Ésta es la entrada 84 del blog. Se escribe después de dos semanas en las que he tenido la mente dando vueltas alrededor de varios amigos que están pasando por situaciones más complejas de lo que en el día a día pasamos todos. Por ello la dedicaremos a algunos números con características especiales, entre los que se encuentran los números amigos.

Para mis amigos, en especial para P, C, I, B, S y A, va dedicada esta entrada.

Muchas gracias a Kike, de Perú, por su apoyo para escribirla.

Aclaración antes de empezar: en todo este texto nos limitaremos a hablar de números naturales, es decir, los enteros positivos.

¿Cuáles son los divisores de un número?

Son todos aquellos números que lo dividen de forma exacta.

Entre los divisores de un número, siempre están dicho número y el 1.

Múltiplo y divisor son dos palabras estrechamente relacionadas entre sí. Si el número N1 es múltiplo del número N2, entonces el número N2 es divisor del número N1. (Ver más sobre reversibilidad aquí).

Cualquier número es múltiplo y divisor de sí mismo.

Números primos y números compuestos

A aquellos números que sólo cuentan con dos divisores, ellos mismos y la unidad, se les llama números primos.

Los primeros diez números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Todos los demás son números compuestos, por tener más de dos divisores. Al principio de la lista, la mayoría son pares, esto es, múltiplos de dos, pero poco a poco van apareciendo más y más números compuestos nones, que son múltiplos de los números nones mayores a 2.

Los primeros diez números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 

Divisores del 4: 1, 2, 4
Divisores del 6: 1, 2, 3, 6
Divisores del 8: 1, 2, 4, 8
Divisores del 9: 1, 3, 9

El 1 no se considera ni primo ni compuesto, porque no cumple con los requisitos de ninguna categoría.

Pero el 1, con un solo divisor, y los números primos, con dos divisores, se consideran números simples, en contraposición a los números compuestos, con más de dos divisores.

Ver más sobre números primos aquí.

Estrategias para obtener los divisores de un número

Una opción es empezar a dividir el número N entre 1, 2, 3… y así, hasta llegar a N, para encontrar todos los números que lleven a una división exacta.

Funciona, pero hay un camino más corto.

Se va dividiendo el número entre todos los enteros positivos a partir del 1, hasta el correspondiente su raíz cuadrada (o el entero anterior, si la raíz cuadrada no es exacta). Todas las divisiones que den enteras implicarán que hemos encontrado un par de divisores.

Probemos con el 48, cuya raíz cuadrada es menor a 7, por lo que revisaremos hasta el 6.

48 / 1 = 48,  por lo tanto, el primer par de divisores es 1 y 48. Si seguimos haciendo las divisiones hasta el 6, observaremos que 48 se puede obtener mediante las siguientes multiplicaciones:

1 x 48
2 x 24
3 x 16
4 x 12
5 … no es divisor
6 x 8

Los divisores de 48 son, por tanto:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Con el primer método mencionado, hubieran sido necesarias 48 divisiones. Con éste método, sólo requerimos 6. Es una estrategia muy útil para compartir a nuestros hijos y alumnos cuando estén trabajando con factores, ya sea en fracciones aritméticas, en factorización algebraica o en algún otro tema relacionado.

Cuando se analizan y comparan los números según sus divisores, a estos divisores también se les llama partes alícuotas, pues se obtienen al dividir el número en partes iguales, es decir, en partes proporcionales.

¿Cuáles son los divisores propios de un número?

Son todos los divisores menores a ese número.

Sugerencia: pueden recordar que las fracciones “propias” son menores a la unidad y relacionarlo con los divisores propios de un número, que son menores a él.

En el caso del 48, sus divisores propios son:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24

Suma de los divisores / suma de los divisores propios

Como sus nombres lo indican, se obtienen sumando los divisores o los divisores propios de un número.

¿Cómo llamamos a los números según sea la suma de sus divisores propios?

Un número cuya suma de divisores propios es menor a él se denomina deficiente:

10 es deficiente, pues sus divisores propios suman 1 + 2 + 5 = 8

Un número cuya suma de divisores propios es mayor a él se denomina abundante:

12 es abundante, pues sus divisores propios suman 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16

Un número cuya suma de divisores propios es igual a él se denomina perfecto:

6 es perfecto, pues sus divisores propios suman 1 + 2 + 3 = 6

Todos los números primos son deficientes, dado que, para todos, el único divisor propio es el 1.

Los números abundantes pueden ser más útiles o prácticos que los deficientes cuando se trata de repartir.

Por eso es tan común el uso de las docenas, que se pueden repartir entre 1, 2, 3, 4, 6 y 12 de forma exacta, mientras que la decena, aunque corresponde al número de nuestros dedos, sólo se puede repartir de forma exacta entre 1, 2, 5 y 10. Por esa razón el director de la maestría que estudié comentó alguna vez que sería más práctico que tuviéramos 6 dedos en cada mano (ver más sobre el sistema numérico decimal aquí).

El 60, por ejemplo, es un número muy práctico, pues sus divisores son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, los cuales suman: ¡168!

Vaya que es un número pequeño pero muy abundante, por esa razón es la base de algunos sistemas de numeración, como el babilonio y por esa razón tanto las horas como los grados (al medir ángulos) tienen 60 minutos y 60 segundos (ver más sobre el reloj aquí y sobre ángulos aquí).

Números amigos

¿Qué pasa si comparamos las sumas de divisores propios de dos números?

Cuando la suma de los divisores propios de un número N1 es igual a un número N2 y la suma de los divisores propios de N2 es igual a N1, los matemáticos, desde hace muchos años, decidieron llamar a ese par de números N1 y N2: números amigos.

Los números amigos más pequeños, que se conocen desde hace unos 2500 años (los pitagóricos ya los conocían en el siglo V a. C.), son:

220 y 284

Para comprobarlo, encontremos los divisores de 220 con el método que revisamos párrafos arriba (anotaré sólo los divisores que encuentre, no todas las divisiones hechas):

1 x 220
2 x 110
4 x 55
5 x 44
10 x 22
11 x 20

Ahora sumemos los divisores propios:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

¿Y los divisores de 284?

1 x 284
2 x 142
4 x 71

Sumemos los divisores propios:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Comprobado, 220 y 284 son amigos.

Otra forma de concluir que dos números son amigos es corroborar que la suma de los divisores de ambos (incluyendo el mismo número, es decir, todos los divisores, no sólo los propios) es igual.

Cuando eso ocurre, esa suma también es igual a la suma de los dos números. Para el par de números que estamos analizando:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 + 220 = 504
1 + 2 + 4 + 71 + 142 + 284 = 504
220 + 284 = 504

A estos números en la antigüedad se les atribuían propiedades casi mágicas, incluso se usaban en talismanes, aunque nunca se probó que funcionaran.

Los siguientes pares de números son los números amigos más pequeños que se conocen, menores que 100 000. Algunos fueron encontrados haciendo los cálculos a mano, aunque, mientras más grande es el número, más tardado es el análisis y más conveniente es hacerlo por computadora. Observen que, al menos en esta lista, los números sólo son amigos de otro número que tenga la misma cantidad de cifras:

220 y 284
1184 y 1210
2620 y 2924
5020 y 5564
6232 y 6368
10744 y 10856
12285 y 14595
17296 y 18416
63020 y 76084
66928 y 66992
67095 y 71145
69615 y 87633
79750 y 88730

Existe una fórmula que ayudó a encontrar algunos de estos pares de números, pero queda fuera del alcance de este blog explicarla aquí, así como la discusión sobre quién encontró qué par cuándo… ya hace mucho tiempo de eso, hoy nos concentraremos mejor en conocer más números con características interesantes parecidas a éstas.

¿Qué es una sucesión alícuota?

Es una sucesión de números que resultan de la suma de los divisores propios del anterior. Veamos la del 12:

12,

1+2+3+4+6 = 16,

1+2+4+8 = 15,

1+3+5 = 9,

1+3=4,

1+2=3,

1

La sucesión queda como 12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, ¿0?

He visto que dicen que termina en cero, pero eso no me hace sentido del todo, pues el cero no es divisor de ningún número, ¿qué opinan? Quizá hay alguna razón para señalarlo así que yo no conozco, así que agradeceré que la compartan en los comentarios.

Los números amigos tienen una sucesión alícuota de dos números que se repite sin cesar:

220, 248, 220, 248

¿Sucesiones alícuotas de un sólo número?

El 6 es sólo amigo de sí mismo, o sea, tiene una sucesión alícuota que sólo lo contiene a él. Se le llama, como vimos antes, número perfecto.

28,  496,  8 128,  33 550 336 y  8 589 869 056 son perfectos también.

Se conocen a la fecha 51 números perfectos y todos son pares. Se cree que no hay números perfectos impares, pero no se ha demostrado. Observen cómo todos estos terminan en 6 u 8.

Más datos interesantes alrededor de los números perfectos

Los números perfectos se pueden escribir como una suma de números naturales consecutivos:

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
496 = 1 + 2 + 3 + … + 31

Por otro lado, a los números cuyos divisores suman un múltiplo suyo se les llama multiperfectos. Por ejemplo, los divisores del 120 suman 360, que es tres veces 120. Por lo tanto, el 120 es triperfecto.

A los números cuya suma de algunos (no todos) sus divisores es igual a dicho número, se les llama semiperfectos. Todos son abundantes, pues tienen uno o varios divisores que hacen que la suma se exceda.

Por ejemplo, el 12.

Sus divisores suman 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, pero si sólo sumamos 1 + 2 + 3 + 6 obtenemos el 12.

A los números con abundancia 1 se les llama quasiperfectos. No tengo un ejemplo a la mano, si tienen uno, por favor compártanlo en los comentarios.

Y a los números abundantes que no son multiperfectos ni semiperfectos ni quasiperfectos se les llama extraños.

¿Sucesiones alícuotas de más de dos números?

Los números sociables son aquellos cuya sucesión alícuota tiene más de 2 números que se repite sin cesar.

La siguiente es una sucesión alícuota de 4 números que se repiten sin cesar.

1264460    1547860    1727636    1305184

No se han encontrado aún grupos de 3 números sociables.

¿Sucesiones alícuotas infinitas?

Un número dado sólo puede pertenecer a un grupo dado de números sociables. Es decir, cada uno de los cuatro números mencionados en el apartado anterior sólo pueden pertenecer a esa sucesión que se repite sin parar, regresando al número con el que inició.

Sin embargo, hay números que empiezan una sucesión alícuota que al principio no era cíclica, pero que pasa por un valor que pertenece a una sucesión alícuota cíclica y ahí se quedan. Es decir, la sucesión nunca regresa al número con el que inició, pero tampoco termina nunca.

Por ejemplo, la sucesión alícuota del 95 va así:

95 – 25 – 6 y al llegar al 6 ahí se queda para siempre, pues el 6 es un número perfecto con sucesión alícuota de un solo número.

No se han encontrado números con sucesiones alícuotas infinitas, aunque aún no se descarta que existan.

¿Existen los números felices?

Podría decirse que la respuesta es sí: Se considera que los números felices son aquellos que llegan a 1 después de elevar al cuadrado y sumar cada una de sus cifras un cierto número de veces. Como notarán, el análisis en este caso no se trata de divisores, sino de cifras al cuadrado.

El 7 es el primer número feliz mayor a 1, y es, además, un primo feliz. Veamos cómo se hacen los cálculos:

7^2 = 49
4^2 + 9^2 = 97
9^2 + 7^2 = 130
1^2 + 3^2 + 0^2 = 10
1^2 + 0^2 = 1

Puede notarse que no sólo el 7 es feliz, también el 49, el 97, el 130 y el 10… sólo que cada uno va tardando un ciclo menos en llegar a la unidad.

Si un número es feliz, el número formado por el reacomodo de sus cifras también lo será, dado que el orden de los sumandos no altera la suma. Por lo tanto, también son felices el 94, el 79, el 13, el 31, el 103, el 301 y el 310.

Si un número no es feliz, entonces se dice que es infeliz. Para que ocurra eso, el procedimiento anterior entra en un ciclo que no termina nunca. Veamos qué pasa con el 4:

4^2 = 16
1^2 + 6^2 = 37
3^2 + 7^2 = 58
5^2 + 8^2 = 89
8^2 + 9^2 = 145
1^2 + 4^2 + 5^2 = 42
4^2 + 2^2 = 20
2^2 + 0^2 = 4

Se cicló el procedimiento. Por lo tanto, 4, 37, 58, 89, 145, 42 y 20 son números infelices. Y también los números formados por cualquier reacomodo de sus cifras, como el 73.

¿Cuáles son los números narcisistas?

La palabra narcisista hace alusión a quererse mucho a sí mismo, a buscar constantemente el propio reflejo para verse. Los números narcisistas son aquellos para los cuales la suma de las potencias de sus cifras es el mismo número.

La potencia depende del número de cifras.

Por lo tanto, los números de 1 cifra son todos narcisistas:

1^1=1
2^1=2
3^1=3
…

De dos cifras no se conocen números narcisistas, pero de 3 existen los siguientes:

1^3 + 5^3 + 3^3 = 153
3^3 + 7^3 + 0^3 = 370
3^3 + 7^3 + 1^3 = 371
4^3 + 0^3 + 7^3 = 407

Otros números que también son narcisistas son:

1634,   8208,   9474,   54748,   92727,   93084 …

¿Cómo podemos aprovechar las características de estos números en nuestras clases?

¿Qué relevancia puede tener este tema para un alumno de primaria o secundaria?

Bueno, sin contar los números primos, que tienen montones de usos, incluyendo encriptar mensajes, el resto de los números sobre los que platicamos hoy aquí son relevantes sólo porque tienen características, digamos, simpáticas y bellas a los ojos de los matemáticos. Podría decirse que es más arte que ciencia lo que se encuentra en estos números.
Entiendo, existe el riesgo de que el alumno diga ¿y eso a mí qué? Bueno, pues así como no a todos nos gustan todas las expresiones artísticas, pero es bueno entender un poco de todo eso como cultura general, así también este tema puede verse como un acercamiento a lo bello pero no tan aplicable de las matemáticas.

Y también puede usarse para practicar operaciones numéricas, principalmente la factorización con los alumnos, que es muy útil para simplificar fracciones, hacer operaciones con ellas, factorizar y simplificar expresiones algebraicas, etcétera. Si los acercamos a este tema diciéndoles cómo se identifica que un número es perfecto, amigo, sociable, etc… y no les decimos cuáles son los que se han encontrado, podremos pedirles que busquen si entre tales y tales números hay algunos que sean perfectos, amigos, etc.

Las otras operaciones que se practican son la adición y la potenciación.

Claro que si empezamos por decirles que sólo hay poquitos, la búsqueda puede perder sentido. Más bien se puede diseñar una actividad en la que se les den un conjunto de números y se les pida que encuentren todos sus divisores (partes alícuotas) y la suma de los mismos, para que detecten entre ellos a los deficientes, abundantes, perfectos, amigos y demás.

Esto es, que los clasifiquen.

Algo similar puede hacerse para practicar las potencias de los números. Se pueden integrar en una búsqueda de números felices y/o narcisistas.

Como notarán, son actividades que permite desarrollar tanto el pensamiento lógico matemático (ver más aquí y aquí) como el sentido numérico (ver más aquí y aquí)

Para cerrar

Han sido dos semanas complejas, acompañando de una forma u otra a la gente cercana, a mis amigos. Nuestra relación no es numérica, como la del 220 y el 284, pero es igual de especial, pues de los más de siete mil millones de seres humanos que pueblan este planeta, sólo algunos comparten conmigo características que nos hacen cercanos. Así como la suma de divisores permite identificar a dos números amigos, así la suma de características singulares y momentos especiales compartidos permite identificar a dos personas amigas.

Gracias, P, C, I, B, S, A, P, E, J, K… por su amistad.

Para los lectores de este blog, como siempre, gracias por leer y compartir.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

Localicé la información aquí proporcionada principalmente en Wikipedia y en algunos libros, como:

Entrenamiento mental, de Alberto Coto
The housekeeper and the professor, de Yoko Ogawa
El imperio de los números, de Denis Guedj
Mathematics on vacations, de Joseph S. Madachy
El hombre que calculaba, de Malba Tahan