Esta es la entrada 263 de este blog. La escribo en la semana en la que participaré en un cine foro comentando una bella película japonesa sobre matemáticas llamada The professor and His Beloved Equation. Mi participación se centrará en los momentos matemáticos de la película, aunque mis investigaciones para prepararme me llevaron mucho más allá.

Por ejemplo, en la película al escribir en el pizarrón se mezclan kanji (ideogramas), katakana (el abecedario que se usa para palabras extranjeras), hiragana (el abecedario para palabras japonesas) y los números indoarábigos. Esto se debe a que la numeración china escrita, que los japoneses adoptaron usando su propia pronunciación (onyomi es la pronunciación del chino y kunyomi la de japonés de un mismo kanji) solo sirve para representar cantidades. Para hacer y representar operaciones con números se necesita un sistema de numeración posicional, el mismo que se usa en prácticamente todo el planeta, el indoarábigo, así como la nomenclatura mundialmente aceptada para el álgebra y el cálculo, (aunque no se ve casi nada de ellos en la película).

Si bien ya había escrito hace casi cinco años sobre la «identidad de Euler» (ver aquí), para esta ocasión me puse a averiguar un poco más, empezando con cómo debería ser llamada realmente.

En japonés el título de la película es “Hakase no aishita sûshiki”. La traducción literal del japonés sería «La ecuación numérica amada por el Doctor». Hakase es una persona que tiene PhD, en la traducción le ponen «Profesor» para no confundir con que sea un médico. También se les dice «Hakase» a personas con muchos conocimientos.

La traducción del título del libro al español fue: “La fórmula preferida del profesor”, a pesar de que no se refiere a una fórmula ni a una identidad (no tiene variables), ni una ecuación propiamente dicha (no tiene incógnitas). En japonés está mejor expresado, «sûshiki” es una “ecuación numérica”, es decir, una igualdad que solo contiene números. Platicando con mi amigo matemático Kike, consideramos que sería mejor decir que es una «equivalencia». Algo parecido a 2 + 2 = 4, pero con números más especiales.

Les comparto por aquí lo que planeo decir en el cine foro sobre la «Equivalencia de Euler»:

¿Por qué es la “ecuación numérica amada del profesor”?

En algún momento reciente se hizo una encuesta y los matemáticos votaron por la expresión matemática que consideraban más bonita. Ganó la “fórmula/ecuación/identidad/equivalencia de Euler”, que puede expresarse de varias formas:

Lo bello que quienes nos gustan las matemáticas le encontramos es que incluye a cinco de los números y tres de las operaciones más importantes en una expresión que puede considerarse minimalista:

0             Es un número que apenas en el siglo VII se descubrió en la India, debido a que es un país que aceptaba la idea de la “nada”, algo que no ocurría en otras partes del mundo. Gracias al cero tenemos el sistema de numeración posicional que permitió desarrollar la matemática como la conocemos actualmente (incluyendo internet, las películas con CGI y los Smartphones). Además, es el elemento neutro de la suma, el elemento absorbente de la multiplicación y un elemento de cuidado en la división, pues la división entre cero no está definida. El logaritmo en cualquier base de cero tampoco está definido. Ah, y el cero no tiene signo, es el parteaguas entre los números negativos y los positivos.

1             Es el primer número que conoció el hombre, aunque en algunas culturas no se le consideraba un número como tal, sino la representación de singular vs la representación de plural o muchos. Además, es el elemento neutro de la multiplicación. Junto con el cero son la base de la aritmética.

pi            =3.1415… número trascendente (que no puede representarse ni como fracción ni como raíz enésima de otro número), el más importante en la geometría, por resultar de la división de la circunferencia entre el diámetro de un círculo.

i             es la raíz cuadrada de menos uno. Es un número imaginario, que solo podemos ver “con el corazón”, pero que nos permite dar respuesta a ecuaciones como x² + 1 = 0. Gracias a él se pudo establecer el teorema general del álgebra, según el cual una ecuación de grado n tiene n raíces, de las cuales ninguna, algunas o todas pueden tener componentes imaginarios. Se usa con frecuencia en ingeniería, sobre todo en relación con electricidad y electrónica. En la película Root lo muestra como sosteniendo al mundo entero en sus manos.

e             =2.7182… otro número trascendente, muy importante en cálculo infinitesimal y en análisis numérico, pues es, entre otras cosas, el resultado de este límite:

Por su parte, y = e^x es una función tiene la particularidad que tanto si se integra como si se deriva no sufre modificación. e es el único número que usado como base se comporta así.

El que cinco números que provienen de cuatro áreas tan diferentes de la matemática se puedan reunir tan limpiamente en una ecuación numérica, que además incluye una suma, un producto y una potencia, es simplemente hermoso.

¿De dónde salió? No es algo que se haya ensamblado haciendo pruebas hasta que se consiguió, más bien se descubrió al hacer una sustitución en una fórmula que no vamos a demostrar.

La fórmula de Euler permite calcular potencias de e con exponentes imaginarios y es la siguiente:

** Es una expresión exponencial que no representa propiamente multiplicar a e por sí mismo pi imaginario veces. Se entiende más bien con series de Taylor, que no voy a explicar.

Cuando se sustituye z = pi se obtiene:

Que al calcularlo nos lleva a:

Que es lo mismo que:

Por cierto, Richard Feynman, Premio Nobel de física, considera a esta equivalencia una joya, mientras que Keith Devlin, divulgador de matemáticas, escribió sobre ella, entre otras cosas:

“Como un soneto de Shakespeare que captura la esencia misma del amor, o una pintura que resalta la belleza de la forma humana que es mucho más que superficial, la ecuación de Euler llega hasta las profundidades de la existencia”.

Aunque la belleza no necesita ser útil para ser bella. Esta identidad sí que tiene formas de ser útil. La más directa es permitir obtener el valor del logaritmo de cualquier número negativo, el cuál será imaginario. Ver más sobre logaritmos aquí, aquí y aquí.

Pero antes que útil, es minimalista y muy, muy bella.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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