Al cerrar la entrada pasada sobre las características del sistema numérico decimal, que pueden ver aquí, me di cuenta de que era necesario escribir una siguiente en la que se detallara lo que debemos considerar al hacer operaciones básicas con los números decimales. Aquí está.
Nota: Por cuestión de espacio, esta entrada se enfocará principalmente en los detalles a cuidar relacionados específicamente con las características de los números decimales. Los detalles relacionados con las operaciones en sí los abordaré en otra entrada.

Sumas y restas

¿Por qué es necesario alinear?

Así como en las fracciones sólo se pueden sumar y restar medios con medios y quintos con quintos (las fracciones deben tener el mismo denominador, ver explicación aquí), al sumar y restar números, con o sin decimales, sólo podemos sumar/restar unidades con unidades, decenas con decenas y décimos con décimos.

Mientras que en los números enteros la forma de sumar verticalmente es alinear todas las cantidades a la derecha, para que las unidades queden bajo las unidades y así sucesivamente, en los números decimales el punto decimal (o coma, o coma alta, según lo acostumbrado en cada país) es el que sirve como eje, o punto de encuentro para alinear antes de sumar/restar.

En un número entero, el último dígito corresponde a las unidades, por lo que el punto decimal está en el extremo derecho, aunque no se escriba.

Al sumar 425 + 138 deben acomodarse:
     425
+   138
=   563

Pero al sumar 425 + 13.8 deben acomodarse:
     425.0
+     13.8
=   438.8

Aunque no es indispensable en la suma, es conveniente completar con ceros las posiciones decimales necesarias para que ambos números tengan la misma cantidad de cifras decimales. Así se puede identificar claramente el valor de cada posición.

En la resta es más importante completar, para evitar errores, ya que algunas veces el alumno considera que, al no haber un dígito en el minuendo, puede escribir el que está en el sustraendo como parte del resultado.

Para restar 13.8 de 425, así estaría bien hecho:

       425.0
—     13.8
=     411.2

Lo siguiente estaría mal hecho porque, aunque se alinearon bien los números, se repitió el 8 en la respuesta en vez de restar 8 décimos de 10 décimos:

         425
—    13.8
=    412.8  (incorrecto)

Y así estaría también mal hecho, por estar mal acomodado:
       425
—  13.8
=    30.7 (incorrecto)

Multiplicaciones

Multiplicar por potencias de 10 y dividir entre potencias de 10 ¿hay alguna forma corta?

En la entrada pasada escribí que, al poner un cero a la derecha en un número entero, multiplicamos su valor por 10: 125 -> 1250 es 10 veces más grande. De la misma forma, si ponemos dos ceros, lo multiplicamos por 100: 125 -> 12 500 es 100 veces más grande y así sucesivamente.

Si, por el contrario, tenemos un número decimal, poner un cero a la derecha no altera su valor: 1.25 -> 1.250 ambos valen lo mismo, pero mover el punto decimal hacia la derecha sí multiplica su valor, 10 veces por cada posición que se mueva 1.25 -> 12.5 es 10 veces más grande, 1.25 -> 125 es 100 veces más grande. Esto es parte de la esencia del sistema numérico decimal.

Y podemos mover el punto decimal hacia la izquierda también, lo cual equivale a dividir entre 10 si se mueve una posición, entre 100 si se mueve dos, y así sucesivamente: 125 -> 12.5 es 10 veces más chico, 125 -> 1.25 es 100 veces más chico.

Conocer esta forma corta de multiplicar y dividir por y entre 10 nos abreviará muchas operaciones rutinarias y nos permitirá entender más fácilmente los procesos de multiplicación y división de números decimales.

¿Por qué es necesario “recorrer” las posiciones?

En la multiplicación de números decimales ya no es necesario alinear verticalmente los números con el punto decimal, aunque tampoco está mal hacerlo, siempre y cuando en el resto del proceso se respeten los valores relativos de cada dígito.

Por lo tanto, está bien alinear los números a la derecha, dejando el punto decimal en donde le corresponda.

Veremos primero un ejemplo que no tiene decimales para entender el proceso en sí de la multiplicación en sistemas posicionales y después veremos un ejemplo con números decimales.

Se empieza a multiplicar cada dígito del segundo factor por todo el primer factor, de derecha a izquierda.

La primera línea queda alineada bajo las otras dos.

      68
x    37
    476
  2040
  2516

Para la segunda línea, se “recorre” un lugar el 4 porque se está multiplicando 30 x 8 = 240, no sólo el 3 y, por tanto, el 4 debe quedar en la posición de las decenas.

Retomando lo que escribí en la entrada pasada, si al enseñarlo sólo se dice “recorres un lugar” y no se explica por qué, el estudiante podrá olvidarlo. He visto que a algunos alumnos les piden poner algún simbolito para recordar que deben empezar un lugar a la izquierda cada vez. Yo pienso que es mejor explicar que se multiplica por 30 y poner el cero en su lugar, ¿no creen?

Lo mismo aplica para multiplicaciones por números con más dígitos, todos los lugares que se van recorriendo pueden llenarse con ceros a la derecha que, si bien no afectan a la suma, ayudan mucho a la comprensión de lo que se está haciendo.

       123
x     285
       615
     9840
   24600
   35055

¿Por qué es necesario contar los decimales?

Veamos ahora lo que pasa cuando multiplicamos dos números con cifras decimales. El proceso suele enseñarse empezando de forma similar a la multiplicación de enteros, con la diferencia de que al final se cuentan los decimales de cada uno de los factores y con ello se determinan los decimales de la respuesta.
Bien, si eso nos dicen que hagamos, eso haremos, ¿no?…

¿Y si mejor entendemos por qué se cuentan?

Identificar los valores relativos de los resultados intermedios de una multiplicación con decimales es factible pero poco práctico, así que podemos usar esta estrategia:

Si vamos a multiplicar 12.3 x 2.85, multiplicamos 12.3 x 10 y 2.85 x 100 antes de multiplicarlos entre sí, para que no tengan decimales:

     123
x   285
     615
   9840
 24600
 35055

Al final tenemos un resultado que tiene las cifras correctas en el orden correcto pero se obtuvo después de haber multiplicado por 10 varias veces a ambos factores. Para que ese resultado retome el valor correcto, debemos dividir entre 10 tantas veces como habíamos multiplicado antes en los dos factores. ¿Cuántas veces habíamos multiplicado por 10 el primer factor? Contamos sus cifras decimales. Igual para las del segundo factor.

Para dividir el resultado y llevarlo a su valor correcto, le asignamos la cantidad de cifras decimales que acabamos de contar, esto es, movemos el punto hacia la izquierda tantas posiciones como acabamos de contar. Esa es la razón de contar la cantidad de decimales en los factores para determinar la del producto.

35055, es 10 x 100 = 1000 veces más grande que la respuesta correspondiente a la operación original, por lo que es necesario dividirlo entre 1000: 35.055.

Por tanto: 12.3 x 2.85 = 35.055.

El proceso anterior, una vez comprendido, puede resumirse en el proceso que nos han enseñado. El primer factor tiene una cifra decimal, el segundo tiene dos, ignoramos los puntos, hacemos la multiplicación y al resultado le ponemos un punto en la posición adecuada para que tenga tantas cifras decimales como los dos factores: tres.

      12.3
x    2.85
       615
     9840
   24600
  35.055

En operaciones como ésta podemos aprovechar para desarrollar el pensamiento lógico, pensando en qué valor aproximado debe tener una respuesta antes de obtenerla, para así corroborar que hayamos colocado bien el punto decimal al final del proceso: si multiplicamos poco más de 12 por poco menos de 3, la respuesta debe estar alrededor de 30, no alrededor de 3 ni de 300.

¿Qué ocurre cuando hay ceros en alguno de los factores?

Depende de la posición en la que estén.

Un cero en medio o a la derecha del primer factor no tiene ninguna implicación especial, sólo es necesario tomarlo en cuenta cuando corresponda:

    10.5
x     23
     315
   2100
  241.5

Un cero en medio del segundo factor sí, porque implica multiplicar el primer factor por 0 en la posición correspondiente. Se puede escribir una fila de ceros o se puede “recorrer” dos posiciones la siguiente fila de resultados. Lo que no es válido es recorrer sólo un lugar pensando que el cero no se debe tomar en cuenta. Ya sabemos que la posición y el cero importan mucho.

       23
x  10.5
     115
   0000
   2300
  241.5

Noten cómo la posición del 3 está dos lugares a la izquierda de la posición del 5.

Un cero a la derecha de un número entero en el segundo factor debe considerarse también como un renglón de ceros o como un recorrimiento:

      2.5
x   130
     000
     750
   2500
  325.0

Los renglones de ceros pueden no escribirse, siempre y cuando acomodemos bien todo lo demás.

Por último, un cero a la derecha de un número decimal puede no considerarse en el proceso. En ese caso, no debe considerarse tampoco en el conteo de decimales. Veamos un ejemplo con los dos procedimientos. El valor de ambos resultado es el mismo, sólo que se llega más rápidamente al resultado por el segundo.

Así se haría considerándolo:
     7.50
x    2.3
   2250
 15000
17.250

Y así sin considerarlo:
      7.50
x    2.3
     225
   1500
  17.25

Combinando todo

Si queremos preparar postre de leche para 24 personas y la receta es para 10 personas, entonces necesitamos multiplicar la cantidad de cada ingrediente por 2.4. Si en la receta se piden 250 gr de azúcar, entonces recordamos que el cero del 250 sí importa, que debemos multiplicar 20 (no sólo 2) por 250 y que, como el segundo factor tiene un decimal, también la respuesta debe tenerlo, por lo que necesitamos 600 gr de azúcar.

      250 
x    2.4
   1000
   5000
  600.0

Divisiones

¿Por qué es necesario “mover” el punto?

Recordemos el principio fundamental de las fracciones:

Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican o dividen por la misma cantidad, diferente de cero, el valor de la fracción no se altera, esto es, ambas fracciones son equivalentes.

Y recordemos que mover el punto decimal una posición a la derecha equivale a multiplicar el número por 10.

Entonces:

Al dividir 1.62/1.2 obtenemos lo mismo que al dividir 16.2/12.

Al dividir 162/1.2 obtenemos lo mismo que al dividir 1620/12.

Al dividir 0.162/1.2 obtenemos lo mismo que al dividir 1.62/12.

Esa es la razón por la que “recorremos” el punto tanto adentro como afuera de la “casita”  de la división (galera). Al tener enteros en el divisor, podemos ubicar adecuadamente el punto en la respuesta.

Por ejemplo, al dividir 1.62 entre 1.2, recorremos el punto un lugar a la derecha tanto en el dividendo como en el divisor y dividimos 16.2 entre 12, obteniendo 1.35.

También aquí podemos aprovechar para practicar el pensamiento lógico, al estimar por adelantado que la respuesta de dividir 1.62 entre 1.2 debe ser un poco mayor que 1, por lo que no podría ser ni 0.135 ni 13.5

¿Se recorre siempre el punto hacia la derecha?

Si el divisor tiene cifras decimales, sí, porque necesitamos que sea entero para que quede más claro dónde va el punto en el cociente. Pero si en vez de tener cifras decimales el divisor tiene ceros a la derecha es una buena idea recorrer el punto hacia la izquierda, dado que dividir 16025/120 equivale a dividir 1602.5/12, sólo que se ve menos amenazante un divisor con dos dígitos, ¿no creen?

¿Cómo sabemos cuándo detenernos al dividir?

Depende de la situación:

1.En cuanto el residuo es cero, ya terminamos de dividir.

2.Si vemos que el residuo, y por tanto el dígito del cociente, se repiten idénticos una y otra vez, ya sea inmediatamente o cada cierto número de pasos, se trata de un decimal periódico, por lo que podemos dejar de dividir, escribir la respuesta con la rayita superior y listo.

3.Si no pasa ninguna de las dos situaciones anteriores, la persona que está dividiendo decide cuándo parar, ya sea cuando tenga la cantidad de decimales que el profesor le indicó que obtuviera o cuando llegue a la exactitud deseada según el contexto. Si es un cálculo con dinero, pueden ser suficientes 2 decimales, aunque si el número que estamos obteniendo se multiplicará por un número muy grande después, será mejor obtener más decimales, para que la respuesta final sea más exacta.

Por ejemplo, si vamos a multiplicar 1 000 000 de pesos por lo que obtengamos de dividir 2 entre 7 y nos detenemos en el segundo decimal: 0.28, el resultado final será $280 000. En cambio, si nos detenemos hasta el sexto decimal: 0.285714, el resultado final será $285 714. Es una diferencia de $5 714. Por eso el contexto y lo que se hará después con el resultado importan.

Para cerrar:

Podemos pensar que no es indispensable dominar los procesos de las operaciones con decimales dado que las calculadoras las hacen bastante bien y más rápido que nosotros y que llegará el día que nuestro profesor nos dejará usar calculadora y ya no necesitaremos ese conocimiento.

Yo creo que nos conviene más saber lo que le estamos pidiendo a la calculadora, para asegurarnos de que nos está dando respuestas congruentes con lo que le estamos pidiendo (si no es congruente, lo más probable es que hayamos introducido mal los datos, ya escribiré de eso después).

Y estoy segura de que las matemáticas nos entrenan la habilidad de observar y de cuidar los detalles, matemáticos o no, y que esta habilidad se desarrolla de mejor manera cuando entendemos bien lo que estamos haciendo.

¿Observaron, por ejemplo, que en la multiplicación, al multiplicar ambos factores por 10 el producto se multiplica por 100, mientras que en la división, al multiplicar dividendo y divisor por 10 el cociente conserva su valor?

Gracias por leer y compartir.

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas dos páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: https://pixabay.com/   http://webresizer.com/

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