Estrategias didácticas unificadoras alrededor de un número: el uno punto cinco (1.5)

Esta es la entrada 79 del blog, que es relevante porque se publica exactamente año y medio después de la primera entrada, que vio la luz el 24 de enero de 2018. Buscando ideas para el tema de hoy, pensé en centrarlo en el número uno punto cinco.

¿Qué tanto se puede decir alrededor de este número?

Será una entrada un poco ecléctica, en la que aprovecharemos para puntualizar, entre otros temas, sobre distintas representaciones numéricas. Sigan leyendo para saber lo que se me ocurrió a mí. Compartan en los comentarios lo que se les ocurra a ustedes, por favor.

Ceros a la derecha e izquierda

Normalmente el cero a la izquierda en números enteros no se escribe, sin embargo existen casos en los que es necesario hacerlo. Cuando se está haciendo un listado con una letra y números, que será ordenado automáticamente, regularmente será necesario escribirlo así:

T01
T02

T10
T11

Por su parte, el cero a la derecha en números decimales no suele escribirse, aunque en ciertos casos se hace, por estética, como en los precios de los productos:

$1.50

(Ver más sobre el sistema numérico decimal aquí)

Otra razón para agregar un cero a la derecha en los números con decimales es evitar confusiones al hacer una resta:

1.50 –
0.15 =
1.35

(Ver más sobre operaciones con números decimales aquí y sobre sumas y restas con transformación aquí)

Fracciones (números racionales)

Escribir en el sistema numérico decimal 1.5 sólo puede variar, sin modificar su valor, si se le agregan ceros a la izquierda o a la derecha. Sin embargo, escribir un número racional (fracción) que sea equivalente a 1.5 se puede hacer de infinitas formas. Simplemente se eligen una combinación de numerador y denominador que, al dividirse, resulten en 1.5:

3/2 sería la forma simplificada, a partir de ahí, podemos encontrar:

6/4, 9/6, 12/8 … noten que todos tienen un denominador par (múltiplo de dos) y un numerador múltiplo de 3, porque todos son múltiplos de 3/2.

(ver más sobre fracciones aquí, sobre simplificación y amplificación de fracciones aquí)

Números mixtos

Al ser un número mayor a la unidad, 1.5 se puede representar como un número mixto:

1 ½ sería la forma más simplificada, aunque, nuevamente, se puede encontrar:

1  2/4, 1  3/6, 1  4/8 , … nuevamente, todos los denominadores son múltiplos de dos (pares).

Operaciones para practicar el sentido numérico basadas en el 1.5

(ver más sobre sentido numérico aquí y aquí)

Un juego que me gusta mucho practicar con mis hijos y alumnos es formar un número a partir de operaciones con otros números. Veamos qué se puede hacer con el 1.5:

Si limitamos a sumas con números expresados hasta décimos, la variedad de opciones es pequeña:

1.4 + 0.1, 1.3 + 0.2, 1.2 + 0.3, 1.1 + 0.4, 1 + 0.5, 0.9 + 0.6, 0.8 + 0.7 y en el orden inverso.

Ah, y el neutro aditivo, claro: 1.5 + 0

Sin embargo, si dejamos libre el número de decimales con los que se puede hacer la suma, las opciones se vuelven infinitas:

1.49 + 0.1, 1.499 + 0.001, 1.4999 + 0.0001…

Con la multiplicación pasa algo similar. Si la limitamos a números expresados hasta décimos, tendremos pocas opciones:

5 * 0.3, 2.5 * 0.6, 3 * 0.5 y en el orden inverso. Ah, y el neutro multiplicativo, claro: 1.5 * 1.

¿Olvido alguna?

Nuevamente, si dejamos libre el número de decimales, las opciones se vuelven infinitas:

1.25 * 1.2, 0.625 * 2.4, 0.3125 * 4.8 …

Con la resta y la división no hay límites de opciones, ni siquiera cuando se restringe el número de decimales, pues siempre se podrá encontrar dos nuevos números que, restados o divididos, den 1.5.

Porcentajes

Debemos tener cuidado al expresarnos cuando usamos porcentajes, al plantear problemas a nuestros hijos y alumnos:

El 1.5 se representa como 150% en porcentaje.

achievement-18134_640_opt.jpgSi algo está 50% más caro que antes, se puede decir que cuesta 150% de su valor original.
En cambio si se dice que algo está 150% más caro que antes, entonces cuesta ¡250% de su valor original!

También se puede expresar en “veces”:

Si el dinero de Juan es 1.5 veces el dinero de Pedro, significa que Juan tiene 50% más dinero que pedro. Pero si se dice que Juan tiene 1.5 veces más dinero que Pedro, entonces tiene 150% más, o sea que el dinero de Juan es 250% del dinero de Pedro.

Busquemos que nuestros hijos y alumnos comprendan estas diferencias.

(ver más sobre porcentajes aquí)

Cambio de unidades en el sistema métrico decimal

Si tenemos unidades que se lean en el sistema métrico decimal (metros y gramos), cambiar a la unidad inferior es sencillo, sólo se mueve el punto decimal una posición:

1.5 metros es igual a 15 decímetros
1.5 gramos es igual a 15 decigramos

(Ver más sobre unidades de medida en el sistema internacional aquí)

Cambios de unidades en otros sistemas

En este caso, se ponen más interesantes las conversiones.

Veamos, por ejemplo, las equivalencias de las unidades de longitud en el sistema inglés:

1 legua = 3 millas = 24 estadios = 240 cadenas = 960 varas
1 milla (mi) = 8 estadios = 80 cadenas = 320 varas = 1760 yardas
1 estadio = 10 cadenas = 40 varas = 220 yardas = 660 pies
1 cadena = 4 varas = 22 yardas = 66 pies = 792 pulgadas
1 vara = 5.5 yardas = 16.5 pies = 198 pulgadas
1 yarda (yd) = 3 pies = 36 pulgadas
1 pie (ft) = 12 pulgadas

Por lo tanto:

nature-3112448_640_opt1.5 leguas son 4.5 millas
1.5 millas son 12 estadios
1.5 estadios son 15 cadenas
1.5 cadenas son 6 varas
1.5 varas son 8.25 yardas
1.5 yardas son 4.5 pies
1.5 pies son 18 pulgadas

Noten como, a lo largo de todas las conversiones de esta entrada, se requiere que la equivalencia sea par para que el 1.5, al convertirlo a la siguiente unidad, sea un número entero.

Ahora las unidades de capacidad:

1 galón (gal) = 4 cuartos
1 cuarto (qt) = 2 pintas
1 pinta (pt) = 2 tazas
1 taza ( c ) = 8 onzas fluidas

Por lo tanto:

1.5 galones = 6 cuartos
1.5 cuartos = 3 pintas
1.5 pintas = 3 tazas
1.5 tazas = 15 onzas fluidas

(ver más sobre sistemas de unidades aquí)

En las unidades de tiempo

day-2173896_640_opt1.5 siglos son 15 décadas, 30 lustros y 150 años
1.5 décadas son 3 lustros y 15 años
1.5 lustros son 7.5 años

¡1.5 años son 18 meses! Toda la entrada gira alrededor de esta conversión, que me encanta porque además el 18 es múltiplo de 9 (ver más sobre el 9 y sus características aquí)

1.5 meses (de 30 días) son 45 días
1.5 días son 36 horas
1.5 horas son 90 minutos
1.5 minutos son 90 segundos

Como vimos antes, 3 es un “factor” de 1.5, por lo que al multiplicarlo por otro número con factor 3, como el 12, el 30 y el 60, obtenemos números múltiplos de 9 (18, 45, 90 respectivamente).

(ver más sobre el calendario aquí y sobre el reloj aquí).

Generación uno punto cinco

Buscando ideas en Internet alrededor del uno punto cinco, me topé con un artículo de Carles Feixa que menciona que hay una generación llamada así: uno punto cinco, la cual contempla a aquellas personas que nacieron en una sociedad pero crecieron en otra. Yo las generaciones las conocía diferente, Millenials, Centennials, etc. (ver más sobre los centennials aquí). Todos los días se aprende algo nuevo.

A medio camino

El uno punto cinco es útil, como en el caso anterior, para señalar que algo está a medio camino entre el 1 y el 2. Se puede calcular de dos formas, agregando al primer valor la mitad de la diferencia entre 1 y 2, es decir, agregando 0.5 a 1, u obteniendo su promedio: (1 + 2) / 2 = 1.5. Sobre promedios escribiré más adelante.

En otras numeraciones

Hay poca información sobre los números menores a 1 en otras numeraciones, pero en Wikipedia podemos encontrar que ½ se escribe en números romanos con una S.
Por lo tanto, al escribir 1.5 en romano (a mano y con poco cuidado) se vería muy parecido (sólo que sin el punto): IS

(ver más sobre números romanos aquí)

Encontré en otra página de Internet (ver aquí) que 1.5 días se dice así en maya:
xel u ca kin bé = -1/2 + 2 días = 1 1/2 días;

En los números egipcios, según entiendo en Wikipedia, 1.5 se escribiría así:

1.5 egipcio.JPG

¿En qué otras numeraciones que conozcan se usaban las fracciones? ¿Cómo se escribe 1.5?

En otras bases

1.5 tiene la característica de poderse escribir de forma exacta en base 2, dado que 0.5 es 2^(-1).

Por tanto 1.5 en base 10 es 1.1 en base 2

(ver más sobre números binarios aquí y aquí)

También se puede escribir de forma exacta en base 8, dado que 8 tiene mitad: 4

Por tanto, 1.5 en base 10 es 1.4 en base 8

Por la misma razón, se puede escribir de forma exacta en base 16:

1.5 en base 10 es 1.8 en base 16

Como verán, en cualquier base que sea par, el 1.5 podrá escribirse de forma exacta.

A propósito de bases, una curiosidad sobre el 1.5 y sus potencias

(me parece que no es exclusiva de este número).

Al elevar 1.5 a la potencia 0, se obtiene un número con cero decimales: 1
Al elevar 1.5 a la potencia 1, se obtiene un número con un decimal: 1.5
Al elevar 1.5 a la potencia 2, se obtiene un número con dos decimales: 2.25
Al elevar 1.5 a la potencia 3, se obtiene un número con tres decimales: 3.375

Ojo: aunque parezca que, a partir de la primera potencia, la unidad del resultado es igual a la potencia (3 en este último caso), eso deja de ser cierto a partir de la potencia 4:

Al elevar 1.5 a la potencia 4, se obtiene un número con cuatro decimales, pero que no empieza con cuatro: 5.0625

Encontrar estos patrones, a través del análisis de los resultados calculados, ayuda a desarrollar tanto el pensamiento lógico matemático (ver más aquí y aquí).

A propósito de exponentes, un pequeño paréntesis sobre logaritmos y antilogaritmos

Ya que estamos interesados en revisar el 1.5 en diversos temas matemáticos, veamos qué ocurre con los logaritmos:

El logaritmo base e de 1.5 es 0.4055
El logaritmo base 10 de 1.5 es 0.1761

Por su parte, e^1.5 = 4.4817
y 10^1.5 = 31.6228

(ver más sobre logaritmos y exponentes aquí, aquí y aquí)

¿Y los ángulos?

En la entrada pasada (ver aquí) vimos que un pequeño ángulo puede implicar un desvía importante.

child-1721906_640_optPor ejemplo, un pequeño ángulo de 1.5° de desvío de una línea de 1.5 km hará que el final quede a unos ¡39 metros! de donde debía de quedar originalmente.

En cambio, un ángulo de 1.5 radianes es enorme, equivale a 85.9435°, cercano a un ángulo recto, por estar muy cerca a la mitad del valor de pi. Un ángulo de desvío de ese tamaño no pasa desapercibido por pequeña que sea la distancia avanzada, como en la imagen.

¿Cuál fue el objetivo de esta entrada?

check-list-2304921_640_opt.pngEn la búsqueda de facilitar la “transmisión” de conocimientos y la estandarización de la enseñanza, se puede considerar que se convirtió a la matemática en una lista de temas a cubrir dentro de las clases, aislados unos de otros. Estudié Ingeniería Industrial, así que le veo la ventaja a ese enfoque. Sin embargo, tiene también sus desventajas, como el que los alumnos no logren conectar unos conocimientos con otros.

Por eso pensé en dedicar la entrada correspondiente al aniversario 1.5 del blog a un enfoque diferente. En vez de un solo tema y muchos números distintos, un solo número y muchos temas, tratando de hilarlos de alguna manera. Confío en que esta idea un poco loca les detone algunas ideas un poco más prácticas para hacer algo similar en sus clases o con sus hijos, de forma tal que puedan ver a las matemáticas como un entretejido de temas relacionados, como el bello atrapasueños que ilustra esta entrada.

Para cerrar

Cada que el tema lo permite, hago una referencia a algo dulce. Por ejemplo, pensemos en este problema:

brownie-548591_640_opt.jpgSi se necesita una charola de brownies para una fiesta con 8 invitados, ¿Cuántas charolas de brownies se necesitan para una fiesta con 12 invitados?

Charola brownies    Invitados
1                                    8
x                                  12

x = 12 * 1 / 8 = 1.5 charolas

Si tendremos un 50% más de invitados, necesitamos preparar un 50% más de brownies.

Ver más sobre reglas de tres directas, inversas y compuestas aquí y aquí

Como siempre, muchas gracias por leer y ayudarme a compartir el mensaje estos 18 meses. Confío en que cada vez más personas logren una mejor relación con las matemáticas gracias a que las entienden mejor. Confío en que el atrapasueños de la imagen que encabeza esta entrada atrape este sueño mío y lo convierta en realidad.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

 

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