Sobregeneralización en matemáticas: ¿qué es y por qué es necesario evitarla?

Ésta es la entrada 85 de este blog. La dedicaremos a una problemática con la que me enfrento constantemente en mi labor docente, por enseñar a nivel universitario: las sobregeneralizaciones.

Sobregeneralizar es aplicar reglas que sí funcionan para una cierta estructura matemática, en estructuras matemáticas distintas, para las que no funcionan. Entenderán que hacer eso lleva casi con seguridad a respuestas erróneas, ¿verdad? Es como pintar con brocha gorda algo que debería pintarse con mucho más cuidado y con diferentes colores en diferentes áreas.

Claro que hay algunas excepciones. Pueden ver, al final de esta entrada, unos interesantes casos en los que un procedimiento erróneo lleva a una respuesta correcta.

Freshman sum

Una de las sobregeneralizaciones más comunes tiene incluso un nombre: “freshman sum” que, traducido al español sería algo como “la suma del novato”, por referirse a los alumnos de primer año de universidad.

Es la que ocurre cuando, al sumar dos fracciones, se suman los numeradores para formar el nuevo numerador y se suman los denominadores para formar el nuevo denominador.

Es lógico que ocurra algo así. Los niños han sumado siempre linealmente y, de repente, deja de ser válido ese procedimiento, muchas veces sin una explicación suficientemente amplia o convincente.

Eso, una explicación y experimentación amplia, convincente, que rompa esquemas mentales previos, es lo que necesitaría un alumno para evitar sobregeneralizar el proceso de la suma de enteros en la suma de fracciones.

Ya escribí tres entradas sobre fracciones: su complejidad (ver aquí), la simplificación y amplificación (ver aquí) y las operaciones (ver aquí). Estoy planeando otra entrada para proponer más ideas al respecto.

Distribuir un producto sobre otro producto

Otra sobregeneralización común es ésta:

Si a (b+c) = ab + ac, entonces a(b*c) = ab*ac

La primera igualdad es válida, es la mundialmente famosa ley distributiva, que solo aplica para distribuir una multiplicación/división sobre una suma/resta.

La segunda igualdad no es válida, es una sobregeneralización de la primera, que ocurre cuando los alumnos piensan que lo que está afuera del paréntesis se lo pueden distribuir a lo que esté dentro, sin importar la operación que separe lo que está dentro.

Considero que algo que ayudaría a evitar este problema es ponerle acotaciones a todo lo que enseñamos, incluso con contraejemplos, para que a los alumnos les quede claro que deben fijarse primero en la estructura matemática que tienen enfrente, luego revisar el listado de requerimientos del procedimiento que tienen una gran emoción por efectuar, para poder saber si es correcto usarlo o no.

La ley distributiva se enseña con números también, en la primaria. Puede ponerse el contraejemplo al lado para que vean lo que ocurre en cada caso. Al comprobar que los dos resultados numéricos no son iguales, tendrán más claro que es necesario analizar la estructura matemática antes de decidir cómo operarla.

Ojo: al elegir números para hacer estas demostraciones aritméticas, eviten usar los siguientes: 0, 1, 2. Por sus características matemáticas (neutros aditivo y multiplicativo los primeros dos, ver más aquí sobre ellos) pueden dar lugar a ideas falsas de que un procedimiento es correcto cuando no lo es.

Veamos un ejemplo con números:

3 ( 4 + 5 ) = 3 * 4 + 3 * 5 = 12 + 15 = 27 que también es igual a 3 (9) = 27

Y su contraejemplo:

3 ( 4 * 5 ) = 3 * 4 * 3 * 5 = 12 * 15 = 180 que NO es igual a 3 ( 20) = 60

Hacer estas comparaciones en primaria puede ayudar a que en secundaria se eviten las sobregeneralizaciones en álgebra.

Error de linealización

La siguiente sobregeneralización también tiene nombre: se le llama error de linealización.

Ocurre de muy diversas formas. Se considera error de linealización el tomar como cierta la siguiente igualdad:

F(x±y)=F(x)±F(y)

Entre los ejemplos más comunes de este error están:

(x ± y )^2 = x^2 ± y^2                   sobregeneralización de         (x • y)^2 = x^2 • y^2

√(x ± y) = √x ± √y                         sobregeneralización de        √(x • y) = √x •√y

z/(x ± y) = z/x  ±  z/y                     sobregeneralización de        (x ± y)/z  =  x/z  ±  y/z

ln⁡ (x ± y) = ln ⁡(x) ± ln⁡ (y)            sobregeneralización de         ln⁡ (xy) = ln ⁡(x) + ln ⁡(y)

También se puede considerar error de linealización el tomar como cierta la siguiente igualdad y creer que al multiplicar por una constante el argumento de una función se obtiene el mismo resultado que al multiplicar por una constante la función en sí:

F(ax) = aF(x)

Por ejemplo:

sen (9x) = 9 sen (x)
ln ⁡(9x) = 9 ln⁡ (x)

Considero que la mejor forma de evitar que estos errores se arraiguen es mostrando ejemplos y contraejemplos y haciendo comprobaciones numéricas desde el primer momento en el que se revisen estos temas en clase, para que no haya tiempo de que se guarde en la memoria un conocimiento incompleto que dé pie a sobregeneralizaciones futuras.

Frase que sobregeneraliza

Una frase que también se presta a sobregeneralización, es la que repiten algunos alumnos de esta forma:

No existen raíces negativas

Listo, consideran que en esas cuatro palabras está muy clara la idea, pero no es así, porque no queda claro el tipo de raíces, entre otras cosas.

Lo correcto es decir algo más completo, como esto:

No existen las raíces de índice par de números negativos en los números reales

La frase así está completa y es mucho más útil para tomar decisiones aritméticas y algebraicas posteriores.

El resultado de una operación siempre es más compacto que la operación original

Al llegar al álgebra, es común que los alumnos sientan una enorme necesidad de comprimir las expresiones, aunque la nueva expresión no sea equivalente a la anterior. Sobregeneralizan que en aritmética siempre obtienen un resultado más compacto que la operación original:

5+3 = 8

Y compactan de formas válidas:

5 * x = 5x

Y no válidas

5 + x = 5x

También en este caso las pruebas con sustituciones numéricas (evitando usar 0, 1 y 2) son útiles para comprobar la equivalencia entre ambas expresiones.

Antes de irnos, los ejemplos prometidos

Casi olvido los ejemplos de los procedimientos erróneos que llevan a respuestas correctas. Seguramente habrá más, esta es sólo una pequeña muestra:

Primero un par de ejemplos de procedimientos algebraicos erróneos, con exponentes (ver más aquí y aquí) que permitan identificar por qué es mejor evitar el 2 al hacer comprobaciones numéricas:

x^4  /  x^2  =  x^(4/2)  =  x^2

x^2 x^2  =  x^(2*2)  =  x^4

Ahora un simpático ejemplo: si se tachan el 6 del numerador con el 6 del denominador, se obtiene el mismo resultado que si se saca dieciseisava a numerador y denominador.

16/64 = 1/4

Se repite la situación en los siguientes casos de números de 2 cifras:

19/95 = 1/5

26/65 = 2/5

49/98 = 4/8 = 1/2

(Tomado de la revista SUMA, ver aquí)

Para cerrar:

Las sobregeneralizaciones pueden evitarse cuando se identifica que el tema que estamos enseñando puede prestarse a ellas. Ejemplos, contraejemplos, pruebas numéricas, ejercicios que eviten el realizar procedimientos sin pensar mucho son algunas estrategias que pueden emplearse para tratar de que el conocimiento quede guardado en la mente de la forma más completa posible y los alumnos lleguen a la universidad con recuerdos más correctos.

Como siempre, gracias por leer y compartir.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

 

2 comentarios en “Sobregeneralización en matemáticas: ¿qué es y por qué es necesario evitarla?

  1. […] Quizá es un poco radical la postura de enseñar al alumno las limitaciones de las operaciones en el momento mismo que las aprende, pero mi sentir es que es mejor así. No se trata de volverlos expertos en números imaginarios cuando apenas están aprendiendo a sacar una raíz cuadrada. Se trata de evitar crearles una idea equivocada de que una operación dada se puede realizar con cualquier número, lo cual puede llevar a sobre-generalizaciones peligrosas (ver más de sobre-generalizaciones aquí). […]

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