Sucesiones y series: ¿cómo determinar el patrón de formación?

En la entrada pasada (ver aquí) vimos la diferencia entre sucesión, serie y patrón de formación, conocimos algunas formas de iniciar a los niños en las sucesiones y también cómo encontrar un término de una sucesión a partir del patrón de formación. En ésta veremos el proceso inverso, es decir, cómo determinar el patrón de formación de una sucesión de números. Aprovecharemos para ver lo que son las progresiones, así como algunas características de las series.

Empecemos por las progresiones. Como éstas corresponden a las sucesiones más básicas, sus patrones de formación nos ayudarán a entender cómo determinar los de sucesiones más complejas. Recordemos que la n significa el número de término y la a subíndice n significa el término enésimo. Pueden ver ejemplos de cada una un poco más adelante.

Progresiones

Se clasifican, al igual que las sucesiones correspondientes, en:

Aritmética

Su patrón de formación es:

Progr arit

d es la diferencia (o resta) entre un término y el siguiente de la progresión aritmética. La fórmula indica que un nuevo término es igual al anterior más la diferencia. También puede calcularse como el primer término más n – 1 veces la diferencia. Se le resta 1 a la n porque el primer término no incluye la diferencia.

Geométrica

Su patrón de formación es:

Progr geom

r es la razón (o división) entre un término y otro de la progresión geométrica. La fórmula indica que un nuevo término es igual al anterior por la razón de la progresión. También puede calcularse como el primer término multiplicado por la razón elevada a la potencia n-1. Se le resta 1 a la n porque el primer término no incluye la razón.

Otros patrones de formación básicos

Nos ayudarán a determinar otros más complejos.

Sucesiones aritméticas para pares y nones

Pares

Progr pares

Corresponde a:  2, 4, 6, 8, 10…

Funciona para los múltiplos de cualquier número, cambiando el 2 por dicho número.

Nones

Progr nones

Corresponde a:  1, 3, 5, 7, 9… 

Sucesiones que cambian de signo

Cuando se eleva -1 a una potencia 0 o par, se obtiene 1, cuando se eleva a una potencia non, se obtiene -1.

Empezando por positivo

suc pos

Corresponde a: 1, -1, 1, -1, 1 …

Empezando por negativo

suc neg

Corresponde a: -1, 1, -1, 1, -1 …

Estas cuatro expresiones se pueden integrar dentro de patrones de formación más complejos que incluyan cambio de signo, como veremos más adelante.

¿Cómo se determina un patrón de formación?

Depende del comportamiento de la sucesión:

De primer orden

Recordemos el patrón de formación de las sucesiones o progresiones aritméticas, también llamadas polinomiales de primer orden:

Progr arit

 

 

Se necesita conocer el primer término y la diferencia entre los términos. Por ejemplo:

3, 12, 21, 30, 39…

La diferencia entre cualquier par de términos es 9 y el primer término es 3, por lo tanto:

Progr arit ej 3 y 9_opt

Siempre es conveniente comprobar. Lo haremos con el quinto término: 9(5) – 6 = 39.

De segundo orden

El patrón de formación de una sucesión polinomial de segundo orden se ve así:

Suc 2 ord.JPG

 

 

B y C pueden ser cero, pero A no, para que sea de segundo orden. Veamos cómo determinar los valores de A, B y C a partir de una sucesión.

5, 15, 31, 53, 81… 

Se trata de una sucesión de segundo orden porque la primera diferencia entre los términos no es constante, pero la segunda sí:

suc seg ord

Hay varios métodos para llegar al patrón de formación, veamos uno que es sencillo y puedo explicarles por qué funciona, lo cual es fundamental en este blog. Necesitamos obtener el término cero de la sucesión, haciendo los cálculos hacia atrás, de esta forma:

suc seg ord cero

Ahora usamos estas equivalencias:

El doble del coeficiente de la n², A, es igual a la segunda diferencia.

2A = 6  → A = 3

La suma de los coeficientes de la y la n, A+B, es igual a la primera diferencia de los términos 0 y 1:

A+B = 4 → como ya sabemos que A=3, entonces B=1

El término independiente, C,  es igual al término cero: C=1

Por tanto, el patrón de formación es:

suc seg ord ej.JPG

 

 

Comprobemos con el quinto término:

3 (5)² + (5) + 1 = 81

En la pequeña sección siguiente explicaré el porqué de las equivalencias. Quien así lo prefiera, puede omitir su lectura:

La segunda derivada del patrón de formación es 2A. Es constante por tratarse de una expresión de segundo grado y corresponde al cambio del cambio, es decir, a la segunda diferencia, que en el ejemplo sería 6.

Por lo tanto, la segunda diferencia de toda la sucesión de segundo orden es igual a 2A, esto es, al doble del coeficiente principal.

Si restamos el valor del patrón de formación sustituido en 1 menos el sustituido en 0 obtenemos:

[ A(1)² + B(1) + C ] – [ A(0)² + B(0) + C ] = A + B

Por lo tanto, la primera diferencia entre los términos 0 y 1 es igual a A + B. Mediante esa expresión podemos obtener B dado que ya conocemos A.

Al sustituir n = 0 en el patrón de formación, el único valor que queda es C.

Por lo tanto, el término cero es igual a C.

Fin de la breve sección explicativa.

Geométrico

El patrón de formación de una progresión o sucesión geométrica se ve así:

suc geo

Se necesita conocer el primer término y la razón entre los términos. Si tenemos la sucesión

5, 15, 45, 135, 405… 

suc geo ej

El primer término es 5 y la razón entre cada par de términos consecutivos es 3, por lo que el patrón de formación es:

suc geo ej 2

Comprobemos con el quinto término:

suc geo ej 3

Con fracciones

Las sucesiones que involucran fracciones pueden tener patrones de formación muy diferentes. Veamos un par de ejemplos:

Suc fracc 1

Podemos ver que en el numerador está la sucesión de los números nones y en el denominador la de los números pares. Con lo que hemos visto anteriormente, el patrón de formación de la sucesión sería:

Suc fracc 2

Probemos con el quinto término:

Suc frac 3

Otro ejemplo:

suc fracc 4

No se identifica a primera vista un patrón, porque el tercer término no sigue de forma evidente la tendencia de los otros. Podemos recurrir a amplificar la fracción, multiplicando numerador y denominador por tres (ver por qué podemos hacerlo aquí), de forma que pueda observarse el patrón, así:

suc fracc 5

Ahora sí se puede ver claramente lo que ocurre: en el numerador hay una progresión geométrica de potencias de 3, en el denominador están los múltiplos de 5 y los signos van cambiando de un término a otro, empezando por positivo. Uniendo todo lo anterior, el patrón de formación es:

suc fracc 6

Probemos con el quinto término:

suc fracc 7.JPG

Nota: el numerador se escribiría siguiendo el método que vimos como:

3 ala n.JPG

Pero, por leyes de exponentes, puede también escribirse como

3 a la n.JPG

¿Qué podemos preguntar sobre una sucesión?

Como mencioné hace dos entradas (ver aquí) la intención didáctica clara y bien pensada de la pregunta puede llevar a que el alumno logre un mayor aprendizaje al responderla. Veamos las opciones para preguntar que han surgido entre la entrada pasada y ésta, junto con algunas ideas más sobre cómo practicar el tema de sucesiones:

  • A partir del patrón de formación, dar el valor de uno o más términos de la sucesión.
  • A partir de una sucesión, obtener el patrón de formación.
  • A partir de una sucesión, obtener el valor de un término que no se haya dado. Esto implica las dos anteriores, es decir, que obtengan el patrón de formación primero y después el valor del término.
  • Dar algunas de las características de la sucesión y algunos de los términos, pero que no sean los primeros y pedir el patrón de formación.
  • Dar un patrón de formación o una sucesión para obtenerlo y pedir que determinen si un cierto valor forma parte de la sucesión.

Veamos un ejemplo de la penúltima propuesta:

Si se tiene una sucesión geométrica cuyos términos 6 y 7 son 224 y 448 respectivamente. ¿Cuál es el patrón de formación?

Como sabemos que es geométrica, la razón es constante y la podemos obtener dividiendo ambos términos, ya que son consecutivos. La razón es 448/224 = 2

El patrón de formación de una sucesión geométrica es:

suc geo

Conocemos la razón, r, y el valor para el sexto término, por lo que podemos sustituir:

suc geo ej 4.JPG

Por lo tanto, el patrón de formación es:

suc geo ej 5.JPG

Comprobamos con el séptimo término, dado que es el que conocemos y no es el que usamos para determinar el patrón de formación:

suc geo ej 6

Ahora veamos un ejemplo de la última propuesta:

Determina el patrón de formación de la siguiente sucesión, da el valor del décimo término y determina si el valor 81 forma parte de ella:

9, 13, 17, 21, 25…

Podemos ver que la diferencia entre cada par de términos es 4, por lo que es una sucesión polinomial de primer orden, cuyo patrón de formación, dado su primer término y la primera diferencia entre sus términos, es:

Ej compl 1

Para calcular el valor del décimo término se sustituye n=10:

Ej compl 2

Y para determinar si el valor 81 forma parte de esta sucesión, e incluso saber qué término es, igualamos el patrón de formación a 81 y solucionamos la ecuación para n:

Ej compl 3

Por lo tanto, 81 es el término 19 de esta sucesión. Si hubiera salido un número no entero como solución, sabríamos que el valor que analizábamos no forma parte de la sucesión. Por ejemplo, con 82 hubiéramos obtenido 19.25, por lo que 82 no forma parte de la sucesión. Está entre los términos 19 y 20 de ella, por ser de primer orden.

Nota: esta última pregunta sólo debe hacerse si es factible solucionar la ecuación resultante y/o averiguar si el valor es un término de la sucesión calculando una cantidad razonable de términos.

¿Qué otras ideas para practicar con sucesiones se les ocurren? Añadiré otras en la sección de cierre.

¿Cuántos términos se necesitan para determinar el patrón de formación?

Para patrones de formación no muy complejos, que son los acostumbrados en las matemáticas escolares, en teoría con tres términos sería suficiente. Sin embargo, puede no serlo. Les presento aquí un caso de tres términos que admiten al menos dos patrones de formación diferentes, sencillos ambos:

1, 2, 4 puede seguir con:

7, si consideramos una sucesión cuadrática

Ej var 1

De esta forma:

Ej var 2

8, si consideramos una sucesión geométrica

Ej var 3

De esta forma:

Ej var 4
¿Cómo saber cuál es el correcto? Buena pregunta. La mejor respuesta es: necesitamos más datos para estar seguros. Si nos dan el cuarto término ya podemos saber cuál de los dos anteriores es el patrón de formación.

Considero que conviene que el análisis que hagamos vaya de lo sencillo a lo complejo:

El análisis más sencillo es el cálculo de diferencias en uno o dos niveles hasta llegar a la diferencia constante. Si, por el contrario, conocemos que se trata de un ejercicio de sucesiones geométricas, o identificamos que la forma en que crecen los términos es geométrica, entonces ya sabemos que debemos buscar la razón.

Para enriquecer la actividad, podemos preguntar: encuentra al menos dos formas de determinar el término enésimo con base en los primeros tres términos 1, 2, 4, tales que lleven a diferentes números para el cuarto término.

Es importante mencionar que, dados una cierta cantidad de términos, es posible encontrar una patrón de formación que los incluya y, a la vez, incluya cualquier otro que se nos ocurra. A ese patrón de formación se le llama polinomio interpolador y el aprender encontrarlo queda fuera del alcance de esta entrada. Quise mencionarlo porque me parece importante evitar que se queden con la idea de que con los primeros términos de una sucesión se puede determinar uno y sólo un patrón de formación.

Clasificaciones de las series

En esta entrada también vamos a mencionar algunas series. Retomemos las clasificaciones de las sucesiones para interpretarlas como clasificaciones de series. Recordemos que la diferencia entre una sucesión y una serie es que la primera es un listado de números, mientras que la segunda es una suma de números.

Por la forma como varían sus términos

Series aritméticas

La diferencia (resta) entre un término y el siguiente es un valor constante, como en:

1 + 3 + 5 + 7 + …

Series geométricas

la razón (división) entre un término y el siguiente es un valor constante, como en:

2 + 4 + 8 + 16 + …

Por la cantidad de términos

Series finitas

1 + 3 + 5 + 7

Series infinitas

1 + 3 + 5 + 7 + …

Por los resultados de la suma conforme se agregan términos

Series divergentes

La suma crece indefinidamente conforme la cantidad de términos se incrementa

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … = un valor infinito

Series convergentes

La suma se acerca a un valor conforme la cantidad de términos se incrementa

1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … = 10/9

Series telescópicas

Se pueden reducir pares de términos al sumarse

( 1 – 2 ) + ( 2 – 3 ) + ( 3 – 4 ) =  – 3

al quitar los paréntesis y reducir los términos sólo quedan los extremos: 1 – 4 = 3. 

Los telescopios se pueden expandir o comprimir para enfocar, de ahí el nombre.

 ¿Cómo se escribe una serie?

Dado un patrón de sucesión, la serie formada por la suma de sus términos se escribe usando la notación sumatoria, o notación sigma, por la legra griega sigma que se usa para ello. Abajo de la sigma se escribe el número de término con el que empieza la suma y arriba el número de término con el que termina. Si es una serie infinita, arriba va el símbolo del infinito.

Así se vería la suma de todos los pares del 2 al infinito:

Suma inf pares.JPG

Y así la suma de los números consecutivos del 1 al 100:

suma al 100.JPG

Sobre esta suma en particular, hay una anécdota interesante. Se dice que el profesor de Carl Friedrich Gauss, le pidió que sumara todos los números del 1 al 100, pensando que se estaría un buen rato entretenido en eso. Gauss llegó al resultado casi inmediatamente: 5050. ¿Cómo lo hizo siendo apenas un niño? Se dio cuenta que si sumaba 1+100 + 2 + 99 + 3 + 98 + … + 50 + 51 habría sumado 50 veces 101, con lo cual se obtiene, 5050. Brillante el muchacho, ¿verdad? De hecho, se le conoce como el príncipe de las matemáticas.

Del procedimiento seguido por Gauss se desprende la fórmula para calcular la suma de los números del 1 al n, sin sumar uno por uno.

suma al n.JPG

Suma al 100 abr.JPG

La fórmula funciona aunque los números no sean consecutivos ni empiecen en 1, bajo el mismo principio de sumar los extremos, siempre y cuando la progresión sea aritmética:

Suma aritmética.JPG

Para cerrar

 

macaron-1084049_1280_opt.jpgOtra serie de circunstancias, similares a las de la semana pasada, complicaron la redacción y entrega temprana de esta entrada. Una disculpa porque tiene poco color. Para compensar un poco, tanto el encabezado como esta sección final están decorados con un colorido patrón.

Cierto, falta mostrarles otra forma de aprovechar este tema para que nuestros hijos y alumnos aprendan más. Por ejemplo, se puede extraer más información de las sucesiones aritméticas, según los datos que nos den.

Si nos dan el primer y el último término y, además el número de términos, podemos calcular la diferencia así:

Despeje 1

O, si nos dan el primer y el último término y, además, la diferencia, podemos calcular el números de términos así:

Despeje 2

Ambas fórmulas se obtienen despejando el patrón de formación de las sucesiones aritméticas. Dejaremos las opciones con sucesiones de otro tipo para una entrada posterior, porque creo que ésta ya quedó muy larga.

Como siempre, gracias por leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les pueda ser útil lo que aquí publico. Por favor, escríbanme si tienen alguna duda y si quieren sugerirme temas que deseen que aborde en futuras entradas del blog.

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas dos páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: https://pixabay.com/   http://webresizer.com/

Hice algunas imágenes en Word. La historia de Gauss la encuentran en wikipedia.

Un comentario en “Sucesiones y series: ¿cómo determinar el patrón de formación?

  1. […] Al primer comportamiento se le llama exponencial y corresponde a una sucesión geométrica que empieza en el (1,2) con un factor 2 al segundo comportamiento se le llama lineal y corresponde a una sucesión aritmética de primer orden que empieza en el (1,2), con d=2 (ver más sobre sucesiones aquí y aquí). […]

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