Ésta es la entrada 115 de este blog. Por fin la podré dedicar, aunque sea de forma breve, a la sucesión de Fibonacci, toda vez que ya estoy un poco más encarrilada con la dinámica de las clases a distancia para mis alumnos y mis hijos.

Desde la 112 quise escribir sobre este tema, pues 1, 1, 2 se consideran los primeros tres términos de dicha sucesión, pero una serie de sucesos que sucedieron retrasaron la escritura hasta hoy,

Al reflexionar para escribir esta entrada, me di cuenta de que casi no he tocado el tema de la historia de las matemáticas, quizá porque me he enfocado en conceptos prácticos académicos, sin pensar deliberadamente en incluir algo de historia. Intentaré mencionar más elementos históricos que conozca de aquí en adelante, ya que una buena historia siempre ayuda a interesarse y aprender mejor un tema.

Conozcamos un poco de esta sucesión y su descubridor.

Antes de comenzar, quiero mencionar que, en ocasiones, la llaman serie de Fibonacci, aunque realmente las sucesiones son un listado de números, como en este caso, y las series son una suma de números. Pueden ver más sobre sucesiones, series y patrones aquí y sobre cómo encontrar el patrón de una sucesión o una serie aquí.

Leonardo de Pisa (sí, la misma ciudad con la Torre Inclinada) vivió del año 1170 al 1240. Se le conocía también como Fibonacci, o hijo del hombre bondadoso, pues su padre lo era. Leonardo descubrió, en los múltiples viajes de comercio que hacía con su padre, la numeración indo-arábiga con su sistema de numeración base diez (ver más aquí). Le pareció tan práctica que la llevó a Europa, aunque tardaron en aceptarla, pues estaban muy acostumbrados a los números romanos (ver más aquí).

Además de eso, Fibonacci, al responder a un reto que le plantearon, dio con la sucesión que comentaremos hoy y la publicó en un libro, por lo que ahora la conocemos por su nombre.

El reto iba más o menos así: si se tiene una pareja de conejos que, a partir de su segundo mes de vida, cada mes puede procrear otra pareja de conejos que, nuevamente a partir de su segundo mes de vida, cada mes procrearán una nueva pareja de conejos, ¿cuántos pares de conejos habrá al final del primer año?

Veamos cómo empezaría:

1             El primer mes se tiene la primera pareja

1             El segundo mes, la misma pareja

2             El tercer mes, la pareja original más la primera que procrearon

3             El cuarto mes, la pareja original, más la primera y la segunda que procrearon

5             El quinto mes, la pareja original, más las tres que han procreado, más la primera que procreó la primera pareja nacida de ellos

8

13

21

34

55

89

144  En el doceavo mes habrá 144 parejas de conejos, siguiendo las condiciones arriba mencionadas.

Esas cantidades de conejos que habrá mensualmente pueden seguirse calculando infinitamente y forma, justamente, la sucesión de Fibonacci. Observen que, para saber el siguiente término, sólo se suman los dos anteriores.

Además de los conejos, que es un caso utópico, pues sería raro que ocurriera de esa forma exacta, en la naturaleza hay casos observables de números de Fibonacci que aparecen por aquí y por allá, como en la forma en la que se acomodan las hojas en las ramas de un árbol, o en la flor de girasol, cuyas semillas se acomodan, por ejemplo, en 21 espirales en un sentido y 34 en el otro, dos números consecutivos de Fibonacci. Algo interesante es que esos acomodos siempre son los más eficientes, tanto para que a todas las hojas les dé el sol, como para que quepan la mayor cantidad de semillas en el centro de una flor.

El árbol genealógico de una abeja también tiene “ramas” que siguen estos números

Eduardo Saénz de Cabezón tiene un vídeo muy interesante donde lo explica, pueden verlo aquí:

En ese vídeo, Edu habla de algunas características interesantes de la sucesión, que pondré aquí, comentando la razón que yo encuentro para que eso ocurra.

Nota, las explicaciones pueden parecer un trabalenguas, léanlas despacio, por favor, observando los números correspondientes sobre la marcha.

Pongamos los primeros números de la sucesión aquí:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765…

Nota: en algunas fuentes, la sucesión empieza en 0, aunque se considera el término cero de la misma. La forma de calcular cada siguiente término no cambia; para las conclusiones que haremos aquí, no lo consideraremos.

Pueden observar que:

Sólo una tercera parte de los términos es par

Esto ocurre porque empieza con dos nones, y non más non es par, pero par más non es non, luego non más par es non otra vez y hasta el tercer término ocurre que non más non es par.

Al no haber pares consecutivos, sólo cada que se suman dos nones se obtiene un par y eso ocurre una de cada tres veces:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765…

Sólo una cuarta parte de los términos es múltiplo de 3

Esto ocurre porque si a un múltiplo de 3 le sumas un no-múltiplo de 3, obtienes un no-múltiplo de 3, pero no todas las sumas de no-múltiplos de 3 dan múltiplos de 3 (a diferencia de los no-múltiplos de 2, que sumados siempre dan un múltiplo de 2).

Necesita ocurrir, por ejemplo, que a un número al que le sobra uno para ser múltiplo de 3 se le sume un número al que le falta uno para ser múltiplo de tres, con lo cual se anulan el sobrante con el faltante y queda un múltiplo de tres y eso sólo ocurre una vez en cada 4 números de la sucesión.

Al principio, al número anterior al múltiplo de 3 le falta uno para ser múltiplo, al sumarlo con un múltiplo, al nuevo número también le falta uno. Pero al sumar dos que les falta uno, resulta en uno que le faltan dos, que es lo mismo que decir que le sobra uno, por lo que en la siguiente suma ya tenemos otro múltiplo de 3. El siguiente bloque de números sigue un patrón un poco diferente en cuanto a lo que le sobra o le falta a cada número para ser múltiplo de 3, pero la idea general es la misma.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765…

Dado lo anterior, sorprende un poco que, al igual que en los naturales, una quinta parte de los números de Fibonacci es múltiplo de 5

Esto ocurre por una razón similar a la anterior. Al número anterior al primer múltiplo de 5 le faltan 2 para ser múltiplo, y, por tanto, al siguiente y al siguiente también. El siguiente, por tanto, le sobra uno y, al siguiente le falta uno, lo cual se compensa y ¡listo! El siguiente ya es múltiplo de 5. También aquí, el siguiente bloque de números sigue un patrón un poco diferente en cuanto a lo que le sobra o le falta a cada número para ser múltiplo de 5, pero la idea general es la misma.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765…

Se podría hacer un análisis similar para ver qué tan seguido hay múltiplos de 7, que son uno de cada ocho.

Me parece, por lo que observo, que si se busca en qué posición está el primer múltiplo, se sabrá cada cuántos elementos hay un múltiplo igual, por lo menos eso se nota en los primeros primos:

El 2 es el tercer término, uno de cada tres números es múltiplo de 2.

El 3 es el cuarto término, uno de cada cuatro números es múltiplo de 3.

El 5 es el quinto término, uno de cada cinco números es múltiplo de 5.

El 21 es el octavo término, uno de cada ocho números es múltiplo de 7.

El 55 es el décimo término, uno de cada diez números es múltiplo de 11.

El que sigue no es un primo, pero es mi número favorito, así que quise averiguarlo:

El 144 es el doceavo término, uno de cada doce números es múltiplo de 9.

Analizando lo anterior, podemos ver que todos los múltiplos de 7 que se encuentran en la sucesión son múltiplos de 3 también, es decir, son múltiplos de 21 (porque cada cuarto término es múltiplo de 3 y cada octavo término es múltiplo de 7)

Lo mismo pasa con el 5 y el 11, todos los múltiplos de 11 son múltiplos de 55, pues cada quinto término es múltiplo de 5 y cada décimo término es múltiplo de 11.

Dado lo anterior, puede considerarse que dos números de Fibonacci consecutivos son primos entre sí, al igual que entre los naturales.

En el vídeo de Edu también se menciona que:

*El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci, en muchos de los casos, sobre todo al principio, es 1. Supongo que esto tiene relación con lo de los múltiplos que acabo de mencionar, pero no la veo tan claramente. Si alguno de ustedes la identifica, le agradeceré que la comparta en los comentarios.

*Cualquier número entero se puede poner como una suma de números de Fibonacci distintos.

Veamos cómo hacerlo con el 115, número de esta entrada:

115 = 89 + 21 + 5

Como cada número es la suma de los dos anteriores, siempre se encontrará por ahí alguna combinación que permita formar cualquier número que se desee, aunque no son únicas, al menos no las que involucran a los primeros 4 números:

999 = 987 + 8 + 2 + 1 + 1 = 987 + 8 + 3 + 1

Relacionado de alguna forma con lo anterior, si se suman los términos de Fibonacci hasta una determinada posición, se obtiene un número que es una unidad menor que otro número de Fibonacci:

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 = 88, uno menos que 89

Y, si se suma el cuadrado de los términos hasta una determinada posición, se obtiene un número que es igual que el producto de dos números de Fibonacci consecutivos; no alcancé a averiguar la razón:

1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273 = 13 x 21

Otra característica interesante y más conocida de los números de esta sucesión es que la división de dos números consecutivos tiende a ser el número de oro (ver más aquí), es decir, es cada vez más más cercano a 1.618033989…

Veamos los dos últimos números que escribí arriba: 6765 / 4181 = 1.618033963…

Muy cercano, ¿verdad?

Lo anterior considero que estaría relacionado con el hecho de que la proporción áurea, al igual que los números de la sucesión de Fibonacci, está por todos lados en la naturaleza, que busca ser siempre lo más bella y proporcional. Probablemente hay alguna razón puramente matemática también.

Desde mi percepción, la sucesión de Fibonacci es algo que suele verse como dato cultural, interesante, pero no propiamente académico. Jugar a analizar sus características, encontrar los patrones intrínsecos en ella creo que no está en el temario de alguna clase, pero considero que ayuda a desarrollar el sentido numérico (ver más aquí) y el pensamiento lógico (ver más aquí).

Agradezco a toda la gente que está leyendo y aprovechando el blog para el aprendizaje de las matemáticas en estos días tan complejos que está viviendo nuestro planeta.

¡Ánimo a todos, vamos a salir de ésta fortalecidos!

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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