debemos cuidar la representación gráfica, cuando la hacemos a mano, para que sea lógica y no confunda a los alumnos. Esto es, que las distancias entre un valor y los demás sean congruentes.

Desigualdades con más elementos

Veamos un ejemplo de solución de una desigualdad que tenga más elementos. Se resuelve prácticamente igual que una ecuación, sólo cuidando la orientación de la desigualdad en caso de división o multiplicación por un número negativo:

Como intervalo se expresa

(∞ , 5)

Y de forma gráfica:

¿Cómo se comprueban los resultados?

Algo que insisto a mis alumnos que hagan es comprobar sus respuestas, cuando esto es posible, lo cual les da la gran ventaja de saber que ese ejercicio lo tienen bien contestado y les crea el buen hábito de comprobar su trabajo.

En las inecuaciones lineales debemos sustituir el valor extremo del intervalo, para ver que «cumpla la igualdad» (aunque no esté incluida en la inecuación, esto es necesario para ver que el extremo estuvo bien determinado). Después, algún otro valor del intervalo, para estar seguros de que lo tomamos el sentido correcto. Comprobemos el resultado anterior:

Al sustituir el 5, se cumple la igualdad, por lo que el extremo del intervalo estuvo bien elegido. Al sustituir 4, que es menor a 5, o sea que forma parte del intervalo solución, se cumple la desigualdad. Por lo tanto, la solución es correcta.

Desigualdades dobles

Existen desigualdades dobles lineales de al menos dos tipos: aquellas que al resolverlas queda la incógnita al centro y aquellas que necesitan separarse en dos desigualdades simples y luego encontrar la intersección de las soluciones a ambas para que sea la solución general.

Veamos un ejemplo con la incógnita al centro. Pueden observar cómo se comienza por restar 8 en los tres miembros de la desigualdad doble y, posteriormente, se dividen entre 3 también los tres miembros de la desigualdad. Como comenté en la entrada sobre soluciones de ecuaciones, al enfrentarse a las desigualdades dobles es cuando el «pasar restando» pierde sentido, pues ¿cómo se decide a dónde se pasa, si hay más de una opción?

Como intervalo, la respuesta se expresa:

[-1,4)

Y de forma gráfica:

Para comprobar, sustituimos los 2 extremos de los intervalos para estar seguros de que están bien calculados, y luego un valor intermedio. Todas las igualdades y desigualdades deben cumplirse para que esté bien.

Por ser un poco más complejas, las desigualdades dobles que requiere ser calculada en dos partes, así como las desigualdades cuadráticas y racionales, por cuestión de espacio, las veremos en alguna entrada posterior.

Para cerrar

Las matemáticas nos permiten comparar dos números conocidos o encontrar un conjunto de números que cumplan una condición dada por una comparación, lo cual ayuda a tomar muchas decisiones importantes, como planear la producción de una fábrica o decidir cambiarnos a una pecera más grande, por ejemplo.

Resolver desigualdades (inecuaciones) requiere un poco más de atención que resolver igualdades (ecuaciones). Conociendo los cuidados necesarios, solucionarlas será menos arriesgado que entrar en las fauces de un cocodrilo. Por cierto, algunos profesores se refieren a los símbolos mayor/menor que como picos de pollos, bocas de monstruos o fauces de cocodrilos. Por eso, y porque es una aventura interesante resolver desigualdades, elegí esa imagen para esta entrada.

Breve paréntesis cultural matemático

Voy a aprovechar que hablamos de desigualdades para poner un pequeño dato cultural aquí. Mencioné antes que, en la matemática escolar, infinito es un concepto que se refiere a un valor mayor que cualquier cantidad asignable. Sin embargo, el infinito es un concepto que se puede aplicar a distintos tipos de números, esto es, cada tipo de números tiene su propio infinito que suele identificarse con la primera letra del alfabeto hebreo: ℵ (aleph o álef), y no todos son igual de grandes. Por lo tanto, los infinitos también se pueden comparar.

El infinito de los números naturales, llamado aleph sub cero, es menor que el infinito de los reales, llamado aleph sub uno, según lo demostró Georg Cantor. Eso significa que, si pudiéramos contarlos, habría más números reales que números naturales, lo cual es fácil de entender si recordamos que, entre 0 y 1 hay una cantidad infinita de números reales: 0.1, 0.01, 0.001, etc. Esa comparación se ve así:

Fin del paréntesis cultural.

Muchas gracias a todos los lectores por leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les puede resultar útil lo que publico. Pueden escribirme para sugerirme abordar algún tema o profundizar en algo sobre lo que ya haya escrito. También para compartir con los demás lectores sus ideas sobre las desigualdades, tanto en aritmética como en álgebra. Y pueden suscribirse para recibir un correo cada miércoles que subo una nueva entrada.

Hasta la próxima semana.

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay.com   webresizer.com  www.wikipedia.org

Hice algunas imágenes en Word y Geogebra