Actividades de “piso bajo techo alto” (PBTA) inspiradas en el enfoque de “Mentalidad Matemática” de Jo Boaler

Ésta es la entrada 81 del blog, ¡hoy se completan nueve veces nueve entradas! Como me encanta el nueve (ver por qué aquí), la dedicaremos a un tema especial.

Hace tiempo que sigo el trabajo de Jo Boaler y su equipo de youcubed.org, a través de lo que se podría traducir como “Mentalidad Matemática” (Mathematical Mindset). Uno de los conceptos que me parecen más interesantes de ese enfoque es el de las actividades de “piso bajo y techo alto” (PBTA), que permiten trabajar con alumnos con distintos niveles de conocimiento y habilidad al mismo tiempo.

pencil-1891732_640_optMe parecen muy interesantes, sí, pero en un inicio pueden ser complejas de diseñar, así que compartiré aquí algunas ideas relacionadas con el tema. Confío en que les ayudarán a comprenderlo y detonarán su creatividad, para que ustedes puedan desarrollar actividades similares, adecuadas a sus contextos.

Para poderla construir, necesitamos primero entender qué es.

¿Qué es una actividad de piso bajo y techo alto (PBTA)?

Es una actividad que puede ser abordada por alumnos que sólo posean conocimientos y habilidades muy básicos (el “piso” o punto de arranque de la actividad son bajos) y que, a la vez, permite que los alumnos que poseen conocimientos y habilidades más elevados, o diferentes, logren conclusiones y aprendizajes que no estén limitados por el diseño y objetivo de la actividad (el “techo” o punto de conclusión de la actividad es alto o, más bien, inexistente).

roof-truss-3339206_1280_optEl que una actividad termine al dar una única respuesta limita el aprendizaje logrado. Cuando nos enfocamos en que los alumnos encuentren varios procedimientos para llegar a la respuesta, o varias respuestas a partir de un procedimiento básico, se expanden, incluso desaparecen, los límites de la actividad. ¡Puede ser que nuestros estudiantes encuentren respuestas que no teníamos contempladas! Sobre todo si los retamos a encontrar las ideas más disruptivas que se les ocurran.

kontroller-2022084_1280_optVaya, suena a algo que puede salirse de control, ¿verdad?

Depende de qué consideremos “control”.

Necesitamos tener claras algunas cosas para evitar que la actividad se vuelva caótica:

Se necesita tener establecido un objetivo mínimo, que todos los alumnos deben alcanzar de una forma u otra, ya sea por sí solos, con apoyo de sus compañeros o con un poco de orientación de nuestra parte.

También es conveniente que sepamos más o menos qué ideas se les pueden ocurrir a los alumnos, para tener preparadas algunas estrategias para apoyarlos mientras las exploran, o para encaminarlos si no dan con ellas fácilmente.

Es importante reconocer que una actividad PBTA respeta el ritmo del alumno y busca más la discusión y el descubrimiento que un aprendizaje específico.

Suena bien ¿verdad? Suena como algo deseable para cada una de nuestras clases. Sin embargo, al enfrentarnos a una hoja en blanco para diseñar una actividad así nos topamos con la incertidumbre de… ¿y ahora? ¿Cómo la construyo? ¿Cómo hago que la actividad no tenga límites, pero se logre llevar a cabo en el tiempo limitado de mi clase? ¿Cómo hago para que todos participen poniendo su mejor esfuerzo?

Bueno, para esta última pregunta, la respuesta está más relacionada con el liderazgo que ejercemos en nuestro grupo (ver más sobre liderazgo aquí) que con nuestras estrategias didácticas propiamente, aunque un diseño de actividad retador y llamativo ayudará mucho en ese sentido.

icon-2967800_1280_optEste resumen-guía para construir actividades PBTA lo adapté de un documento del Wisconsin Mathematics Council que me pareció muy claro (ver aquí):

  • Realiza la actividad tú primero. Ten clara la intención de la misma y cómo vas a medir que se logró el aprendizaje que buscas.
  • No necesitas identificar previamente absolutamente todas las respuestas posibles o todos los caminos que puede tomar la discusión, pero sí prepárate mentalmente para acompañar la actividad y responder, sinceramente, que necesitas tiempo para averiguar si algo que te proponen es válido.
  • Piensa en preguntas o pistas que puedan orientar a los alumnos para encontrar opciones en un tiempo razonable, sin despojarlos del aprendizaje.
  • child-2205449_1280_optPiensa en tener disponibles materiales concretos variados o cualquier otro recurso que les pueda ayudar a “manipular” las ideas con las que quieres que trabajen.

Aprovecha y logra más aprendizajes en paralelo

Al pedirles que expliquen sus procedimientos y razonamientos, los alumnos practican la expresión oral y escrita (si así lo solicitamos), el pensamiento crítico, el respeto a las ideas de los demás… mucho aprendizaje en una sola actividad. (Ver más sobre aprendizaje eficiente aquí).

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos de actividades “PBTA”:

Formar un número a partir de otros, con distintas operaciones

Esta actividad me agrada porque se lleva a cabo en pocos minutos, se logra activar al grupo y ponerlo en “modo matemático”.

kids-2782694_1280_optSe menciona en voz alta un número y se les pide a los alumnos que, uno a uno, vayan diciendo formas de llegar a él mediante distintas operaciones.

Según el objetivo que se quiera lograr (el conocimiento o habilidad que se quiera practicar), se ponen las reglas, aunque una que es básica es que es necesario escuchar las opciones de los demás y no repetirlas. Veamos algunos ejemplos de reglas que se pueden usar, cada una de forma independiente. Se eligen según lo mínimo que se desea que se practique en esa ocasión:

*Sólo son válidas las sumas (pero sí se vale usar números decimales, para que haya suficientes opciones para todos).

*No son válidas ni sumas ni restas (y sólo usar números enteros, entonces las posibilidades con la multiplicación son pocas, pero con división son ilimitadas).

*Es válida cualquier operación que involucre al menos una fracción.

Se puede hacer que los estudiantes participen en el orden en el que están sentados, o se puede dar oportunidad primero a los menos hábiles, para que aporten las opciones más sencillas (aunque más de alguno nos sorprenderá con opciones “fuera de la caja”). Conviene animar a todos a dar las opciones más creativas que se les ocurran. Yo lo he hecho en el salón y se pone muy interesante.

Si se les da el 60, por ejemplo, podrán obtener opciones como éstas:

Básicas:

30 + 30

120 – 60

6 * 10

120 / 2

Más interesantes:

59.9 + 0.1

60 ½ – ½

2 * 2 * 3 * 5

20 / (1/3)

Raíz cuadrada de 3600

Incluso usando los neutros aditivo y multiplicativo:

60 + 0

60 / 1

Ésta actividad ayuda, además, a desarrollar el sentido numérico. De hecho, ya la había compartido en alguna entrada anterior de ese tema (ver más aquí y aquí)

Encontrar superficies con un área conocida pero con formas desconocidas

abstract-1900210_1280_optEl planteamiento anterior (centrado en la multiplicación de dos números) se puede llevar a la geometría , si pedimos a los alumnos que encuentren la mayor cantidad posible de rectángulos con un área de 60 cm²:

1 cm x 60 cm

2 cm x 30 cm

3 cm x 20 cm

4 cm x 15 cm

5 cm x 12 cm

6 cm x 10 cm

12 cm x 5 cm …

… se pueden ampliar las posibilidades a usar números fraccionarios, decimales, incluso irracionales: con √60 cm por √60 cm se obtendría el único cuadrado (que es un tipo especial de rectángulo, ver más aquí) que puede formarse.

Si se quiere hacer aún más disruptiva la actividad, se pueden buscar áreas irregulares que también midan 60 cm², o 60m², o 60 ft²… que tengan, por ejemplo, forma de L o de T, en las que se incluyan algunas conversiones de unidades (ver más sobre conversiones aquí y aquí).

Incluso se puede pensar en cómo recortar una forma con esa área y unir las partes de forma distinta para construir otra. O hacer algo similar en tres o más dimensiones (aunque en más de tres dimensiones no lo puedan dibujar, sólo imaginar).

Clasificar objetos de formas más o menos sencillas

card-game-570698_1280_optLa observación cuidadosa de las características de un objeto físico o matemático es esencial para poder saber qué es válido y qué no es válido hacer con él. Una buena forma de practicarla es clasificando objetos físicos y/o matemáticos.

Si se está practicando la clasificación como tal, se puede dejar elegir de forma libre aquella característica por la cual se está clasificando, animando a los alumnos a hacer clasificaciones creativas, las cuales compartirán con los demás.

Por ejemplo, con las cartas de una baraja, se pueden hacer muchas clasificaciones distintas:

Clasificaciones sencillas:

Rojas y negras

Figuras y números

Palos (diamantes, tréboles, corazones rojos y espadas/picas/corazones negros)

Sólo con los números: pares y nones, primos y compuestos, mayores a 5 y 5 y menores, cartas con una imagen al centro (como el tres) y cartas sin ninguna imagen al centro (como el cuatro)…

Clasificaciones dobles:

Rojas y negras y figuras y números. Habrá cuatro “montones”, uno de figuras rojas, otro de figuras negras, otro de números rojos, otro de números negros.

Pares y nones y los cuatro palos. Habrá ocho “montones”.

El piso de esta actividad es saber clasificar. El techo es encontrar formas creativas para hacerlo. Escuchar a los demás ayuda a abrir el panorama de los alumnos. Obviamente el respeto a las ideas de los demás en estas actividades es básico.

Redactar un problema de regla de tres (desde simple directa e inversa hasta compuesta)

dogs-1634351_640_optNormalmente les damos el problema y la actividad es resolverlo. ¿Y si les pedimos que lo redacten? Pueden empezar con sólo tres datos, pero luego incrementar a 5, 7, incluso 9 (ver más sobre regla de tres aquí y aquí).

Si tres perros se comen tres bolsas de croquetas en tres días, ¿cuántas bolsas se comerán nueve perros en nueve días? Este problema tiene una buena variedad de formas de resolverse y fomenta el entendimiento de cómo se construye un problema de regla de tres.

(Pueden ver la respuesta en la sección “para cerrar”)

Operaciones consecutivas con fracciones, que los alumnos elijan si combinan o no la operación (el objetivo es sin combinar)

Con estos números arma dos fracciones, concaténalas con una operación yhaz el cálculo.   2, 3, 5, 5

Se puede pedir que usen las cuatro operaciones de forma independiente, para que observen las implicaciones.

Se puede pedir que armen todas las combinaciones que se les ocurran y que vean las implicaciones de cada una: común denominador, simplificación de fracciones antes o después de hacer las operaciones…

Fracciones

Ver más sobre fracciones aquí, aquí y aquí.

En geometría, pedir que dibujen un polígono regular y sus diagonales y dejar libre el número de lados.

color-154058_640_optSe les puede pedir que se coordinen, para no repetir, y que haya una puesta en común puedan observar que el número de diagonales sigue un patrón.

¿Qué figuras se forman al trazar líneas adicionales a las diagonales?

¿Qué pasaría con el número de diagonales si el polígono no es regular?

Para secundaria: dados dos puntos, encontrar al menos la forma X (punto-pendiente, pendiente-ordenada al origen, etc) de la recta que pasa por ellos….

¿Y una paralela que pase por? ¿Y una perpendicular que pase por?  Se pueden proporcionar varios planteamientos consecutivos (dados dos puntos, o un punto y la pendiente, etc.) en los que se pida sólo una forma de la ecuación de la recta en cada uno, con el reto de elegir otras formas de la recta para cada planteamiento y descubrir patrones, diferencias y similitudes entre procedimientos y resultados, que compartan con el grupo al final.

¿Qué otras ideas de actividades PBTA se les ocurren?

Otras consideraciones

checklist-2277701_1280_optRecordemos que necesitamos tener claro cuál es el objetivo de la actividad y cómo sabremos que se alcanzó, para que verifiquemos que, aunque se comience en un piso muy bajo, todos los alumnos alcancen al menos ese objetivo. Todo lo extra es bienvenido, pero no conviene que forme parte de la evaluación básica. Si deciden tomarlo como extra, y eso no provoca problemas en el grupo por parecer una injusticia, está bien. Otra opción es medir el esfuerzo más que el resultado, aunque eso es un poco subjetivo y, mal manejado, puede ser fuente de problemas.

sunroof-2049055_1280_optUna ventaja de este tipo de actividades es que normalmente todos los alumnos podrán hacer algo desde sus propios enfoques. El que es más artista dibujará, el que es más científico hará pruebas, el que aprende haciendo buscará material para representar el problema y todos se enriquecerán del enfoque del otro, dado que, aunque he escuchado decir que “esas dos personas son tan idénticas como dos gotas de agua”, realmente las gotas de agua, como nuestros alumnos, pueden ser muy diferentes entre sí.

Con este tipo de actividades también se liberan las ataduras que impedían probar y equivocarse sin miedo a recibir burlas, lo cual vuelve más positivo el ambiente y más enriquecedor el proceso.

homework-2521144_640_optEn ciertos casos, lo que se busca es que lleguen al resultado sin importar el procedimiento (siempre y cuando sea un procedimiento matemáticamente válido). En otros casos, lo que se busca es que practiquen una y otra vez un procedimiento, eligiendo los valores o las circunstancias libremente. A mi modo de ver, el primer caso prepara más para la vida, el segundo más para un examen. Ambos se necesitan en una sociedad en la que la escuela es obligatoria y se evalúa mediante exámenes.

Quizá se pregunten si hacer esto amplía la brecha entre los alumnos. Yo creo que depende mucho de cómo lo manejemos. Si todos pueden escuchar las respuestas de todos, pueden aprender de los distintos enfoques. Y limitar a los avanzados puede provocar más problemas que beneficios, porque se pueden aburrir y eso puede afectar su comportamiento negativamente y, con ello, el ambiente del grupo.

animated-1881895_640_opt¿Han escuchado esa, digamos, fábula en la que a todos los animales se les iba a evaluar en sus distintas habilidades para darles clases para que todos fueran capaces de hacer todo? El pato debía aprender a correr, el pez a volar, el elefante a nadar… Si en esa anécdota nos suena ilógico, ¿por qué nos suena lógico hacer que los alumnos marchen lo más parejo posible a lo largo de su vida académica?

Un mínimo de conocimientos y habilidades sí lo necesitan lograr todos, dado que no pueden (ni creo que sea conveniente) “escaparse” del sistema escolar (aunque hagan “homeschooling”), por eso debemos cuidar que del piso bajo que planeamos sí lleguen a ese mínimo. Pero el máximo logrado por un alumno no debería estar limitado por las capacidades de sus compañeros. Unos serán buenos en unas materias, otros en otras y eso enriquece a nuestra sociedad.

Fomentemos que cada uno potencie las capacidades y conocimientos que ya tiene fuertes y fortalezca los que tiene débiles, para que al momento de elegir carrera no se vean limitados por algún aprendizaje no logrado previamente. Nuestros hijos y alumnos lo agradecerán.

Para cerrar

Reconozco que este tipo de actividades absorben mucho tiempo de planeación y de ejecución, y quizá no es práctico implementarlas en ciertos contextos, pero se pueden ir diseñando poco a poco conforme pasen los ciclos escolares. Cada nuevo ciclo podemos volver a usar las actividades diseñadas en los anteriores, corregidas para hacerlas más eficientes, e integrar nuevas actividades que cada vez serán más fáciles de diseñar, porque vamos teniendo más experiencia.

small-house-2037493_1920_opt.pngElegí la imagen que encabeza la entrada porque el techo parece estarse estirando. Me imaginé a un alumno ingeniando cosas muy disruptivas durante la actividad, impulsando hacia arriba el techo de la construcción. También imaginé a otro saliendo por la chimenea y volando aún más alto que el techo que ya era de por sí alto.

Muchas gracias por su compañía estas 81 semanas. Confío en poder seguir escribiendo y compartiendo ideas para mejorar la relación de las personas con las matemáticas por muchas semanas más.

Agradezco que lean lo que escribo y que compartan la información con aquellos a quienes les puede resultar de utilidad.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

¡Cierto! Casi olvido dar la respuesta al problema. Serían 27 bolsas. El razonamiento lógico, sin seguir fórmulas ni algoritmos es:

Si tres perros se comen tres bolsas de croquetas en tres días, entonces cada perro se come una bolsa en tres días. Ese dato puede servir para hacer el cálculo.

También puede servir pensar en que ahora tenemos nueve perros y nueve días. Es el triple de perros y el triple de días, así que la respuesta es 3 * 3 * 3 = 27 bolsas de croquetas para alimentarlos.

 

2 comentarios en “Actividades de “piso bajo techo alto” (PBTA) inspiradas en el enfoque de “Mentalidad Matemática” de Jo Boaler

  1. Gracias Rebe, excelentes estrategias que sin duda podemos implementar en nuestra aula, para lograr mejores resultados. Te felicito y agradezco que nos brindas una visión más allá del por qué hacer las cosas y para qué. Saludos

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