Listo, después de aprender sobre el tema la semana anterior, nos hemos vuelto hábiles con las reglas de tres directas e inversas. Ahora nos proponen un problema que parece como de regla de tres, pero no tiene tres, sino ¡cinco! datos. ¿Qué hacemos?

En la entrada anterior (ver aquí) vimos cómo distinguir si un problema se resuelve por regla de tres, cómo diferenciar una regla de tres directa de una inversa, cómo resolver ambas y qué cuidados tener. En esta entrada veremos la continuación del tema y aprenderemos a plantear y resolver problemas de regla de tres compuesta, con cinco, siete y, ¿por qué no?, nueve datos conocidos y uno por averiguar. 

¿Qué es una regla de tres compuesta?

Se le llama regla de tres compuesta a las distintas combinaciones de dos o más reglas de tres simples, tanto directas como inversas (por si se preguntaban por qué una foto con un pastel de tres sabores combinados como imagen principal).

Por lo tanto, es muy importante tener claro, primero, la esencia de las reglas de tres simples y, después, la forma en la que éstas se combinan para resolver el problema.

Confieso que yo enseñaba esto antes de una manera un poco distinta a como lo presentaré aquí. Me di a la tarea de analizar las distintas estrategias propuestas en libros y vídeos y llegué a un proceso que es un poco diferente a todo lo que pude encontrar, pero que considero que permite entender bien lo que se está haciendo y resolver los problemas en la menor cantidad de pasos posibles, lo cual minimiza el tiempo empleado y los errores que se puedan cometer.

Breve recordatorio de lo presentado en la entrada anterior

En una regla de tres directa, si la cantidad A crece, la cantidad B también crece y viceversa. Y ambas lo hacen en una proporción constante (ambas al doble, la mitad, etc.). Se usa en problemas en los que dos cantidades crecen o decrecen en la misma proporción.

En una regla de tres inversa, si la cantidad A crece, la cantidad B decrece y viceversa. Si una se multiplica por dos, la otra se divide entre dos y viceversa. Se usa en problemas en los que se reparte algo.

A y B son cantidades que varían de la primera situación a la segunda que nos plantean.

 ¿Cómo se reconoce que un problema se resuelve con una regla de tres compuesta?

Conviene analizar el problema acomodando la información en un esquema y determinando cómo varían las variables (de ahí su nombre). Si todas las variaciones son directa o inversamente proporcionales, entonces se trata de un problema de regla de tres compuesta.

Presentaré varios ejemplos para que puedan comprender cómo resolver distintas combinaciones.

Procedimiento básico

Se comienza por leer el problema y anotar los nombres de las variables como encabezados de columnas. Nota importante: las variables representan cantidades, por lo tanto, todo lo que anotemos debe representar algo que pueda contarse. Así nos vamos preparando para plantear adecuadamente las ecuaciones algebraicas.

Para hacer más fácil la solución matemática del problema, conviene que el primer nombre que anotemos sea aquel de la variable cuyo valor desconocemos (incógnita). El orden del resto de las variables ya no es trascendente.

Esto implica leer todo el problema una primera vez hasta dar con la incógnita, o valor que no conocemos, pero es un tiempo bien invertido porque una segunda lectura para anotar las demás variables y una tercer lectura para anotar los valores harán que tengamos una comprensión más completa del problema y que estemos seguros de haber considerado todo lo relevante del mismo.

Como otra estrategia para hacer más fácil la solución matemática, conviene poner la incógnita (podemos identificarla como x) y todos los datos que la acompañan en el primer renglón y los datos que conocemos completos en el segundo renglón.

Dedicando tiempo a acomodar la información de esta forma, facilitamos mucho el encontrar la solución.

Veamos un ejemplo sobre esta parte del procedimiento antes de seguir adelante.

15 carpinteros pueden fabricar 60 mesas en 8 horas. ¿Cuántas mesas podrán fabricar 36 carpinteros en 12 horas?

Revisamos el problema y notamos que la pregunta es la cantidad de mesas, así que escribimos ese nombre hasta la izquierda y después los demás:

Mesas     Carpinteros    Horas

Anotamos la incógnita (x) y los datos que la acompañan en el primer renglón y los datos que tenemos completos en el segundo:

Mesas     Carpinteros   Horas

x               36                    12

60             15                      8

El siguiente paso es identificar cómo se relacionan las variables conocidas con la desconocida, directa o inversamente, una a una, imaginando que el resto de los datos no varía. Se hace de esta manera:

Si tenemos una cantidad fija de horas, ¿para fabricar más mesas se necesitan más carpinteros, en la misma proporción? Como la respuesta es sí, las variables carpinteros y mesas se relacionan de forma directa.

Si tenemos una cantidad fija de carpinteros, ¿para fabricar más mesas se necesitan más horas, en la misma proporción? Como la respuesta es sí, las variables horas y mesas se relacionan de forma directa.

Una vez identificado eso, recordamos cómo se podía reescribir una regla de tres directa como proporción constante:

Usamos esa misma estructura para acomodar los datos que tenemos, dejando los correspondientes a la incógnita del lado izquierdo del igual y todos los demás del otro lado, multiplicándolos. Así:

Después multiplicamos por 60 a ambos lados del igual y simplificamos la expresión:

Ver más sobre solución de ecuaciones lineales, para determinar el valor de la incógnita, aquí  y sobre cómo simplificar antes de multiplicar aquí. Se puede simplificar el 60 con el 15, el 36 con el 8, etc.

La respuesta es: 216 mesas. (Recordemos a los alumnos la importancia de incluir las unidades en las respuestas, para que estén completas y para apoyarnos en la revisión de que sean respuestas lógicas).

Nota: conviene aclarar a los alumnos, según aquello de lo que trate el problema, que se habla de, por ejemplo, mesas iguales y trabajadores con habilidades iguales que trabajan al mismo ritmo todo el tiempo, para que el planteamiento sea matemáticamente válido.

Lo sé, la esencia de este blog es explicar por qué funcionan los procedimientos matemáticos que presento, así que pasemos a un:

Breve paréntesis algebraico para entender el procedimiento

Si hiciéramos el procedimiento anterior en dos pasos, ocurriría esto:

Tenemos el planteamiento en el que desconocemos la segunda A y ambas son proporciones directas:

Resolvemos primero la regla de tres de los datos A y B:

La respuesta corresponderá al primer dato C, dado que el renglón de abajo es el que tenemos completo:

(En el ejemplo anterior sería: si 15 carpinteros hacen 60 mesas en 8 horas, ¿cuántas mesas harán 60 carpinteros en las mismas 8 horas? La respuesta es 144.

Y ahora planteamos, si 60 carpinteros hacen 144 mesas en 8 horas, ¿cuántas mesas harán  los mismos 60 carpinteros en 12 horas? Lo cual se vería, algebraicamente, así:

Y se resolvería así:

Que es, con un orden de factores ligeramente distinto que no afecta el resultado, lo mismo que hicimos acomodando todas las proporciones conocidas al lado derecho del igual y la desconocida al izquierdo y obteniendo el valor de x.

La respuesta es: 216 mesas.

Es necesario cuidar cómo acomodamos la información cuando las proporciones son directas y cuando son inversas. En seguida veremos un ejemplo.

Fin del paréntesis algebraico.

Procedimiento con proporciones directas e inversas combinadas

Veamos este problema: 16 pintores tardaron 9 días, trabajando 6 horas diarias, en pintar 60 metros de una barda que rodea un terreno. ¿Cuántos días tardarán 20 pintores, trabajando 8 horas diarias en pintar los 200 metros de pared que restan por pintar?

El dato que nos preguntan es el número de días, por lo tanto, esa será la primera columna. Las demás las acomodamos conforme las vamos encontrando en el texto y abajo ponemos los datos, recordando dejar la incógnita arriba a la izquierda:

Días        Pintores     Horas   Metros de barda

x                20               8            200

9                16                6             60

Ahora veamos como se relacionan las variables:

Con horas y metros de barda fijos, mientras más días, se requieren menos pintores, por lo tanto, días y pintores se relacionan de forma inversa.

Con cantidad de pintores y metros de barda fijos, mientras más días, se requieren menos horas, por lo tanto, días y horas se relacionan de forma inversa.

Con cantidad de pintores y horas fijos, mientras más días, se pueden pintar más metros de barda, en la misma proporción, por lo tanto, días y metros de barda se relacionan de forma directa.

Acomodamos la expresión de la siguiente manera:

Noten que lo del lado izquierdo siempre se escribe con la x en el numerador y el resto de las proporciones se acomodan según su relación con la incógnita. Si la relación es inversa, como en el caso de los pintores y las horas, se invierten los datos. Si la relación es directa, como en el caso de los metros de barda, se dejan como están.

Después se multiplica por 9 a ambos lados del igual y se simplifica la expresión:

Como mencioné en el ejemplo anterior,  conviene simplificar antes de multiplicar, por ejemplo, el 200 con el 20, el 16 con el 8, el 6 con el 60, etc, hasta que sólo queden unos en el denominador y un 2 y un 9 en el numerador. Así se llega rápidamente al 18.

La respuesta es: 18 días.

Otros ejemplos

Con gallinas y huevos

Este es un ejemplo que se usa comúnmente, con algunas variaciones en los datos, porque es algo capcioso: Si 9 gallinas ponen 9 huevos en 9 días, ¿Cuánto tardarán 27 gallinas en poner 27 huevos?

Acomodemos la información:

Días     Gallinas    Huevos

x           27              27

9             9                9

Para poner una cantidad fija de huevos, mientras más días se requieren menos gallinas: relación inversa entre días y gallinas.

Para una cantidad fija de gallinas, mientras más días se ponen más huevos, en la misma proporción: relación directa entre días y huevos.

El planteamiento queda así:

Y la solución así:

La solución es: 9 días. 

Si creyeron que la solución era 27 días es porque, probablemente, no se detuvieron a analizar lo siguiente: el planteamiento inicial implica que una gallina pone un huevo cada 9 días, por lo que 9 gallinas pondrán 9 huevos en 9 días, y, en esos mismos días, si se tienen 27 gallinas (el triple), éstas pondrán 27 huevos (el triple).

Nota: no sé mucho de gallinas, creo que ponen huevos más seguido, pero como me encanta el número 9 decidí usarlo para el ejemplo.

Con gorros tejidos

Y ahora intentaré crear un problema con ¡9 datos! y una incógnita. Va para todas mis amigas tejedoras:

Si 2 equipos de 30 tejedoras, trabajando 8 horas diarias, durante 12 días, tejen 2880 gorros, ¿cuántos días, trabajando 6 horas diarias, deberán trabajar 3 equipos de 15 tejedoras para tejer 2700 gorros?

Días    Equipos    Tejedoras     Horas     Gorros

x            3                  15                     6               2700

12          2                  30                     8              2880

Analicemos las relaciones, pensando que todo lo demás es constante:

Mientras más días, menos equipos se necesitan: inversa.

Mientras más días, menos tejedoras se necesitan: inversa.

Mientras más días, menos horas se necesitan: inversa.

Mientras más días, más gorros se tejen: directa.

El planteamiento queda así:

Y se resuelve así:

La respuesta es: 20 días

Con tornillos

Si una máquina fabrica 54 000 tornillos de 2 pulgadas en 6 días trabajando 12 horas, ¿cuántos tornillos fabricará en 26 días, trabajando 12 horas?

Tornillos    Días     Horas  Máquinas

x                    26         12           1

54 000            6          12           1

Incluí este ejemplo porque tiene datos que no son relevantes y es conveniente aprender a distinguirlos para que evitar confundirnos. Como es la misma máquina y son las mismas horas, 12, no es necesario tomar esos datos en cuenta. El hecho de que sean tornillos de 2 pulgadas tampoco es relevante. Así, nos quedan solamente tres datos relevantes, referidos al número de días y número de tornillos, que se relacionan de forma directa, dado que a más días se fabrican más tornillos, en la misma proporción.

Por tanto, se trata de un ejercicio de regla de tres directa que se resuelve como:

x = 54 000 ⋅ 26 / 6 = 234 000

La respuesta es: 234 000 tornillos

Para cerrar

Elaborar esta entrada fue muy interesante, dado que varios de mis alumnos insistían en que ellos habían aprendido un método en la preparatoria que era distinto al que yo enseñaba (con pasos sucesivos, como en el paréntesis algebraico que incluí) pero no lograban explicarme cómo funcionaba su método, porque lo habían memorizado sin entenderlo en su momento, lo cual los llevó a olvidarlo.

Me di a la tarea de buscar cuál podría ser ese método y di con varios procedimientos, muchos de ellos muy mecánicos, con base en los cuales construí el que aquí presenté. Confío en que les haga sentido y con ello, sin necesidad de memorizar pasos sin conexión clara, puedan recordar la lógica que se sigue y aplicarla fácilmente en el futuro.

Muchas gracias también por leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les puede resultar útil lo que escribo.

Por favor, escríbanme si tienen alguna duda y/o si quieren sugerirme temas que deseen que aborde en futuras entradas.

Hasta la próxima semana.

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas dos páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: https://pixabay.com/ http://webresizer.com/

Para esta entrada hice muchas imágenes matemáticas en Word.