Mi experiencia docente me ha llevado a concluir que los dos pilares de una buena relación de las personas con las matemáticas son el pensamiento lógico matemático (ver más aquí y aquí) y el sentido numérico (ver más aquí y aquí). Por ello he escrito esas cuatro entradas y muchas secciones de otras entradas de este blog orientadas al desarrollo de ambos pilares.

Por medio de las preguntas que hacemos (ver más sobre preguntas con intención didáctica clara aquí) podemos desafiar y fortalecer el pensamiento lógico matemático en nuestros hijos y alumnos, o podemos forzarlos a desconectarlo, debido a que responder la pregunta implica salir del mundo real y entrar a un mundo irreal en el que la respuesta matemática es correcta, aunque no sea una verdadera solución al problema planteado, en el sentido de que no sería lógico que ocurriera en la realidad.

Hoy revisaremos algunos ejemplos de ambos casos.

Encuentro de dos trenes

La idea de esta entrada se me ocurrió al leer un problema matemático que decía más o menos así:

Dos trenes salen de una misma estación en la misma dirección. El primero parte a las 11:00 AM a una velocidad de 100 km/hr y el segundo parte a las 5:00 PM a una velocidad de 110 km/hr. ¿Cuántas horas después de que sale el segundo tren se encontrarán ambos trenes?

Parece que se trata de un inocente problema de planteamiento de ecuaciones de primer grado relativamente sencillo de resolver con álgebra.

Sin embargo, no es realmente tan inocente. Si analizamos la situación, los maquinistas de los trenes no deberían arriesgarse a encontrarse uno con el otro viajando a esa velocidad. En casi cualquier otro medio de transporte, puede un vehículo emparejarse a una cierta distancia del otro, pero en los trenes no, porque en la mayor parte del camino hay una sola vía.

La pregunta debería redactarse distinto para que no atentara a la lógica. Se me ocurren un par de ideas:

1)Dos trenes parten por vías paralelas… (no es común, pero al menos no es tan ilógico).

2)…en el hipotético caso de que los trenes pudieran encontrarse sin chocar … (en este caso, se necesitaría tomar en cuenta la longitud del primer tren, o determinar que se considerará que se encuentran cuando ambas máquinas se emparejen en una zona de doble vía).

Se me ocurre una tercera opción:

3) Dos trenes parten del andén 9 ¾… (en este caso, poco antes de encontrarse, un tren podría volar sobre el otro si el conductor usa su magia y así podrían emparejarse sin chocar… gracias, libros de Harry Potter, por la idea).

Listo, superamos lo ilógico de la pregunta, ahora veamos qué respuesta se obtiene con los datos proporcionados:

(Lo sé, tengo pendiente escribir una entrada exclusiva sobre planteamiento de ecuaciones. Es un tema con tantas aristas que más bien lo he ido trabajando en pequeños ejemplos dentro de otras entradas… espero pronto encontrar una buena forma de abordarlo en una entrada dedicada especialmente a eso.)

Si parten de la misma estación, al momento de “encontrarse” (sea de la forma que sea), habrán recorrido la misma distancia. De la forma en que se mide la velocidad (en este caso km/hr) podemos deducir la fórmula de la misma:

velocidad es igual a distancia entre tiempo

Por lo tanto, si multiplicamos la velocidad por el tiempo, obtenemos la distancia.

La distancia que recorrió el primer tren se calcula como la suma de la distancia recorrida antes de que saliera el otro (según los datos, transcurrieron 6 horas) más la distancia recorrida cuando el otro ya estaba en movimiento, durante el tiempo que tardaron en encontrarse, al que llamaremos t:

distancia recorrida primer tren = 100 km/hr * 6 hr + 100 km/hr * t hr

Por otro lado, el segundo tren recorrió esta distancia justo antes de alcanzar al otro:

distancia recorrida segundo tren = 110 km/hr * t hr

En hipotético momento en que se alcancen, ambas distancias deberán ser iguales:

100 km/hr * 6 hr + 100 km/hr * t hr = 110 km/hr * t hr

Veamos la expresión sin unidades, para que sea más sencilla de manejar:

( 100 ) ( 6 ) + 100  t = 110  t

Para resolver la ecuación, realizamos la multiplicación y despejamos para t, restando 100 t a ambos lados del igual (ver más sobre solución de ecuaciones lineales aquí y aquí):

600 = 10 t

Dividimos entre 10 ambos lados del igual:

60 = t

Listo, los trenes se encontrarán, de una forma u otra, 60 horas después de que partió el segundo tren.

¿Seguros que es correcta la respuesta?

Matemáticamente sí, hicimos todos los despejes y cálculos correctamente, pero atenta contra la lógica pensar que un tren puede permaneces 60 horas seguidas circulando a 110 km/hr y el otro 66 horas seguidas circulando a 100 km/hr. En ese tiempo cada uno recorrería 6,600 km, sin detenerse, sin recargar combustible. Simplemente no tiene sentido. Cambiando un poco la combinación de datos (menos tiempo de espera y más diferencia entre las velocidades) se puede llegar a una respuesta más factible. Incluso se puede proponer este problema con la velocidad del segundo tren menor a la del primero ¿Qué pasaría? Lo contesto en la siguiente sección.

Desconectar la lógica para contestar mecánicamente es algo muy común en matemáticas. Común y triste, porque lleva a los alumnos en el sentido contrario a una buena relación con la materia. Evitémoslo, por favor.

¿Dentro de cuántos años?

Este es un problema que he planteado a mis alumnos constantemente porque es un interesante desafío a la lógica y un ejemplo de cómo, planteando la ecuación algebraica correspondiente, se llega rápidamente al resultado y se logra interpretar la respuesta que, por prueba y error, no resultaba tan fácil de encontrar.

El padre de un niño de 5 años tiene 32 años hoy.

¿Dentro de cuántos años la edad del padre será 10 veces la del niño?

Los alumnos a los que no les gusta plantear ecuaciones intentan descubrirlo por prueba y error. Si lo hicieran de una manera ordenada y sistemática, se darían cuenta de que la respuesta no está realmente hacia adelante en el tiempo:

Hijo   Papá   Proporción (veces que cabe la edad del niño en la del padre)
5           32         6.4
6           33         5.5
7           34        4.86
8           35        4.3

¿Lo notan? La proporción es cada vez menor, y no hay señales de que comenzará a crecer en algún punto, para alcanzar el 10 buscado. Recuerdo que algunos alumnos intentaron calcular la relación unos 100 años después, sin reflexionar que la proporción disminuye siempre que la edad de ambos avance. Eso por sí solo debería darles la pista necesaria para encontrar la respuesta, que no está hacia adelante, sino hacia atrás:

4           31         7.75

3           30         10

Considero conveniente que aceptemos como respuesta el que señalen que no existe una respuesta a la pregunta ¿Dentro de cuantos años…? Al menos no existe una respuesta positiva. Sería aún mejor si nuestros alumnos estuvieran acostumbrados a reflexionar y a buscar respuestas “fuera de la caja”, es decir, un poco diferentes a lo común, pero aun así lógicas.

La respuesta más adecuada sería: hace 2 años la edad del papá (30 años) era diez veces la edad del hijo (3 años).

¿Quieren saber cómo se plantea para resolverlo algebraicamente?

Si llamamos t al tiempo que transcurrirá desde hoy hasta que la edad del padre sea 10 veces la edad del hijo, tenemos que:

El hijo tendrá 5 + t años

El padre tendrá 32 + t años

Queremos que, en ese momento, la edad del padre sea 10 veces la del hijo, por tanto:

10 (5 + t) = 32 + t

Aplicamos la ley distributiva en el primer miembro de la ecuación:

50 + 10 t = 32 + t

Restamos t y 50 a ambos lados de la ecuación:

10 t – t = 32 – 50

Reducimos:

9 t = -18

Dividimos entre 9:

t = -2

Listo, llegamos algebraicamente a la respuesta. En este caso, no es una respuesta que atenta a la lógica, sino que la desafía. Es simplemente una comprobación de que las respuestas no siempre están donde las buscamos, de que hay ciertas cosas que no pueden pasar en un sentido pero sí en el sentido contrario y de que el plantear ecuaciones puede ser más útil que usar prueba y error para resolver un problema.

Volviendo al problema de los trenes, si se plantea algebraicamente una situación en la que el segundo tren va más lento que el primero, se obtendría por respuesta un tiempo negativo. En ese caso, la interpretación sería distinta, porque no podría decirse que los trenes se encontraron «tantas horas antes de partir». Más bien debe interpretarse como que, bajo esas condiciones, el único momento en el que estuvieron juntos fue antes de partir.

Cavando un hoyo

Si tres personas cavan un agujero de 3 metros de ancho por 4 metros de largo por 2 metros de profundidad en 3 días de trabajo de 8 horas, ¿En cuántos días de trabajo de 8 horas cavarán esas mismas 3 personas un agujero de 1 metro de ancho por 1 metro de largo por 48 metros de profundidad?

¿Recuerdan cómo se plantea una regla de 3 compuesta? Vean la explicación completa sobre reglas de tres directas e inversas aquí y sobre reglas de tres compuestas aquí. En esta última explico por qué conviene escribir la incógnita en la primera fila a la izquierda y el resto de los datos correspondientes a la incógnita en esa misma fila, mientras que los datos que se conocen completos van en la siguiente:

Días       Horas       Personas       Volumen

x                   8                3                1 x 1 x 48 = 48

3                    8               3                3 x 4 x 2 = 24

Cuando los datos en ambas filas son idénticos, no necesitan tomarse en cuenta esa columna para los cálculos, por lo que la cantidad de horas y de personas no se considerarán. La relación entre días y volumen cavado es directa, pues a más volumen se requieren más días. Por lo tanto se trata de una regla de tres directa que se resuelve:

x = 3 x 48 / 24 = 6

Según nuestros cálculos, en 6 días estará listo el trabajo

¿Seguros? ¿Pueden 3 personas trabajar al mismo tiempo cavando el mismo agujero de 1 metro por 1 metro? Se estorbarían ¿no creen? Además, no me imagino la logística que se necesita para cavar un agujero de esas dimensiones, tan estrecho y con tanta profundidad, dudo que se pueda cavar al mismo ritmo que el otro agujero con proporciones tan distintas a éste.

Por favor, pensemos bien al generar los datos de los problemas que les planteamos a los alumnos. Acepto que exageré un poco en lo absurdo de este planteamiento, pero fue para que quedara más clara la idea de lo que debemos cuidar. Ya en las entradas correspondientes  a regla de tres había incluido la recomendación de cuidar que la respuesta fuera lógica y buscar que los alumnos realmente resolvieran el problema, en vez de sólo quedarse con la respuesta numérica, sobre todo si dicha respuesta numérica no es entera y pierde sentido darla así. Veamos otro ejemplo:

Si 4 personas cavan los cimientos de una casa en 10 días de trabajo, cuántas personas harán el mismo trabajo en 16 días.

El planteamiento queda así:

Personas   Días

x                    16

4                    10

Como se requieren menos personas si se dispone de más tiempo, la proporción es inversa y la respuesta se calcula:

x = 4 x 10 / 16 = 2.5

Si el alumno contesta solamente: 2.5 personas, está desconectando su pensamiento lógico matemático y se limita a dar una respuesta mecánica. Debemos fomentar respuestas que realmente resuelvan el problema. En este caso una buena respuesta, que no sería la única buena respuesta, pudiera ser: se requieren 2 personas que trabajen los 16 días y una más que sólo trabaje la mitad del tiempo.

Ahorrando para comprar oro

Este problema lo estoy copiando textualmente del libro Asesinatos Matemáticos de Claudi Alsina, el problema debe estar redactado en España, en el año 2000. Cuando lo leí, pensé que, si fuera un problema de examen con respuestas de opción múltiple, las respuestas pudieran ser:

a) Sí
b) No
c) No se tiene suficiente información para contestar
d) El tiempo disponible para contestar el ejercicio no me permite hacer los cálculos necesarios para dar una respuesta

Así va el problema:

Supongamos que en el comienzo de nuestra era, es decir, en el año 0 d.C., la Tierra comienza a viajar —digamos, en línea recta, para mayor
claridad— a la velocidad de la luz. Engendrará así un cilindro cuya sección recta
será la del círculo máximo de la Tierra, y su altura será la velocidad de la luz
multiplicada por el tiempo que esté trasladándose, que consideraremos será hasta
el año 2000. Supongamos también que este cilindro es de oro macizo y queremos
calcular su valor (un gramo de oro vale actualmente 370 pesetas).
Por otra parte, al mismo tiempo que la Tierra comienza a desplazarse como
hemos dicho, colocamos una peseta en el banco al interés compuesto del 10 % y la
dejamos hasta el mismo año 2000. El capital que tendremos entonces en el banco
¿nos permitirá comprar el cilindro de oro macizo?

Si bien el aprendizaje significativo requiere involucrar los conceptos matemáticos dentro de problemas de la vida real y este problema implica aritmética, geometría, interés compuesto, cambio de unidades de tiempo… toda una joya (de oro macizo) de combinación de temas dentro de un solo ejercicio, creo yo que no podría considerarse como algo de la vida real.

¿Cuál sería mi respuesta? c) No se tiene suficiente información para contestar, porque no se cuenta con la densidad del oro para calcular su peso en función de su volumen. Uff… nos ahorramos un montón de trabajo, pero el susto a medio examen quién nos lo quita. Evitemos también este tipo de problemas, por favor.

Triángulos y polígonos que no se pueden construir

Al pensar en más ejemplos para esta entrada, recordé otras dos anteriores que surgieron, justamente, de ejercicios absurdos que observé, en este caso en geometría.

Parece ser muy común que en geometría se propongan ejercicios con medidas que no coinciden con la realidad. Es decir, se dibuja un triángulo “como salga” y luego se le escriben medidas con las que no se podría construir realmente.

Para que se pueda construir un triángulo, su lado mayor debe medir menos que la suma de los dos lados menores. Por lo tanto, un triángulo nunca podría tener estas medidas en sus lados: 3, 5 y 9. Desde los extremos de una línea de 9 unidades no hay forma de trazar una línea de 3 y otra de 5 que logren unirse.

Algo que tampoco podría ocurrir nunca es que en un triángulo rectángulo un cateto mida lo mismo que la hipotenusa. Si recordamos el Teorema de Pitágoras, a² + b² = c², nos daremos cuenta de que si a o b son iguales a c, la otra variable debe valer cero y eso ya no sería un triángulo.

Entiendo por qué es tan frecuente esta situación, los profesores quieren facilitarle la vida a los alumnos eligiendo medidas que den resultados de área o perímetro fáciles de calcular o con resultados enteros, sólo que con ello provocan que el estudiante deje de pensar en la lógica de las dimensiones de la figura con la que está trabajando y se limite a aplicar las fórmulas y dar el resultado.

Por eso escribí esas dos entradas, para facilitarle la vida a aquellos profesores que quieren generar ejercicios geométricos con ciertas características y también quieren fomentar el pensamiento lógico matemático de sus alumnos. En ellas menciono la importancia de respetar las proporciones de las figuras geométricas y propongo estrategias para generar triángulos (pueden verla aquí) y polígonos (pueden verla aquí) con medidas enteras en lados, perímetro y área.

Para cerrar

Diseñar actividades para los alumnos es todo un reto. Conviene que el pensamiento lógico de los hijos y alumnos se desarrolle a la par que les enseñamos el temario de la materia, por lo que necesitamos cuidar que los ejercicios con los que pretendamos que aprendan reten a la lógica, sin atentar contra ella y provocar que se desconecte. Confío en que las ideas que he propuesto en esta entrada y en todas las entradas anteriores a las que hice referencia, les ayuden a diseñar cada vez mejores ejercicios para sus hijos y alumnos.

Agradezco a quienes leen estas líneas, a quienes las comparten, a quienes me hacen comentarios o sugerencias y también a todos aquellos que ponen su granito de arena para que cada vez más personas se lleven bien con las matemáticas.

¡Hasta la próxima semana!

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer