Entrada 78 del blog. Hace varias semanas que pretendía escribir sobre este tema, pero diversas circunstancias lo retrasaron.

Cuando pensamos en “medir” algo, desde el punto de vista geométrico, suele venir a la mente el medir el largo, o el largo y ancho, o largo, ancho y alto, incluso el perímetro. Sin embargo, hay al menos otra medición que es importante en geometría: el ángulo de abertura entre dos rectas, si pensamos en dos dimensiones solamente. Es por eso que los “juegos de geometría”, como les llamamos en México, incluyen, además de la regla graduada y las escuadras, el transportador, que usamos, justamente, para medir ángulos.

¿Por qué es importante el tema? Porque hay casos en los que medir un ángulo correctamente, y/o reconocer el ángulo adecuado para hacer algo es muy importante, como en el despegue de un avión, que encabeza esta entrada.

Sobre eso hablaremos hoy. Buscaremos entender qué es un ángulo, cómo se mide y algunas otras ideas relevantes alrededor del tema. Comencemos.

¿Qué es un ángulo?

Según la Real Academia Española de la Lengua, un ángulo es una figura geométrica formada por dos rectas (o dos planos) que se cortan respectivamente en una superficie (o en el espacio).

También puede considerarse que un ángulo es la abertura que hay entre dos rectas, o dos segmentos de recta, que se cortan en un punto, conocido como vértice. Al entenderlo así, se reconoce que el ángulo puede medirse, es decir, que se puede saber qué tan amplio, qué tan abierto o cerrado, está el espacio entre los dos segmentos de recta.

Los ángulos en el espacio, entre rectas y/o entre planos, no los revisaremos hoy.

¿En qué unidades se mide un ángulo?

Existen tres unidades diferentes, aunque a nivel escolar (educación primaria), sólo suele usarse la primera:

Grado sexagesimal. Se expresa con un circulito como superíndice: °. Una abertura correspondiente a una vuelta completa a una circunferencia mide 360°, probablemente herencia de la base 60 de la numeración babilonia. Esto tiene una gran ventaja: 360 tiene muchísimos factores, por lo que obtener medios, cuartos, sextos, octavos, doceavos, veinteavos y varias particiones más del círculo es sencillo en grados enteros.

Cada grado sexagesimal se divide en 60 minutos, identificados con comilla simple:

1° = 60’ 

Cada minuto se divide en 60 segundos, identificados con comilla doble:

1’= 60”.

Radián. Se expresa con la abreviatura rad. Una abertura correspondiente a una vuelta completa a una circunferencia mide 2 π radianes (aproximadamente 6.2832 rad). Se escribe en el sistema numérico decimal, no tiene sub-unidades, como el grado sexagesimal. Es una unidad de medida que se usa, entre otras cosas, en las funciones como y = sen x, sobre las que no escribiré hoy. Un ángulo con vértice en el centro de un círculo y cuyos lados son cortados por el arco de la circunferencia mide un radián si dicho arco tiene una longitud igual a la del radio.

Grado centesimal. Se expresa con una g como superíndice (que no sé cómo escribir aquí). Una abertura correspondiente a una vuelta completa a una circunferencia mide 400 grados centesimales, por lo que un ángulo recto tiene una abertura de 100 grados centecimales. Tiene sub-unidades, como el grado sexagesimal, sólo que en este caso 100 segundos (s) son un minuto y 100 minutos (m) son un grado (g), aunque también se puede escribir en el sistema numérico decimal directamente. Supongo que se creó para llevar al sistema numérico decimal hasta los ángulos, pero no logró una buena acogida, quizá por aquello de la practicidad de los múltiples factores del 360.

Regularmente se dice solamente “grados” al hablar de “grados sexagesimales”.

¿Cómo se hacen las conversiones de unidades de medida de los ángulos?

Con base en las siguientes equivalencias, sólo es cuestión de tomar la correspondiente a la unidad origen y unidad destino y usarlas dentro de una regla de tres (ver más sobre la regla de tres aquí y aquí).

En ocasiones conviene, o nos piden, que se midan los ángulos en radianes en múltiplos de π, por ello son cuatro datos. Pueden usar tantos decimales de pi como deseen para calcular el 6.2832…, aunque considero que a nivel educación primaria cuatro es más que suficiente.

360° = 2 π rad = 6.2832 rad = 400 grados centesimales

Para usar estas equivalencias, los grados sexagesimales deben expresarse en el sistema numérico decimal, no con minutos y segundos. Es decir, en vez de usar 10° 30’ se debe usar 10.5°.

¿Cómo se cambia entre ambas formas de expresar los grados sexagesimales?

También se usan reglas de tres.

Primero veamos de la forma con grados, minutos y segundos a la forma decimal:
Si se desea expresar 36 ° 27’ 18” en forma decimal, se puede hacer en dos formas:

Convertir los segundos a minutos:
1 ‘ -> 60 «
x ‘ -> 18 «
x = 18 * 1 / 60 = 0.3
Sumarlos a los minutos: 27′ + 0.3′ = 27.3′

Convertir los minutos a grados:
1 ° -> 60 ‘
x ° -> 27.3’
x = 27.3 * 1 / 60 = 0.455
Sumarlos a los grados: 36° + 0.455° = 36.455°

La otra forma es convertir los segundos directamente a grados, considerando que un grado tiene 3600 segundos:
1 ° = 3600 “
x ° = 18 “
x = 18 * 1 / 3600 = 0.005

Luego convertir los minutos a grados:
1° = 60 ‘
x° = 27 ‘
x = 27 * 1 / 60 = 0.45
Y sumar todo: 36° + 0.45 + 0.005 = 36.455°

Cualquiera de las dos opciones implica dos reglas de tres y dos sumas, así que pueden elegir la que les parezca más fácil de recordar, por ser más compatible con su forma de pensar.

¿Qué forma prefieren? ¿Usan alguna otra?

Ahora veamos de la forma decimal a la de grados minutos y segundos

Nuevamente se usan reglas de tres. Se comienza por convertir la parte decimal de los grados a minutos. Partamos del resultado anterior 36.455°:
1° -> 60’
0.455° -> x ‘
x = 0.455 * 60 / 1 = 27.3
Serán 27 minutos.

Ahora la parte decimal de los minutos se convierte a segundos:
1’ -> 60 “
0.3 ‘ -> x “
x = 0.3 * 60 / 1 = 18

Puede darse el caso de que no quede un número entero. No existen unidades más pequeñas, por lo que así se dejaría, expresado en decimales.

Por ejemplo, 0.189 minutos serían 0.189 * 60 / 1 = 11.34 segundos.

Operaciones con ángulos

Para hacer operaciones expresadas en el sistema numérico decimal sólo es necesario seguir las reglas de dicho sistema, que usamos comúnmente (ver aquí)

Para hacer operaciones con los ángulos expresados en grados, minutos y segundos, se usan los mismos procedimientos que para hacer operaciones con horarios expresados en horas, minutos y segundos (ver más sobre el reloj aquí).

El procedimiento es parecido al de nuestro sistema de numeración posicional, sólo que identificando que hay tres “posiciones” y cada una hacia la derecha vale 60 veces la anterior:

1 grado = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos

Para esta suma:
1 1
3° 25’ 36”
2° 42’ 28”+
6° 08’ 04”

36 + 28 = 64 segundos. Se anotan los 4 segundos que exceden al minuto y “llevamos” 1 minuto, que se pone sobre el 5 del 25

1 + 25 + 42 = 68 minutos. Se anotan los 8 minutos que exceden a la hora y “llevamos” 1 grado, que se pone sobre el 2.

1 + 3 + 2 = 6 grados

La resta se hace de una forma similar, sólo que, si en alguna posición el minuendo es menor al sustraendo, es necesario transformar una unidad de la posición más a la izquierda en 60 unidades de esa posición. Puede ser necesario hacerlo dos veces.

3° 25′ 36″
2° 42′ 28″-

Uno de los minutos se transforma en 60 segundos que se suman a los 36 que ya había:

3° 24′ 96″
2° 42′ 28″ –

Uno de los grados se transforma en 60 minutos, que se suman a los 24 que ya había. Listo, ya puede hacerse la resta:

2° 84′ 96″
2° 42′ 28″ –
0° 42′ 68″

Pueden ver más sobre sumas y restas con transformación, en el sistema numérico decimal, aquí.

¿Con qué se mide un ángulo?

En el ambiente escolar, solemos medir los ángulos con un transportador, como el de la imagen.

Fuera del ambiente escolar existe el goniómetro, más sofisticado, usado en topografía, cristalografía, radiodifusión, fisioterapia, entre otras ciencias. Explicar su uso queda fuera del alcance de este blog.

Pero sí vamos a revisar cómo se usa un transportador. Existen los circulares (miden los 360° de la circunferencia) y los semicirculares (miden sólo 180°. Los hay en diferentes tamaños, dependiendo de lo que se va a medir. Si el transportador que tenemos es demasiado grande para el ángulo que vamos a medir, podemos extender las líneas que forman el ángulo hasta que superen el radio del transportador, para poder usarlo.

Extender las líneas NO cambia la medida del ángulo, aunque nos permite ver cómo influye un pequeño desvío si se prolonga mucho.

Por ejemplo, la Torre inclinada de pisa está desviada menos de 4° de la vertical, sin embargo, hasta la parte más alta, que está a unos 56 m del piso, ¡la diferencia de la punta con su posición si estuviera vertical es 4 metros! Lo pueden ver al comparar el tamaño de la torre con el de las personas en la foto.

Vaya, me salí del tema, volvamos a la medida de los ángulos:

Ambos tipos de transportador (circular y semicircular) tienen una marca en el punto que corresponde al centro de la circunferencia. Ese punto se coloca sobre el vértice del ángulo que se desea medir. La rayita que corresponde a 0° se coloca sobre una de las rectas y se localiza con qué rayita coincide la otra recta. Se toma el número y listo. Como esto es algo escolar, la exactitud a un grado, si acaso a medio grado, es lo más que se podría pedir.

En la imagen del ejemplo se ve que la línea pasa por el 45° en la numeración interior, pero también por el 135°, en la numeración exterior. ¿Cuál es el válido? Depende de cuál de las dos numeraciones tenga el 0 donde está la recta que se toma como base. En este caso, la recta pasa por el 0° de la numeración interior, por lo que el ángulo mide 45°.

Nota: si se mide el ángulo en el sentido contrario a las manecillas del reloj, como en el ejemplo anterior, se considera positivo. Si se mide en el sentido de las manecillas del reloj, se considera negativo, aunque sólo tiene sentido dentro de ciertos contextos.

Es decir, a nivel educación primaria, normalmente se miden sólo las aberturas, sin preocuparse por el sentido en el que se miden, o cual es el lado «inicial» y cuál el «final».

¿Cómo se clasifican los ángulos, según su medida?

Ángulos nulos: mide 0°. Sólo se pueden distinguir de los ángulos completos por el contexto.

Ángulos agudos: miden más de 0° y menos de 90°

Ángulos rectos: miden exactamente 90°

Ángulos obtusos: miden más de 90° y menos de 180°

Ángulos llanos (planos): miden exactamente 180°

Ángulos completos: miden exactamente 360°. Sólo se pueden distinguir de los ángulos nulos por el contexto.

Vaya… el tiempo para escribir esta entrada se agota… continuaremos con el tema de los ángulos en una siguiente ocasión.

Para cerrar

Antes de irnos, retomemos la importancia de saber medir ángulos y las implicaciones que estos pueden tener.

Por ejemplo, para las rampas para las sillas de ruedas, tengo entendido que las pendientes deben ser inferiores a 10°, para que sea factible para la persona subirlas. Mientras más larga la rampa, menor el ángulo, porque una subida muy larga con mucha inclinación sería muy cansada.

Los caminos como éste también deben tener un ángulo máximo para que funcionen.

Es broma, el ángulo lo forma la perspectiva, y debe tomarse en cuenta si quiere dibujarse un camino realista. Lo incluí porque me encantó la imagen y, de alguna manera, sí tiene qué ver con ángulos.

Cerrando como empecé, los pilotos deben conocer muy bien los ángulos correctos para el despegue y el aterrizaje, para llevar con bien a sus pasajeros.

En muchos casos, el que dos líneas estén en un ángulo de 90° es importante. ¿Qué otros ángulos interesantes conocen?

Como siempre, gracias a todos los que leen y comparten estas ideas, por ayudarme a difundir el mensaje.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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