En la entrada anterior (ver aquí) revisamos los cuidados básicos que deben tenerse al trabajar con la recta numérica y el plano cartesiano. En esta entrada veremos cómo graficar y trabajar con lo más sencillo: puntos individuales y puntos que siguen un patrón. También veremos los cuidados que debemos tener para hacerlo bien y cómo interpretar lo que graficamos, dado que para eso se hacen las gráficas, para contar con una forma matemática-visual de interpretar la realidad. A partir de esa interpretación, nuestro conocimiento de esa realidad se amplía y podemos tomar mejores decisiones.

Puntos individuales

Lo más sencillo es graficar puntos individuales, con base en sus coordenadas. Se puede pedir que se localice en un plano cartesiano la casa y la escuela, señalando que la casa está en la coordenada (3,2) y la escuela en la (7,5) y se analice la localización de una con respecto a la otra. Una vez graficado, queda claro que la escuela está más al norte y al oriente que la casa.

Distancia entre dos puntos

Recuerden que con un poco de imaginación se puede lograr más aprendizaje con un mismo planteamiento inicial (ver más sobre aprendizaje eficiente aquí y sobre preguntas con intención didáctica clara aquí).

Una vez localizados los puntos, se puede preguntar cuál es la distancia horizontal, la vertical y la diagonal entre la casa y la escuela, suponiendo que las coordenadas significaran cuadras a partir de un punto base.

La distancia horizontal (hacia el este) sería 4 cuadras y la distancia vertical (hacia el norte) sería 3 cuadras. La distancia diagonal se puede calcular a partir de la vertical y la horizontal usando el Teorema de Pitágoras (en este caso fue suficiente con una terna pitagórica, sobre ambos aprendimos aquí).

Recordemos que desarrollar el pensamiento lógico matemático es muy importante también, por lo que es necesario preguntar a los alumnos si les suena lógico que puedan recorrer sólo 5 cuadras para llegar de la casa a la escuela. Me encantaría tener un alumno dijera: si todas las cuadras intermedias son terrenos sin bardas ni vallas, sí. (Ver más sobre pensamiento lógico matemático aquí y aquí).

También se puede obtener la distancia entre dos puntos, dadas sus coordenadas, mediante la siguiente fórmula:

Distancia entre dos puntos:

Sobre esta fórmula es importante saber:

Puede tomarse cualquier punto como primero o como segundo, pues al elevar al cuadrado las cantidades se vuelven positivas de cualquier forma.

Por jerarquía matemática y por leyes de exponentes (ver más aquí), primero se realizan las restas, luego los cuadrados, después la suma y al final se calcula la raíz cuadrada.

Veamos cómo se haría con el ejemplo anterior:

Punto medio entre dos puntos

¿Y si pudiéramos ir en diagonal y nos detuviéramos justo a la mitad del camino? ¿En qué punto estaríamos?

Para eso hay otra fórmula:

Punto medio entre dos puntos:

Al detenernos a la mitad del camino en línea recta, estaríamos en el punto:

Como son dos sumas, no afecta cuál punto se tome como primero y cuál como segundo.

Así se vería gráficamente:

Casos especiales

Cuando ambos puntos tienen la misma coordenada x (o la misma coordenada y), entonces la distancia entre ellos será la misma que la distancia vertical (u horizontal) y la otra distancia (horizontal/vertical) será cero.

Ejemplos:

¿Cuáles son las distancias entre los puntos (2,3) y (2,7)?

Horizontal: 0      Vertical: 4      Total: 7 

(ambos puntos están sobre una misma línea vertical)

¿Cuáles son las distancias entre los puntos (2,3) y (7,3)?

Horizontal: 5      Vertical: 0      Total: 5

(ambos puntos están sobre una misma línea horizontal)

Puntos que siguen un patrón

Un conjunto de puntos pueden mostrarnos un patrón y ayudarnos a tomar decisiones. ¿Recuerdan el ejemplo de los dulces que ofrecían llevar los niños que vimos en la primera entrada sobre exponentes (ver completo aquí)? Se trataba de unos niños que competían por ofrecer llevar más dulces que el anterior de la lista, sólo que había una pequeña diferencia entre cómo podían superar al anterior que provocaba una gran diferencia en lo que acababan llevando.

Si el primer niño ofrece llevar 2 dulces, el segundo el doble que el primero, el tercero el doble que el segundo y así… esto sería lo que llevarían los primeros 10 niños:

Si, en cambio, el primer niño ofrece llevar 2 dulces, el segundo dos más que el primero, el tercero dos más que el segundo y así… esto sería lo que llevarían los primeros 10 niños:

Pueden notar que los dos primeros niños llevan la misma cantidad en ambos casos, pero, a partir del tercero, el crecimiento en la cantidad de dulces es mucho mayor en el primer caso (crecimiento exponencial) que en el segundo (crecimiento lineal). Eso puede verse razonablemente claro en la tabla y mucho más «visual» en una gráfica.

Vamos a usar el número de niño como dato en el eje x y el número de dulces como dato en el eje y para identificar las coordenadas de los puntos. En la gráfica de la izquierda aparecen los puntos (1,2), (2,4), (3,8), (4,16)… mientras que en la de la derecha aparecen los puntos (1,2), (2,4), (3,6), (4,8)… 

En la gráfica de la izquierda se ven los primeros 7 puntos de la primera tabla, mientras que en la gráfica de la derecha se alcanzan a ver los 10 puntos. La imagen, aún sin tantos números, nos deja muy claro en qué caso la cantidad crece más rápidamente conforme avanza la cantidad de niños.

Al primer comportamiento se le llama exponencial y corresponde a una sucesión geométrica que empieza en el (1,2) con un factor 2 al segundo comportamiento se le llama lineal y corresponde a una sucesión aritmética de primer orden que empieza en el (1,2), con d=2 (ver más sobre sucesiones aquí y aquí).

Aunque la representación gráfica de las situaciones anteriores debe limitarse a puntos aislados (no tiene sentido pensar en 2 niños y medio, por ejemplo), los puntos podrían unirse con una línea «suave» que permita visualizar más claramente el comportamiento.

Pueden observar que las dos gráficas empiezan igual, en los puntos (1,2) y (2,4) pero, a partir del tercer punto ya no son iguales.

Otros ejemplos

Graficar pares de datos nos ayuda a visualizar si la relación entre ellos es directa o inversa. Imaginemos estas dos situaciones alrededor de un mismo elemento, cupcakes (con capacetes de puntos, para aprovechar el tema), que llevan a tablas y gráficas muy distintas:

Caso 1. Si se requieren 120 gramos de harina por cada cupcake para una fiesta, hagamos una tabla y una gráfica donde se determine la cantidad de harina necesaria para 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 cupcakes:

¿Qué tipo de relación es? Directa, a más cupcakes más harina, en la misma proporción.

Si unimos los puntos se ve una línea recta que puede prolongarse hasta el origen. Eso es una característica de las gráficas de una situación directamente proporcional.

(No sé mucho de cocina, quizá la cantidad de harina por cupcake no es muy realista, así que pueden adaptar el ejemplo según su propia experiencia en repostería)

Caso 2. Si se tienen 24 cupcakes en total para repartir a los invitados, hagamos una tabla y una gráfica donde se muestre cuántos de tocan a cada uno si llegan 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, o 24 invitados:

¿Qué tipo de relación es? Inversa, a más invitados, menos cupcakes por cada uno.

Si unimos los puntos se ve una línea curva que se acerca a los dos ejes, sin tocarlos. Eso es una característica de las gráficas de una situación inversamente proporcional.

Ver más sobre proporción directa e inversa aquí y aquí.

Para cerrar

Si se preguntan por qué una «mariquita» (ladybug) como imagen principal, esta vez no hay una relación tan clara como la pasada. Simplemente ayer a mediodía que estaba pensando en cómo terminar esta entrada y cómo ilustrarla, se paró en una rama frente mí un escarabajito rojo con puntos negros y me recordó que la entrada de hoy era sobre puntos, así que consideré que sería una buena idea incluirla. Me parecen muy bonitas y, además, la cantidad, color y distribución de sus puntos es una característica de cada especie de mariquita, así que de alguna manera tiene qué ver con el tema.

Agradezco como siempre a los lectores por leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les puede resultar útil lo que escribo.

Hasta la próxima semana.

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

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Hice algunas imágenes en Geogebra y en Word