Los profesores y los papás hacemos preguntas a nuestros alumnos e hijos y esperamos provocar en ellos un proceso de pensamiento (como fichas de dominó que caen una tras otra, o como algo más complejo) que los lleven a ciertas respuestas. Para algunas preguntas, las respuestas pueden obtenerse y/o expresarse de diferentes formas. Según la intención didáctica de la pregunta (lo que queremos que aprendan al contestarla), puede ser necesario que sea respondida de cierta forma y/o con cierto proceso. Sobre eso compartiré algunas ideas hoy.

Se me ocurrió escribir acerca de esto al ver cómo calificó la maestra una tarea de fracciones de mi sobrino, en quinto de primaria. Los valores de las respuestas estaban bien calculados, pero al parecer no estaban expresados como ella esperaba, así que llenó de “taches”  la hoja, sin que el niño comprendiera del todo por qué. Sigan leyendo para conocer el resto de la historia.

Veamos distintos casos en los que la forma de expresar la respuesta (y/o el proceso de solución) puede variar y lo que puede convenir hacer en cada uno.

El caso de las multiplicaciones

En la primera entrada sobre tablas de multiplicar (ver aquí) mencioné que, según el idioma y país, el concepto de multiplicación se entiende distinto y la respuesta al pedir que expresen 5 x 3 como una suma sería:

En español 5 x 3 significa sumar cinco tres veces 5 + 5 + 5 = 15 

En inglés 5 x 3 es sumar cinco veces tres (five times three), esto es 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

Aunque ambas sumas lleguen al mismo resultado final, si la intención didáctica de la pregunta es que el alumno muestre que entendió el concepto de multiplicación como el profesor se lo enseñó (como se entiende la multiplicación en su país)… necesita contestar como se lo enseñaron.

Si la intención didáctica de la pregunta es obtener el resultado correcto, entonces no debería haber problema en contestar de una forma o de otra.

Otro caso con multiplicaciones

Esto lo hizo otro de mis sobrinos:

     27
x  36
  252
 72   
 972

¿Ven lo que hizo? Multiplicó “al revés”, primero 7 por 36 y luego 2 por 36, pero acomodó todo bien posicionalmente y llegó a la respuesta correcta. Como el orden de los factores no altera el producto, su respuesta está correcta. Creativo mi sobrino ¿verdad?

Si el profesor califica solo resultados, no notará nada raro en ese caso, pero ¿cómo se vería en este otro caso su procedimiento?

    127
x    36
    252
    72
  36    
  4572

Supongo que sería más notorio que todos los demás contestaron usando tres renglones y él usó cuatro.

También se puede resolver “creativamente” (respuesta correcta, procedimiento diferente al habitual) una multiplicación así:

     27
x   36
   810
   162
   972

En este caso, se multiplicó primero el 30 por el 27 (recordemos que el 3 tiene un valor posicional de 30 dentro de 36) y después el 6 por el 27. Como todo está bien acomodado posicionalmente, la respuesta es correcta (ver más sobre la numeración posicional decimal aquí), aunque el procedimiento confunda a quienes estamos acostumbrados al otro.

Yo creo que mi sobrino no le hace daño a nadie multiplicando así, pero no me gustaría usar su método para multiplicar:

253 685
x       45

Con este ejemplo vemos la ardua tarea que tenemos los profesores y papás: fomentar la creatividad de los alumnos, y, a la vez, orientarlos para que conozcan y, de preferencia apliquen, los métodos más eficientes para trabajar. Esto es importante en matemáticas, porque prácticamente todo lo que aprendemos será necesario en una siguiente etapa escolar y,  mientras más eficientes sean nuestros métodos para lo sencillo, mejor nos irá en lo complejo.

El caso de las unidades de medida (un ejemplo de volumen)

Podemos pedir: Obtén el volumen en litros de un cubo de 30 cm por lado.

Se trata de un caso en que está claramente indicado cómo se quiere la respuesta, y no se debería dar como completamente buena una respuesta como esta:

V = 30 x 30 x 30 = 27 000 cm³ 

El cálculo está bien, pero no se responde la pregunta y es muy importante que los alumnos contesten la pregunta que se les hace, en vez de sólo llenar de cálculos correctos el espacio en blanco.

Estaría mal si contestan esto:

V = 30 x 30 x 30 = 27 000 lt 

Porque mostrarían que sólo leyeron “por encima” la instrucción, sin captar por completo todos los datos.

La respuesta correcta debe ser (cálculos y forma de expresarla):

V = 30 x 30 x 30 = 27 000 cm³           

27 000 cm³ = 27 lts

Si en el planteamiento sólo pedimos volumen, sin especificar unidades, debemos estar abiertos a todas las soluciones equivalentes. Si queremos que practiquen cambio de unidades, entonces es una buena idea dar las medidas en cierta unidad y pedir la respuesta en otra. Todo depende de la intención didáctica que queramos darle al ejercicio.

El caso de las respuestas negativas

Si planteamos la siguiente situación: Juan empezó a jugar un juego de mesa con 150 pesos y en los primeros 5 tiros logró lo siguiente:  ganó 70 pesos, perdió 80 pesos, ganó 30 pesos, ganó 10 pesos, perdió 50 pesos. ¿Cuánto dinero ganó en esos primeros 5 tiros?

Aquí se puede contestar que ganó  -20 pesos o que perdió 20 pesos, pero no se debe aceptar como respuesta correcta el decir que perdió -20 pesos (doble negación) ni que ganó 20 pesos (olvido o confusión con el signo).

Que nos digan que Juan tiene 130 pesos al final de esos 5 tiros es un dato correcto pero que no contesta la pregunta. El dato de los 150 pesos iniciales no se requiere para contestar. Ayuda poner datos así para que los alumnos se acostumbren a decidir qué datos son necesarios y qué datos no lo son al resolver un problema.

Se puede forzar la respuesta escribiendo ganó             pesos o se puede dejar libre para que escriban alguna de las dos formas correctas, según lo que nos interese que aprenda. Lo que considero importante es que el alumno sepa si hay alguna restricción o no en la forma de dar la respuesta.

El caso de los planteamientos de ecuaciones

El planteamiento de ecuaciones es un tema tan importante y delicado que aún estoy pensando cómo abordarlo en una entrada futura (o varias).  En ésta sólo quiero comentar lo siguiente:

Cuando presentamos a nuestros alumnos o hijos un problema y les pedimos que lo planteen algebraicamente y luego lo resuelvan, habrá más de alguno que nos ignore y elija hacer prueba y error para responder. Hay alumnos que hacen deducciones brillantes y llegan a la solución sin escribir ninguna x en el papel. En esos casos, conviene pedirles que nos expliquen su proceso de pensamiento (podemos aprender mucho de ellos). Y, después, podemos apoyarnos en ese proceso de pensamiento para ayudarlos a plantear la ecuación, explicándoles por qué es importante hacerlo.

Claro que para eso necesitamos primero entender nosotros por qué es importante.

La versión breve es: porque un problema que se puede plantear con una ecuación sencilla puede resolverse por prueba y error, pero un problema que se plantea con una ecuación más compleja (o con más de una ecuación) requiere de dicha(s) ecuación(es) para resolverse. Así que más nos vale ir practicando con lo sencillo para que después podamos con lo complejo.

Además, el planteamiento de ecuaciones nos prepara para el planteamiento de funciones, que son indispensables para Cálculo Diferencial e Integral… y así sucesivamente.

Lo que puede hacerse es asignar algunos problemas que puedan ser resueltos con o sin planteamiento algebraico y otros que deban ser resueltos planteando ecuaciones, así no limitamos la creatividad pero sí preparamos para lo que viene después.

El caso de las rectas

Estas son cuatro formas de expresar la misma línea recta:

2x – y + 4 = 0

-x/2 + y/4 = 1

( y – 2 ) = 2 ( x + 1 )

y = 2x + 4

Al preguntar por la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1,2) y (1,6) debemos estar abiertos a recibir cualquiera de las respuestas anteriores (o alguna otra equivalente), a no ser que especifiquemos qué tipo de respuesta buscamos. O podemos pedir algo así: expresa de al menos cuatro formas distintas la ecuación de la recta y compáralas… Mismo ejercicio, más aprendizaje.

Esperen, se puede obtener aún más aprendizaje si se les pide que expliquen las ventajas de cada forma de expresar la recta extrayendo y comparando los datos correspondientes. Quizá les parezca densa esta explicación a quienes hace tiempo que no ven álgebra. Pueden brincársela, por supuesto, la escribí para aquellos que la quieran conocer.

2x – y + 4 = 0    es la forma general de la recta: Ax + By + C = 0.

Intersección eje y:  b = -C/B = 4   (0,4)   Intersección eje x:  a = -C/A = 2   (2,0) 

Pendiente: m= -A/B = 2     

Útil para encontrar intersecciones entre rectas mediante sistemas de ecuaciones.

-x/2 + y/4 = 1 es la forma simétrica de la recta: x/a + y/b =1.

Intersección eje y: b = 4 (0,4)   Intersección eje x: a = -2 (-2.0)  Es negativa porque la fracción -x/2 es negativa.

Pendiente m= -b/a =2 

Útil para graficar una recta a partir de las intersecciones con ambos ejes.

( y – 2 ) = 2 ( x + 1 ) es la forma punto pendiente de la recta ( y – y1 ) = m ( x – x1 ).

Pendiente m = 2 y pasa por (-1,2)  

Útil para graficar a partir de un punto y la pendiente.

y = 2x + 4  es la forma y=mx+b (pendiente-ordenada al origen)

Intersección eje y (ordenada al origen) b=4  (0,4)    Intersección eje x:  a = -b/m = -2  (-2.0)  

Pendiente m=2 

Útil para graficar a partir de la intersección con el eje «y» y la pendiente. Y para usarla como función lineal.

Claro, el ejercicio también puede incluir el hacer la gráfica. Aún más aprendizaje.

Se puede lograr mucho aprendizaje a partir de dos simples puntos, ¿verdad?

El caso de las fracciones

Cierto, me falta contarles lo que pasó con mi sobrino: La tarea planteaba una situación parecida a ésta: Si necesitas 2/5 de litro de refresco por cada invitado a una fiesta, llena la tabla para saber cuánto refresco necesitas comprar según el número de invitados. Mi sobrino contestó así (lo rojo yo lo puse, el contestó todo con lápiz):

Dado que los valores están bien calculados, supongo que la maestra esperaba esta respuesta:

¿Cuál sería la ventaja de responder de la segunda forma?

Se ve claramente el patrón: para cada cantidad de invitados, el numerador del resultado se obtiene multiplicando el número de invitados por 2 y el denominador se deja como 5 siempre. Es la forma más sencilla de contestar.

¿Cuál sería la ventaja de responder de la primera forma?

Se reconoce más fácilmente cuántos litros se requieren comprar en cada caso. Implica más trabajo mental para contestarse, pero con un grado de dificultad adecuado (eso, para mí, es una ventaja).

¿Qué opción sería mejor?

Creo que sería una buena idea que la tabla tuviera dos columnas para contestar, en las que se indicara claramente cómo se quiere la respuesta. Así se vería en una columna el patrón de cálculo y en la otra el valor de forma más fácil de leer.

Una anécdota para ver que la forma de preguntar puede hacer una gran diferencia

En una cafetería se cometió un error en un pedido y se tenía un sobre-inventario de brownies que era necesario vender pronto, por lo que se les ofreció a los meseros una pequeña bonificación por cada brownie que lograran vender. Al final del día, uno de los meseros logró que su bono fuera mucho más grande que la del resto, aunque había atendido a una cantidad de clientes similar a los demás. Cuando sus compañeros le preguntaron que cómo le había hecho, el respondió:

Lo que pasó fue que ustedes preguntaban: «¿quiere acompañar su café con un brownie?» y  yo preguntaba «¿quiere su café acompañado con un brownie o con dos?»

Encontremos la forma de preguntar que lleve a nuestros hijos y alumnos a un mayor aprendizaje (con o sin brownies de por medio).

Para cerrar

Es importante decidir la intención didáctica de una pregunta antes de hacerla. Si es una pregunta abierta que apela a la creatividad, entonces estemos abiertos a una gran variedad de respuestas. Si es una pregunta que apela a resolver un problema, debemos indicar claramente si queremos que la respuesta esté expresada de una cierta forma e incluso si queremos que se siga un procedimiento dado. Si no lo indicamos, analicemos con cuidado las respuestas que nos dan, porque quizá significan lo mismo que la que esperábamos, sólo que están expresadas de una forma distinta.

Se requiere un poco más de esfuerzo, como profesores, al proponer situaciones que permitan más de un procedimiento, más de una forma de expresar una respuesta o más de una respuesta. Considero que el aprendizaje así obtenido bien vale ese esfuerzo, que, además, lleva a aprovechar de forma más eficiente nuestro tiempo y el de nuestros hijos y estudiantes.

Por cierto, mis alumnos me pidieron que los mencionara en el blog, así que voy a comentar aquí algo que les digo a ellos acerca de las respuestas a los problemas en los exámenes:

“No se vale llenar todo el espacio para contestar con cálculos, sin indicar qué de todo eso contesta la pregunta, esperando que yo elija de entre todo lo que está ahí la respuesta correcta. Eso me indica que saben hacer un montón de cálculos pero no me indica que  supieron resolver el problema. Imaginen lo que pasaría si su jefe o su cliente les pide un dato y ustedes le dan un montón de papeles y le piden que busque ahí lo que necesita…”

Listo, promesa cumplida mis estimados estudiantes.

Les hacemos mucho bien a nuestros hijos y alumnos preparándolos para la vida real, dejándolos ser creativos y, a la vez enseñándolos a indicar claramente cuál es la respuesta y a darla en un formato específico o a llegar a ella por un procedimiento dado cuando así se requiera. Siempre que pidamos algo específico, conviene que expliquemos por qué. Recordemos que el pensamiento lógico-matemático se desarrolla cuando entendemos los por qué (ver más sobre ese pensamiento aquí y aquí). Todo el concepto de este blog se basa en la premisa de entender por qué.

Como siempre, gracias por leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les pueda ser útil lo que aquí publico. Por favor, escríbanme si tienen alguna duda y si quieren sugerirme temas que deseen que aborde en futuras entradas del blog.

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

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