Ésta es la entrada 98 del blog.  98, además de ser divisible entre dos, es divisible entre 7… dos veces, pues resulta de multiplicar 2 x 7 x 7.

Dedicaremos esta entrada a continuar con el tema de la divisibilidad y los divisores que quedó inconcluso hace dos semanas y que la semana pasada no alcancé a terminar. Gracias por la paciencia.

Retomaré algunos de los criterios que ya revisamos, para hacer notar ciertos patrones que no mencioné en la primera parte (ver aquí).

Agradezco a Kike, de Perú, a Daniela, de Uruguay y a Orlando, de Venezuela-España por sus aportaciones para esta entrada.

Va dedicada a Mónica y Daniel, por su interés en el tema.

¿Los criterios de divisibilidad se pueden clasificar?

La respuesta es: sí. Al revisar los criterios de divisibilidad pueden darse cuenta de que pueden clasificarse según el procedimiento, el cual depende del tipo de número entre el que se busca determinar la divisibilidad. Veamos primero las clasificaciones y después la razón de cada procedimiento:

Divisibilidad que se analiza sólo en las últimas cifras del número

Son las divisibilidades entre: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25…

¿Observan qué caracteriza a todos esos números? Están formados exclusivamente por factores 2 y 5, que son los factores primos de 10, que es la base de nuestro sistema de numeración decimal. Obviamente no es coincidencia.

Divisibilidad que se analiza sumando todas las cifras del número

Son las divisibilidades entre 3 y 9

¿Qué caracteriza a esos números? El 9 es el número anterior al 10, que es la base de nuestro sistema decimal. Y el 3 es su factor. Vean las implicaciones de esto más adelante.

Divisibilidad que se analiza operando de alguna otra forma las cifras

Son las divisibilidades entre los números primos 7, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, cuyo procedimiento también pueden usarse para los demás.

Divisibilidad que se analiza de forma combinada

Son las divisibilidades entre los números compuestos formados por combinaciones de las anteriores. Ojo, los factores que sirven para analizar la divisibilidad deben ser primos entre sí.

Por ejemplo, para decidir si un número es divisible entre 18, el número debe ser divisible entre 2 y entre 9 al mismo tiempo (2 y 9 son primos entre sí, no comparten factores distintos a 1). No se puede analizar la divisibilidad entre 18 buscando números que sean divisibles entre 3 y 6 al mismo tiempo, pues 3 y 6 no son primos entre sí, comparten un factor distinto de 1, el 3.

¿Por qué funcionan así? Veamos cada caso por separado.

Divisibilidades que se analizan mediante las últimas cifras:

Observen que si un número divide (de forma exacta) a dos números distintos, también divide a su suma:

2 divide a 30 y 2 divide a 4, por lo tanto, 2 divide a 34

Como todos los números múltiplos de 10 son múltiplos de 2, puedo separar cualquier número en la suma de las unidades y el resto del número, y sólo verificar si las unidades son múltiplo de 2:

3579 = 3570 + 9.
3570 sí es múltiplo de 2 (todos los números que terminan en un cero lo son)
9 no es múltiplo de 2
Por lo tanto, 3579 no es múltiplo de 2

123456 = 123450 + 6
123450 sí es múltiplo de 2 (todos los números que terminan en un cero lo son)
6 también
Por lo tanto, 123456 sí es múltiplo de 2.

No necesita hacerse el análisis a este nivel de profundidad cada vez, pero conviene que, al aprenderlo, comprendamos la justificación del procedimiento.

Veámoslo con los demás números:

3576 sí es múltiplo de 4 porque:
3500 sí es múltiplo de 4 (todos los números que terminan en dos ceros lo son)
76 también (ver en la entrada anterior cómo determinarlo a simple vista)

3579 no es múltiplo de 5 porque:
3570 sí es múltiplo de 5 (todos los números que terminan en un cero lo son)
9 no es múltiplo de 5

3576 sí es múltiplo de 8 porque:
3000 sí es múltiplo de 8 (todos los números que terminan en tres ceros lo son)
576 también

3576 no es múltiplo de 10 porque
3500 sí es múltiplo de 10 (todos los números que terminan en un cero lo son)
76 no es múltiplo de 10

123456 sí es múltiplo de 16 porque
120000 sí es múltiplo de 16 (todos los números que terminan en cuatro ceros lo son)
3456 también

En la entrada pasada observamos esta situación con las potencias de 2:

Todos los múltiplos de 10 son múltiplos de 2 (o sea 2^1)
Todos los múltiplos de 100 son múltiplos de 4 (o sea 2^2)
Todos los múltiplos de 1000 son múltiplos de 8 (o sea 2^3)
Y así sucesivamente, se agrega un cero por cada aumento en la potencia de 2.

Ahora revisemos la divisibilidad entre números que incluyen factores 5, como el 20 (reflexionando un poco, nos damos cuenta de que sólo necesitamos revisar las últimas dos cifras del número):

123450 no es múltiplo de 20 porque
123400 sí es múltiplo de 20 (todos los números que terminan en dos ceros lo son)
50 no lo es

Sobre la divisibilidad entre 25 (reflexionando un poco, nos damos cuenta de que sólo necesitamos revisar las últimas dos cifras del número):

123475 sí es divisible entre 25 porque
123400 sí es múltiplo de 25 (todos los números que terminan en dos ceros lo son)
75 también

Cerrando con esta sección, para que un número sea divisible entre 10^n, debe tener al menos n ceros al final.

123450, al tener un solo cero, sólo es divisible entre 10
120000, al tener cuatro ceros, es divisible entre 10, 100, 1000 y 10 000

Divisibilidades que se analizan sumando todos los dígitos:

Para esta sección me basé en el libro de Baldor de Aritmética

Observen esto:

10 = 3 x 3 + 1
100 = 33 x 3 + 1
1000 = 333 x 3 + 1

La unidad, seguida de cualquier número de ceros, es igual a un múltiplo de 3 más la unidad.

Ahora observen:

20 = 2 ( 3 x 3 + 1 ) = 6 x 3 + 2
400 = 4 ( 33 x 3 + 1 ) = 132 x 3 + 4

Una cifra significativa, seguida de cualquier número de ceros, es igual a un múltiplo de 3 más la misma cifra.

Finalmente:

420 = ( 132 x 3 + 4) + ( 6 x 3 + 2 ) + 0 = 138 x 3 + 6

Todo número entero es igual a un múltiplo de 3 más la suma de los valores de sus cifras.

Por lo tanto, si la suma de los valores absolutos (el valor que no depende de la posición) de las cifras de un número es múltiplo de 3, entonces el número es múltiplo de 3.

Notas, el cero se puede considerar múltiplo de los demás números.

Repitiendo todo para el nueve:

10 = 1 x 9 + 1
100 = 11 x 9 + 1
1000 = 111 x 9 + 1

La unidad, seguida de cualquier número de ceros, es igual a un múltiplo de 9 más la unidad.

20 = 2 ( 1 x 9 + 1 ) = 2 x 9 + 2
400 = 4 ( 11 x 9 + 1 ) = 44 x 9 + 4

Una cifra significativa, seguida de cualquier número de ceros, es igual a un múltiplo de 9 más la misma cifra.

Finalmente:

423 = ( 44 x 9 + 4) + ( 2 x 9 + 2 ) + 3 = 46 x 9 + 9

Todo número entero es igual a un múltiplo de 9 más la suma de los valores de sus cifras.

Por lo tanto, si la suma de los valores absolutos de las cifras de un número es múltiplo de 9, entonces el número es múltiplo de 9.

Como dato adicional, el residuo que se obtiene de dividir un número entre 9 es el número que se obtiene al sumar los valores absolutos de sus cifras.

14 / 9 = 1 y sobran 5, que es lo mismo que 1 + 4

Divisibilidades que se analiza operando de alguna otra forma las cifras

Divisibilidad entre 7:

Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2 y restando ese producto de lo que queda, reiteradamente, se llega a un número que sea múltiplo de 7 (recuerden que eso incluye al cero).

Por ejemplo:
6909 sí es múltiplo de 7 porque
690 – ( 9 x 2 ) = 672
67 – ( 2 x 2) = 63 que ya es claro que es múltiplo de 7, pero se puede seguir:

6 – ( 3 x 2 ) = 0

Mencioné la semana pasada que un jovencito de 12 años, Chika Ofili, había encontrado un nuevo método para determinar la divisibilidad entre 7. Es muy parecido al anterior:

Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 5 y sumando ese producto de lo que queda, reiteradamente, se llega a un número que sea múltiplo de 7.

6909 sí es múltiplo de 7 porque
690 + ( 9 x 5 ) = 735
73 + ( 5 x 5 ) = 98 que, como dije al principio de esta entrada, es múltiplo de 7, pero se puede seguir con la prueba:
9 + ( 5 x 8 ) = 49, que es un múltiplo más conocido de 7

Podrán notar que este “nuevo” método puede ser más tardado que el otro porque, al implicar sumar en vez de restar, los números no se hacen pequeños tan rápido.

Por cierto, en un documento que me compartió Orlando, The Handbook of Essential Mathematics, de 2006, ya viene propuesto este método. Quizá no fue suficientemente difundido.

Me propuse a hacer algunas indagaciones con respecto de la divisibilidad entre siete, con sus dos métodos que parecen arbitrarios, pero no lo son. Veamos por qué usando letras (gracias a Daniela, por ayudarme a entender lo siguiente):

Tenemos un número formado por tres cifras, a, b, c:
abc = a00 + b0 + c

El nuevo número, según el primer procedimiento, estará formado así:
(abc – c) / 10 – 2c.

Sumando la fracción a la expresión entera queda:
(abc – c – 20 c ) / 10 =
(abc – 21 c ) / 10

Como 21 es múltiplo de 7, entonces si el número resultante es múltiplo de 7, el número original también lo será.

Veamos ahora con el segundo procedimiento:
(abc – c) / 10 + 5c.

Sumando la fracción a la expresión entera queda:
(abc – c + 50 c ) / 10 =
(abc + 49 c ) / 10

Como 49 es múltiplo de 7, entonces si el número resultante es múltiplo de 7, el número original también lo será.

Si revisan la tabla del 7, se darán cuenta de 21 y 49 son los primeros resultados que están a 1 unidad de un múltiplo de 10, aunque no los únicos.

Por eso la última cifra se retira, se multiplica por 2, se coloca en la posición de las decenas y se resta, lo cual equivale a restarla 21 veces. O se retira, se multiplica por 5 y se suma en la posición de las decenas, lo cual equivale a sumarla 49 veces.

Por tanto, el método general funciona así: un número es múltiplo de 7 si se sigue alguno de los siguientes procedimientos reiteradamente, hasta llegar a un número que sea múltiplo de 7:

Se multiplica la última cifra por 2, 9, 16, 23… (sumar 7 cada vez) y se le resta a lo que quedó.

Se multiplica la última cifra por 5, 12, 19, 26… (sumar 7 cada vez) y se le suma a lo que quedó.

Me parece que el más práctico de todos es el que usa el dos, pero todos funcionan por igual.

La verdad no sé si como lo estoy explicando fue como determinaron el método, pero, por lo que veo, se puede aplicar para todos los casos:

Para la divisibilidad entre 13, se busca dentro de la tabla del 13 el número más pequeño que termine en 1 o 9: 91

Entonces el método sería: se multiplica la última cifra por 9 (por ser la decena más cercana) y se resta a lo que quedó, reiteradamente, hasta llegar a un número que pueda verificarse fácilmente si es divisible entre 13.

Para la divisibilidad entre 17, el número más pequeño en la tabla del 17 es 51.

Entonces se multiplica la última cifra por 5 (la decena más cercana) y se resta a lo que quedó, reiteradamente, hasta llegar a un número que pueda verificarse fácilmente si es divisible entre 17.

Veamos para el 19.

En el libro de Baldor sugieren multiplicar la última cifra por 17 y restar a lo que quedó, porque 171, que es 19 x 9, es el número más pequeño de la tabla que termina en 1.

Sin embargo, el propio 19 es un número mucho más pequeño que también está muy cerca de una decena: 20. Esta segunda forma está en el documento que me compartió Orlando.

Por tanto, se puede multiplicar la última cifra por 2 y sumar a lo que quedó.
Veamos un ejemplo:

513 sí es múltiplo de 19 porque:
51 + (3 x 2) = 57 que sí es múltiplo de 19.
Se puede repetir para llegar a un número más pequeño y estar seguros:
5 + (7 x 2) = 19

Ahora el 23.
Se multiplica la última cifra por 7 y se suma a lo que quedó, reiteradamente, porque 3 x 23 son 69.

¿Y el 29?
Confío en que ya hayan entendido cómo elegir el número para multiplicar:
Se multiplica la última cifra por 3 y se suma a lo que quedó, reiteradamente, porque 1 x 29 = 29

Revisando la tabla de multiplicar de cada número, puede encontrarse el criterio recursivo para cualquiera.

¿Y el 27? No es primo, pero tampoco se puede buscar su divisibilidad revisando que el número sea divisible entre 9 y entre 3 al mismo tiempo, pues 3 y 9 no son primos entre sí.

Veamos si funciona el criterio anterior:

Dentro de la tabla del 27, el número más pequeño terminado en 1 o 9 es el 81
Entonces se multiplica la última cifra por 8 y se resta a lo que quedó, reiteradamente:

Probemos si 1512 es múltiplo de 27:
151 – ( 2 x 8 ) = 135
13 – ( 5 x 8 ) = -27 (Ah, creo que había olvidado decirles que, si se llega a un número negativo que también sea múltiplo del número en cuestión, como en este caso, también se comprueba la divisibilidad)

Nota: en el caso del 27 se puede hacer una pre-revisión: el número debe ser forzosamente divisible entre 9 para que sea divisible entre 27, entonces 1511 no es divisible entre 27 porque sus cifras suman 8 y, por tanto, no es divisible entre 9.

Con los números compuestos se puede revisar primero el más sencillo.

Con los números primos creo que no hay pre-revisión posible. Si conocen alguna, compártanla en los comentarios, por favor.

Divisibilidad entre 11:

Puede seguirse el criterio anterior, de la siguiente forma:

Se multiplica la última cifra por… uno, porque 11 es el número más pequeño de la tabla del 11 que termina en 1 o 9, y se resta a lo que quedó:

3872 es divisible entre 11 porque:
387 – 2 = 385
38 – 5 = 33, que sí es divisible entre 11

Pero hay otros métodos.

Observen su justificación, similar a la de la divisibilidad entre 3 y entre 9. Primero se tiene, para los números con una cantidad par de ceros:

100 = 9 x 11 + 1
10000 = 909 x 11 + 1

Por otro lado se tiene, para los números con una cantidad non de ceros:

10 = 1 x 11 – 1
1000 = 91 x 11 – 1

Ahora veamos con cifras distintas a 1:
200 = 2 ( 9 x 11 + 1 ) = 18 x 11 + 2
30000 = 3 ( 909 x 11 + 1 ) = 2727 x 11 + 3
40 = 4 ( 1 x 11 – 1 ) = 4 x 11 – 1
5000 = 5 ( 91 x 11 – 1) = 455 x 11 – 5

Todo lo anterior permite entender el criterio de divisibilidad entre 11:

Un número es divisible entre 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras en lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras en un lugar par, de derecha a izquierda, es múltiplo de 11 (incluyendo el 0)

12345678 no es múltiplo de 11 porque (8 + 6 + 4 + 2) – (7 + 5 + 3 + 1 ) = 4
108625 sí es múltiplo de 11 porque (5 + 6 + 0 ) – ( 2 + 8 + 1 ) = 0

¿Existen otras formas de determinar si un número es divisible entre otro?

Sí, pero las dejaré para una entrada posterior, pueden ser un poco elevadas para los alcances de este blog. Hoy sólo las mencionaremos.

Una usa la llamada la cinta de Pascal. Creo que también se conoce como de restos potenciales (o al menos me pareció que funcionan igual). Pueden ver la explicación en Wikipedia aquí.

Existe otra forma parecida, pero que parte el número en secciones y entiendo que sólo sirve para ciertos números.

Me confieso inexperta en el tema. Lo estudiaré más antes de intentar compartirlo aquí.

Para cerrar:

¿Necesitamos los criterios de divisibilidad en nuestro día a día?

Con las calculadoras ubicuas, pudiéramos pensar que no, aunque siempre es agradable poder tomar algunas decisiones sin depender de esos aparatos, sobre todo al trabajar con fracciones pequeñas.

También ayudan para saber si nos van a sobrar dulces al repartir 25 piezas entre 3 niños. Puede servir para conocer de antemano que nos puede tocar el dulce sobrante, por ejemplo.

¿Necesitamos conocer los criterios de divisibilidad con tanta profundidad como los presenté aquí?

Algo que guía a este blog es el explicar todos los “por qué” que fundamentan los algoritmos que suelen enseñarse sin justificación. Por eso incluí tantas explicaciones.

Además, considero que clasificar los criterios de divisibilidad permite profundizar nuestra comprensión de ellos, con lo que los aprendemos y recordamos más fácilmente.

¿Existen aplicaciones de los criterios de divisibilidad en el día a día?

Al menos dos, además de los típicos repartos que ya mencioné:

Se sabe si un año es bisiesto si es divisible entre 4. Pero ojo, los años que además son divisibles entre 100 no son bisiestos, aunque los años que, además, son divisibles entre 1000 sí lo son. Pueden ver la entrada que escribí sobre el calendario aquí.

Los ISBN de los libros, que están relacionados con la divisibilidad entre 11, como pueden ver aquí.

Muchas gracias a Kike por compartirme esta información.

Confío en haber despertado en ustedes la curiosidad de comprender mejor todos aquellos algoritmos que tomaron como válidos sin entender su justificación. Si existe alguno sobre el que aún no haya escrito, les pido que lo sugieran en los comentarios, por favor.

Como siempre, gracias por leer, comentar y compartir.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer