Esta entrada, la 57 del blog, la dedicaremos a lo que quizá sea el primer concepto matemático delicado de explicar a los niños: la suma y la resta, con números de dos o más dígitos, cuando se necesita hacer alguna transformación, que suele llamarse “llevar” o “pedir prestado”.

Como las sumas y restas con decimales sólo implican un cuidado extra con respecto a las sumas y restas con enteros, aprovecharemos esta entrada para revisarlas también.

Va dedicada a Érika, que me está ayudando a entender qué es importante escribir en este blog para apoyar la enseñanza de las matemáticas a nivel primaria. ¡Muchas gracias!

La imagen principal está relacionada con una de las transformaciones más bellas de la naturaleza: de oruga a mariposa. Recuerden que, al igual que el esfuerzo que realiza una mariposa para salir de la crisálida la fortalece para volar, al acompañar el aprendizaje de nuestros hijos y alumnos, dejarlos esforzarse es indispensable para que el aprendizaje sea profundo, duradero y significativo. 

Ampliando el vocabulario

Comencemos por recordar las palabras que significan lo mismo que sumar: añadir, reunir, juntar, adicionar, agregar.

Y también las palabras que significan lo mismo que restar: deducir, disminuir, rebajar, quitar, reducir, sustraer, lo que falta para.

Conviene que las usemos todas frecuentemente al proponer ejercicios de sumas y restas, para que a nuestros hijos y alumnos les resulten familiares cuando llegue el momento de plantear y resolver matemáticamente problemas escritos en palabras.

Sistema numérico decimal

Para poder entender el fundamento matemático de las sumas y restas con transformación, necesitamos tener presentes algunas características del sistema numérico decimal (pueden leer la entrada completa que escribí al respecto aquí)

Cada dígito tiene un valor absoluto y un valor relativo, según su posición. El valor de cada posición es 10 veces el valor de la posición a su derecha.

Por ejemplo: en 57, la posición del 7 es la de las unidades, vale 1 y, por tanto, el 7 colocado ahí vale 7 unidades. En cambio, la posición del 5 es la de las decenas, vale 10 veces la de las unidades. O sea que el 5 colocado ahí vale 50 unidades. Su valor absoluto es 5 y su valor relativo es 50.

57 se puede descomponer en 50 + 7 y, si es necesario, en 40 + 17, dado que 50 + 7 = 40 + 17

Algoritmo (procedimiento sistemático) básico para sumar y restar en el sistema numérico decimal

Aunque se puede sumar y restar mentalmente, con material concreto y de algunas otras formas, esta entrada la dedicaremos al algoritmo básico.

Para sumar:

Acomodar las cantidades a sumar una arriba de la otra, cuidando que las unidades, decenas, etcétera estén alineadas. El requerimiento es el mismo para números enteros que para números con decimales, siempre deben alinearse unidades con unidades.

Para sumar 45 + 23 alineamos los números así:

     45
+   23
=   68

Sumamos las unidades: 5 + 3 = 8  y sumamos las decenas: 4 + 2 = 6. 

Para sumar 13.57 + 2.4, alineamos los números y después sumamos. Se pueden agregar ceros a la derecha en la parte decimal, para que la cantidad de dígitos sea igual en ambos números.

   13.57
+   2.40 
= 15.97

Se pueden sumar más de dos cantidades al mismo tiempo, acomodándolas alineadas:

    12   sumando
    31   sumando
    23+ sumando
 = 66   suma o total

Todos los números a sumar se llaman sumandos, el resultado se llama suma o total.

En esencia, el algoritmo de la suma implica sumar todos los dígitos que están en cada posición (usé un color para cada posición) y poner el resultado en esa misma posición.

Para restar:

Al número del que se va a restar se le llama minuendo y se coloca primero. Al número que se va a restar se le llama sustraendo y se coloca abajo del otro, alineando unidades con unidades, etcétera. Al resultado se le llama diferencia o resto.

Para restar 45 – 23 alineamos los números así:

     45  minuendo
–    23  sustraendo
=   22  diferencia o resto

Restamos las unidades 5 – 3 = 2  y las decenas: 4 – 2 = 2.

Para restar 13.57 – 2.4, alineamos los números y después restamos. Conviene agregar ceros a la derecha en la parte decimal, para que la cantidad de dígitos  sea igual en ambos números. Es indispensable si el minuendo tiene menos dígitos que el sustraendo en la parte decimal.

   13.57
–    2.40
= 11.17

Se restan los dígitos en cada posición (usé un color para cada posición) y se pone el resultado en esa misma posición

Nota: el signo de la operación, + (más) o – (menos) se pone en distinto lugar según las costumbres de cada país. Puede ir a la izquierda, a la derecha, en el primer renglón, en el segundo o en medio de los números. No tiene ninguna implicación con respecto al algoritmo, así que pueden ustedes poner el signo donde lo consideren apropiado según el libro de texto que sigan.

Sumas de números sin transformación

Son aquellas sumas en las que en ninguna posición, al sumar los dígitos, se obtiene un número mayor a 9. Los tres ejemplos anteriores de suma son de ese tipo, así como los siguientes:

    4321
+   654
= 4975

   1234
+ 8765
= 9999

Restas de números sin transformación

Son aquellas restas en las que en ninguna posición el dígito del minuendo es menor al dígito del sustraendo. Los dos ejemplos anteriores de resta son de ese tipo, así como los siguientes:

    4975
–    654
= 4321

   9999
–  1234
= 8765

Dos formas de comprobar los resultados

¿Observan algo especial entre estos dos ejemplos y los anteriores? Como suma y resta son operaciones contrarias:

Se puede comprobar una suma restando el total menos uno de los sumandos, con lo cual debemos obtener el otro sumando.

Se puede comprobar una resta sumando el sustraendo más la diferencia, con lo cual debemos obtener el minuendo.

También se puede usar la prueba del nueve para comprobar las respuestas (ver la explicación completa y más ejemplos aquí)

Para hacer esa prueba, necesitamos saber que la suma (resta) de las raíces digitales de dos números es igual a la raíz digital de la suma (resta) de esos dos números. La raíz digital de un número se obtiene al dividir dicho número entre 9 o sumando todos los dígitos hasta llegar a un solo dígito, lo cual se puede abreviar si no se toman en cuenta todos los dígitos que sumados den 9:

4321    →   4321 →  1
+654    →     654  → 6 +
4975    →   4975  → 7   ok!

Suma de números con transformación (“llevando”)

¿Qué hacemos cuando al sumar dos o más dígitos que están en la misma posición se obtiene un número mayor a 9?

Recurrimos a lo que sabemos del sistema numérico decimal: 10 unidades forman 1 decena, 10 decenas forman una centena y así sucesivamente hacia la izquierda.

Veamos paso a paso:

   35
+ 47

Unidades: 5 + 7 = 12  Decenas: 3 + 4 = 7

   3     5
+ 4     7
   7   12

¡No podemos dejarlo así!

Conviene entenderlo de la siguiente forma, con la notación desarrollada de cada número, aunque reconozco que no es práctico escribir todo el tiempo las operaciones así y debe después recurrirse a un método más práctico, como los siguientes que mencionaré:

   30  +    5
+ 40  +    7
   70   + 12 = 84

Para no escribir tanto, podemos dejar sólo el 2 bajo el 7 y escribir sobre el 3 un pequeño 1, que representa a la decena (10 unidades) que no pudimos escribir bajo el 7. Cuando se está haciendo el cálculo se puede decir: “cinco más siete es doce, escribo el dos y llevo uno”.

Nota, no sé cómo hacer la letra más pequeña, así que escribiré el 1 auxiliar en rojo.

     1
     35
+  47
    82

Es muy importante que se identifiquen los números auxiliares que agregamos para hacer los cálculos, para poder distinguirlos de los números originales, para revisiones futuras de lo que escribimos. Al estarlo enseñando por primera vez, podemos usar otro color, como hice yo, y, más adelante, podemos dejarlo en lápiz, pero más pequeño, para que se note que no es parte del cálculo original:

Se le llama suma “con transformación” porque las 10 unidades se transforman en 1 decena y así sucesivamente.

Otra forma de hacerlo, que me mostraron hace poco, implica poner el número que “llevo” abajo, en vez de arriba, para lo cual es necesario dejar un espacio entre el último sumando y el resultado.

     35
 +  47
     1   
     82

El proceso de pensamiento y cálculo es el mismo.

Siempre y cuando se identifique claramente que el 1 se agregó después y que corresponde a las 10 unidades que no se pudieron escribir bajo el 7, con otro color u otro tamaño de número, me parece un proceso válido. Sólo que, por ser poco conocido, puede causar conflictos si un niño lo aprende así en casa y luego en la escuela se lo piden con el 1 arriba, o al revés, o al cambiar de grado o escuela.

Las sumas con transformación con números con decimales no requieren de ningún proceso diferente a las que se hacen con números enteros, más allá de alinear con cuidado el punto decimal. Si se desea, pueden completarse los ceros que no estén, pero no es indispensable en la suma:

46.8 + 25.93 =

  11
  46.80
+25.93
  72.73

Restas con transformación (“prestando» o «compensando”)

Bien, llegamos a la sección más delicada de esta entrada. La suma con “llevada” básicamente sólo puede hacerse de una forma. Aunque el número que «llevamos» se pueda escribir arriba o debajo de la operación, la justificación matemática es la misma: corresponde a aquella cantidad que no pudimos acomodar en cierta posición por exceder a 9.

En cambio, para los casos en los que el dígito en el sustraendo es mayor al del minuendo, en una posición dada, existen al menos dos procedimientos que son en esencia diferentes. A lo largo de la historia de la enseñanza de las matemáticas se ha cambiado de uno a otro, dado que cada uno tiene sus ventajas y sus desventajas. Cuando los papás aprendieron de una forma y los hijos aprenden de la otra, puede haber conflicto al tratar de ayudar a los hijos. Confío en que lo que voy a explicar aquí permita que papás y maestros entiendan ambos métodos y puedan usar ya sea el que más se les facilita o les haga sentido… o el que les pida la institución o el plan de estudios.

Resta «pidiendo prestado»

Ésta es la verdadera resta con transformación, sólo que es una transformación de izquierda a derecha (al revés de como se hace en la suma). Veamos un ejemplo hecho a mano para que se entienda mejor. Para restar 56 – 19:

Como en las unidades el 6 es más chico que el 9, entonces se requiere que de la siguiente posición le presten uno, que se transforma en 10 y se le suma al 6.

La resta puede quedar re-expresada y calculada así, escribiendo un pequeño 1 al lado del 6:

O así, tachando cada valor de antes de la transformación y escribiendo el valor transformado arriba. Pueden usar la forma que les deje más claro lo que están haciendo.

La ventaja de este procedimiento es que está basado en las propiedades del sistema numérico decimal, es un proceso más natural, inverso al de las “llevadas” en la suma y, por tanto, debería ser más fácil de recordar. También se puede enseñar de forma extendida, de esta manera:

La desventaja de este procedimiento es que existen operaciones en las que se requieren “préstamos” continuos y eso puede llegar a confundir al alumno si olvida alguno. Lo que se puede hacer para evitarlo es pedirle al estudiante que primero haga todas las transformaciones (préstamos) necesarios y después haga todas las restas. Puede ser necesario tachar dos veces en la misma posición. De esta forma:

El 4 se transforma en 14, para lo que el 3 se transforma en 2. Después el 2 se transforma en 12, para lo que el 10 se transforma en 09. Ya que todos los números en cada posición del minuendo son mayores que los del sustraendo, se procede a hacer la resta posición a posición: 1034 – 738 = 296.

Resta usando la “constancia de la resta”

Este título se lo acabo de poner yo, porque busqué en muchos sitios y vídeos y básicamente no encontré ninguna justificación matemática a este proceso en ninguno. Funciona, eso es claro. El por qué funciona no suele explicarse. Por ahí encontré que le llamaban «compensación», pero sin explicar claramente la justificación de dicha compensación. La esencia de este blog es explicar los por qué de las cosas, así que, reflexionando sobre el procedimiento, me di cuenta de que es un “atajo”, un proceso más “mecánico” (menos natural y, con ello, menos fácil de comprender su fundamento) que el anterior. Funciona gracias a un concepto que se llama “constancia de la resta” y que en sí es muy sencillo de entender:

Si 8 – 5 = 3 entonces 9 – 6 = 3 y  7 – 4 = 3

Esto es, si tengo la resta 8 – 5 y tanto a 8 como a 5 les sumo 1, el resultado de la resta se mantiene. Lo mismo que si a ambos les resto 1.

Por lo tanto, en vez de quitarle uno al dígito a las decenas del minuendo (dado que lo «prestó», según vimos en el apartado anterior) le agrego uno a las decenas del sustraendo y el resultado de la resta permanece.

Algunas propuestas que encontré en Internet sugerían poner un punto junto al dígito del sustraendo y contarlo como uno más, otras ¡borrar el número y escribir el siguiente con otro color! Yo creo que lo más adecuado, si se desea usar ese método, es escribir un pequeño +1 al lado del dígito y contemplarlo al restar.

La ventaja que tiene este método es que no se da el problema de tener que pedir prestado a los ceros, que puede resultar confuso para algunos (aunque considero que pidiendo prestado todo lo necesario desde un principio, se resuelve). No se tachan los números del minuendo para disminuir su valor, sólo para agregarle diez unidades.

Yo le veo dos desventajas: la primera es que no es tan natural ni apegado al sistema numérico decimal y, por tanto, requiere más mecanización que comprensión del proceso, lo cual no es bueno a la larga. La segunda es que el problema del tachado no se elimina por completo, dado que, si en el sustraendo hay un 9 y se le necesita sumar un 1, eso lo lleva a 10, lo que implica pensar en el dígito como un 0 y en poner un +1 en el siguiente dígito. Reitero, es menos natural, aunque funciona.

Restas con complementos

Existe otro método que conocí en otro blog (ver aquí) y que se basa en los complementos a números cercanos más fáciles de manejar 100, 500, 1000, etc. Lo presentaré explicando su fundamento matemático, como todo en este blog. No es común, ni tan práctico, pero es útil para desarrollar el sentido numérico (ver más aquí) y para proponer retos a los alumnos que acaban muy pronto con los cálculos de las otras formas.

Tenemos esta resta:

85 – 76 =

Le sumamos un cero intermedio formado por la resta de dos cienes: 0 = – 100 + 100, lo cual no cambia el resultado (ver más sobre el cero como elemento neutro de la suma aquí).

85 – 100 + 100 – 76 =

Realizamos la última operación, que resulta relativamente sencilla: 100 – 76 = 24. Las  unidades se calculan con lo que falta para 10, y las decenas con lo que falta para 9 (por aquellos de los préstamos).

Nota, por jerarquía de las cuatro operaciones básicas (ver más aquí) es válido hacer esa resta primero y también es válido hacer lo siguiente:

Nos queda esta operación: 85 – 100 + 24. Sumamos 85 + 24 = 109 y luego le restamos 100, que es una resta muy sencilla: 109 – 100 = 9

Listo: 85 – 76 = 9

No dije que fuera más rápido, solo dije que es otra forma de hacerlo, que puede ser útil para quien quiera profundizar su sentido numérico.

Podemos hacerlo con el complemento a 500, si los números están muy lejos del 1000

453 – 267 = 453 – 500 + 500 – 267

500 – 267 = 233 (complementos a 4, a 9 y a 10, por los préstamos)

453 + 233 – 500 = 686 – 500 = 186

Breve paréntesis sobre los números negativos:

En varias explicaciones sobre la resta leí que “se pone el número más grande arriba”. Eso está expresado de forma imprecisa. Aunque el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma (5 + 3 = 3 + 5 = 8), el orden de los números que se restan sí altera el resultado de la resta. Se debe respetar cómo están escritos:

Si la operación es:

5 – 3 =

Se escribe:

 5
-3
 2

El número que va arriba es el primero, NO el más grande.

En cambio, si la operación es:

3 – 5 =

Se escribe:

  3
– 5

No puede hacerse así, el 3 es más pequeño que el cinco y no hay un número a la izquierda para prestarle. Entonces, siendo conscientes de lo que estamos haciendo, debemos hacer la resta intercambiando minuendo y sustraendo y después dándole un signo negativo a la respuesta:

 5
-3
 2

3 – 5 = -2

Con este paréntesis no pretendo sugerir que se enseñen los números negativos en primaria, sólo que comprendamos el cuidado que necesitamos tener al expresarnos para no sobregeneralizar erróneamente.

Cuando aún no se trabaja con números negativos, al acomodar los números para hacer la operación, lo que importa es que arriba va el que está ANTES del operador resta y debajo va el que está DESPUÉS.

Cuando ya se trabaja con números negativos, al acomodar los números para hacer la operación, arriba va el más grande, abajo el más pequeño y el signo de la respuesta depende de cómo estaba planteada la pregunta: grande menos pequeño: respuesta positiva, pequeño menos grande: respuesta negativa. Puede también entenderse de otras formas, pero esa entrada la dejaremos para una entrada específica sobre números negativos.

Para cerrar

Los invito a que siempre busquen identificar las justificaciones matemáticas de todos los algoritmos que usen. Es uno de los objetivos más importantes de este blog, proporcionar esas justificaciones matemáticas, desde por qué se recorre el punto al dividir (ver aquí) hasta por qué se duplica el número al obtener la raíz cuadrada (ver aquí). Si conocen las justificaciones, pueden evitar enseñar con atajos con poco fundamento, que pierden sentido en temas matemáticos posteriores. Así le ayudan tanto al alumno como al profesor del siguiente ciclo escolar. Hagamos una comunidad en la que todos nos preocupemos porque la forma en que enseñamos sea la mejor no sólo para el siguiente examen que presentarán nuestros alumnos, sino para toda su vida académica.

Si existe algún algoritmo del cual no conozcan su justificación matemática, pueden contactarme para pedirme que escriba sobre eso, así como hice hoy sobre el algoritmo de la resta basada en la “constancia de la resta”. Si alguno de ustedes conoce otra justificación de ese algoritmo en particular, le agradeceré que la comparta en los comentarios.

Como siempre, gracias por leer la entrada y por compartirla a quienes pueda resultar útil.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer