Cuando un tema es muy extenso, lo separo en dos o más entradas, que regularmente publico de forma consecutiva. Sin embargo, la situación con el tema de las desigualdades resultó… desigual. Esto se debe a que la primera parte fue la entrada 35 (ver aquí) y la segunda será la entrada 37, dado que se atravesó entre ellas (así como el simpático pato blanco de la imagen) la entrada 36 que, por ser múltiplo de 9, fue especial. Me encanta el número 9 (ver por qué aquí) y cada 9 entradas escribo algo especial. La 36 la dediqué al liderazgo en el salón de clases de matemáticas (ver aquí).

Retomando las desigualdades, en la primera parte vimos tanto las aritméticas, entendiendo cómo hacer ciertas comparaciones entre los números, como las algebraicas básicas. Veremos hoy, principalmente, las desigualdades cuadráticas. Por eso incluí, como imagen principal, dos cuadrados de tamaño desigual que me encantaron cuando los vi.

Veamos primero una idea que no incluí en la entrada pasada

Desigualdades absolutas y desigualdades condicionales

Entre las ecuaciones existen las ecuaciones idénticas, o identidades, que se cumplen para cualquier valor de la variable, como en 2x + 4 = 2 (x+2), y las ecuaciones condicionales, que son las que conocemos comúnmente como ecuaciones, que sólo se cumplen para un único valor de la variable, como en 2x + 4 = 10, que sólo se cumple para x=3.

En las desigualdades también existen las desigualdades absolutas, que pueden ser las aritméticas, como 5 < 7, o ciertas algebraicas, como x² + 1 > 0, que se cumplen para cualquier valor de la variable. En este ejemplo, cualquier número al cuadrado se vuelve positivo y, al sumarle 1, continúa siendo positivo, por lo que esa desigualdad se cumple para cualquier valor de x.

Por otro lado están las desigualdades condicionales, o inecuaciones, que sólo se cumplen para cierto(s) intervalo(s) de valores de la variable, como en 2x + 4 > 10, que sólo se cumple para x > 3.

Si el signo cambia, las soluciones se complementan

Esto es, si la solución de x+4 > 6 es x > 2, entonces la solución de x+4 ≤ 6 es x ≤  2. Para que sea un verdadero complemento, una de las dos desigualdades debe incluir el igual.

Cuando una desigualdad es absoluta (su solución son todos los valores de x), la desigualdad con el signo contrario no tendrá solución,  como veremos más adelante.

Desigualdades cuadráticas

En las ecuaciones cuadráticas, el primer paso de solución es igualar la ecuación a cero. De forma similar, las inecuaciones cuadráticas se comienzan a resolver haciendo las operaciones necesarias para que todos los elementos de la ecuación queden de un lado de la misma y haya un cero del otro lado.

¿Por qué el cero?

Al hacer esto, reducimos el análisis necesario para llegar a la respuesta a un simple análisis de signos, sin importar los valores, como veremos en la explicación del proceso.

Solución de las desigualdades cuadráticas

Como mencioné, se comienza por hacer las operaciones necesarias para que quede un cero de un lado de la desigualdad.

Posteriormente, se encuentran los valores que hacen cero la expresión, ya sea factorizándola o mediante la fórmula general cuadrática (dedicaré una entrada posterior a explicar los cuidados que implican estos procesos, asumiré en esta entrada que ya los conocen).

Los valores así obtenidos, llamados valores críticos, son los valores límite del intervalo solución. Sólo queda determinar cuáles son dichos intervalos mediante una prueba de signos. Veamos un ejemplo:

x² > 5x – 4

Se reacomoda la expresión sumando y restando lo que sea necesario. En este caso se resta -5x y se suma 4 a ambos lados de la desigualdad:

x² – 5x + 4 > 0

Se factoriza:

( x – 4 ) ( x – 1 ) > 0

Se determinan los extremos de los intervalos (valores críticos), igualando cada factor a cero:

x – 4 = 0  → x = 4

x – 1 = 0  → x = 1

Se hacen las pruebas de signos, que consisten en sustituir, en la expresión factorizada, un valor de prueba, que es un valor que pertenece a cada intervalo, pero no es su extremo y determinar el signo de cada factor (que puede ser positivo o negativo) y el signo de la expresión completa. Esta tabla se puede hacer de muchas formas distintas, según el autor que se consulte.

Los intervalos que surgen al tomar en cuenta los valores críticos son:

(-∞, 1) , (1,4) , ( 4, ∞ )

Los valores intermedios que tomaremos en cada intervalo para calcular los signos serán x=0, x=2 y x=5.

Al sustituir x=0, el primer paréntesis resulta negativo (0 – 4 = -4 ) y el segundo también (0 – 1= -1), por lo que la expresión tiene signo positivo. Se hace los mismo con los otros valores de prueba. La tabla queda así:

La solución será aquel(los) intervalo(s) que cumpla(n) con el signo que buscamos (por eso dijimos que al dejar el 0 sólo reducíamos el análisis a una revisión de signos). Se trata del primer y el tercer intervalos (marcados en azul).

Debemos, además, revisar si los extremos pertenecen o no al intervalo. Como se trata de una desigualdad estricta, no pertenecen y, por tanto, no se usan corchetes, sino paréntesis. La solución, expresada en intervalos, queda así

(-∞, 1) ∪ ( 4, ∞ )

NOTA: siempre que sea posible, conviene tomar el cero como valor para probar, dado que es el elemento neutro de la suma y el absorbente de la multiplicación, lo cual facilita los cálculos (ver más sobre el cero aquí)

Ocurrirá siempre lo mismo en todas las desigualdades del tipo x² – c² > 0

Sí, x debe ser mayor que c o menor que –c para que la desigualdad se cumpla, es decir, la respuesta siempre serán los intervalos externos. Veamos el proceso completo con un ejemplo:

x² – 4 > 0

(x+2) (x-2) > 0                      se factoriza

x + 2 = 0  → x = -2                se obtienen los valores críticos

x – 2 = 0  → x = 2

(-∞, -2) , (-2,2) , ( 2, ∞ )      se determinan los intervalos

x=-3, x=0, x=3                      se eligen los valores a probar

(-∞, -2) ∪ ( 2, ∞ )                 se determinan los intervalos que son la solución, por tener el signo que buscamos

Ocurrirá siempre lo mismo en todas las desigualdades del tipo x² – c² < 0

Sí, x debe ser menor que c o mayor que –c para que la desigualdad se cumpla, es decir, la respuesta siempre será el intervalo interno. El proceso es prácticamente el mismo que el anterior, sólo que se parte de la desigualdad contraria y, por tanto, el intervalo solución es el que no era solución del anterior:

x² – 4 ≤ 0

(x+2) (x-2) ≤ 0                      se factoriza

x + 2 = 0  → x = -2                se obtienen los valores críticos

x – 2 = 0  → x = 2

(-∞, -2) , (-2,2) , ( 2, ∞ )      se determinan los intervalos

x=-3, x=0, x=3                      se eligen los valores a probar

[ -2, 2 ]                                   se determinan el intervalo que es la solución, por tener el signo que buscamos. Se usan corchetes por el signo que tenemos, menor o igual que.

¿Todas las desigualdades cuadráticas tienen solución?

No. Como mencioné al principio de esta entrada, existen desigualdades algebraicas absolutas, que se cumplen siempre y, por consecuencia, existen desigualdades que no tienen solución, dado que serían su complemento:

x²+1 > 0 se cumple para cualquier valor de x, su intervalo solución es (-∞, ∞)

x²+1 ≤ 0 no se cumple para ningún valor de x, por lo que no tiene solución (o el intervalo solución está vacío, como complemento del otro que incluye a todos los valores de x).

¿Qué pasa si la expresión se factoriza como un binomio al cuadrado?

En ese caso, en el valor que hace cero el binomio, la expresión vale cero y el resto de la expresión tiene el mismo signo, por lo que pueden ocurrir cuatro situaciones distintas: si es una desigualdad estricta, la ecuación puede tener un par de intervalos solución o no tener solución y, si no es estricta, entonces la solución puede ser sólo un sólo valor o (-∞, ∞). Veamos ejemplos de cada una con el mismo trinomio y distintos sentidos de la desigualdad:

Menor que:

x² – 4x + 4 < 0

(x-2)² < 0                       se factoriza

x – 2 = 0  → x = 2          se obtienen los valores críticos

(-∞, 2) , ( 2, ∞ )            se determinan los intervalos

x=0,  x=3                      se eligen los valores a probar

No tiene solución, dado que siempre se obtendrá un valor no negativo del lado izquierdo

Menor o igual qué:

x² – 4x + 4 ≤ 0

El proceso es el mismo, sin embargo esta vez sí hay una solución que es el único valor para el cual la expresión es igual a cero:  x=2

Mayor que:

x² – 4x + 4 > 0

Mismo proceso, solución (-∞, 2) ∪ ( 2, ∞ ) . No se incluye el 2 por ser una desigualdad estricta.

Mayor o igual que:

x² – 4x + 4 ≥ 0

Mismo proceso, solución (-∞, ∞ ) . Se incluye el 2 por NO ser una desigualdad estricta.

Debemos tener mucho cuidado al interpretar el sentido de la desigualdad y si ésta es estricta o no, para definir los intervalos solución.

¿Qué pasa si la expresión no tiene factorización en los reales?

En ese caso, o la solución es todos los reales o no existe. Es el caso de los ejemplos que vimos antes:

x²+1 > 0 se cumple para cualquier valor de x, su intervalo solución es (-∞, ∞)

x²+1 ≤ 0 no se cumple para ningún valor de x, por lo que no tiene solución (o el intervalo solución está vacío, como complemento del otro que incluye a todos los valores de x).

Quedan pendientes otros tipos de desigualdades que analizaremos en una entrada posterior.

Para cerrar

Durante la escritura de esta entrada me di cuenta de la necesidad de abordar distintos temas relacionados con las ecuaciones y funciones cuadráticas, lo haré a la brevedad, aunque no necesariamente de forma consecutiva. Es lo positivo de que éste no sea un curso formal y cronológico, sino un conjunto de temas, sin un orden consecutivo, de los  que considero relevante que analicemos los cuidados al aprender y enseñar. Usando el buscador interno del blog pueden encontrar los distintos temas sobre los que he escrito en estas 37 entradas. Sería como buscar dentro de una caja de chocolates diferentes aquel que nos queremos comer.

Muchas gracias a todos los lectores por leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les puede resultar útil lo que publico. Pueden escribirme para sugerirme abordar algún tema o profundizar en algo sobre lo que ya haya escrito. También para compartir con los demás lectores sus ideas sobre las desigualdades cuadráticas. Y pueden suscribirse para recibir un correo cada miércoles que subo una nueva entrada.

Hasta la próxima semana.

Rebeca

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