Razones, proporciones, repartos proporcionales, porcentajes ¿cómo distinguirlos?

Ésta es la entrada 71 del blog. La dedicaremos a las razones, de forma tal que podamos diferenciarlas de las proporciones y los porcentajes. Aprovecharemos para ver el tema de los repartos proporcionales, que también está relacionado.

Como veremos, todos son conceptos cercanos, relacionados de cierta manera, pero no idénticos, por lo que conocer sus diferencias y similitudes nos ayudará a entender cómo calcular cada uno y nos evitará confusiones y errores al interpretar la información.

¿Qué hace una cebra en el encabezado de esta entrada? Estuve tratando de averiguar la razón rayas blancas a rayas negras que suele tener la cebra y no lo logré. Si alguno de ustedes tiene el dato, agradeceré que lo compartan en los comentarios. De lo que sí me enteré es que la cebra es un animal negro con rayas blancas y no al revés. Todos los días se aprende algo nuevo.

¿Qué es una razón?

Empecemos por ver qué dice la Real Academia Española que significa la palabra razón en matemáticas:

Cociente de dos números o, en general, de dos cantidades comparables entre sí.

En Wikipedia encontramos que una razón, en matemáticas, es una relación binaria de magnitudes.

Vaya, parece que le falta algo a esas descripciones para entender bien el concepto. Creo que con un ejemplo quedará todo más claro. Las razones indican de una manera especial la relación entre dos cantidades, suelen escribirse como fracciones, pero también se pueden escribir de otras formas:

cookies-1387826_1280_optSi en una caja de galletas hay 20 de vainilla y 30 de chocolate, yo me quedo con las de chocolate y les dejo… perdón, me distraje:

La razón de las galletas es 20 de vainilla a 30 de chocolate. También se puede escribir 20 : 30 o 20/30.

Cuando se ve como una fracción, puede simplificarse (ver cómo aquí), se diría entonces:

La razón galletas de vainilla a galletas de chocolate es 2 a 3, 2 : 3 o 2/3 Esto es, por cada dos galletas de vainilla, hay tres de chocolate.

Sobre situaciones de proporcionalidad directa, inversa y combinada, que para solucionarlas se usan las reglas de tres directas, inversas y combinadas, escribí dos entradas hace tiempo. Por cuestiones de espacio sólo pondré las ligas aquí, pueden seguirlas para ver el tema completo:

Regla de tres: ¿cómo distinguir cuándo y cómo usar la directa y la inversa? (Ver aquí)

Reglas de tres compuestas: ¿cómo plantearlas y resolverlas? (Ver aquí)

Y sobre porcentajes escribí aquí.

Diferencia entre una razón, una proporción y un porcentaje

avatar-1294163_1280_opt.pngSi en un salón de clases hay 15 niñas y 25 niños:

La razón niñas a niños es 15/25 o 3/5, es decir, 3 niñas por cada 5 niños

La proporción de niñas en el salón es 15 / 40, es decir, 3/8, o 3 niñas por cada 8 alumnos.

El porcentaje de niñas en el salón es de 15•100 / 40 = 37.5%

En todos los casos, es la misma información, expresada de diferente forma. Observen que los 40 alumnos sí incluyen a las 15 niñas, en cambio, los 25 niños no incluyen a las 15 niñas.

Si conocemos la razón niñas a niños igual a 3 / 5, y sabemos que hay 50 niños, entonces habrá 30 niñas  ( 50 / 5 • 3 = 30).

Tengamos cuidado cuando a partir del dato de 80 alumnos y la razón niñas a niños 3 a 5, debemos averiguar cuántas niñas y cuántos niños hay.

Necesitamos dividir 80 entre la suma de 3 + 5 y después multiplicar por 3 para obtener el número de niñas: 80 / 8 • 3 = 30. El número de niños es la cantidad que falta para llegar a 80.

Si conocemos la proporción niñas a alumnos igual a 3/8, y sabemos que hay 80 alumnos, entonces habrá 30 niñas (80• 3 / 8 = 30).

Esto es, si el grupo crece de 40 a 80 niños y se mantiene la proporción, habrá 30 niñas (el grupo creció al doble y la cantidad de niñas también, es una pregunta de proporcionalidad directa resuelta con regla de tres directa).

Finalmente, si conocemos que el 37.5% de los alumnos son niñas y sabemos que hay 80 alumnos, podremos saber que hay 80 • 0.375 = 30 niñas.

Reparto proporcional directo e inverso

Alrededor de la palabra proporción también gira el término reparto proporcional. ¿Qué es?

Es un tipo especial de reparto en el que las cantidades resultantes no son iguales, debido a las circunstancias en las que se da el reparto. Existen el reparto proporcional directo y el inverso.

Se entenderá mejor con ejemplos:

woodland-656969_640_opt.jpgTres amigos reciben 12 000 pesos por construir un camino de 24 metro, sin embargo, no construyeron la misma cantidad cada uno. Juan construyó 10 metros, Pedro 8 metros y Carlos sólo 6 metros. ¿Cómo deben repartirse el dinero para que lo que le toque a cada uno sea proporcional al trabajo realizado?

Se trata de un reparto proporcional directo, pues quien más trabajó más recibirá.

Hay varias formas de entenderlo y de hacerlo. Creo que la más sencilla es ésta:

Si se pagaron 12 000 pesos por 24 metros de camino, entonces por cada metro de camino se pagó 12000 / 24 = 500 pesos/m.

Juan, que construyó 10 metros, se le pagan 10 m x 500 $/m = $5000
Pedro, que construyó 8 metros, se le pagan 8 m x 500 $/m = $4000
Carlos, que construyó 6 metros, se le pagan 6 m x 500 $/m = $3000

El total de metros es 24 y el total del pago es $12000, por lo que se comprueba que el cálculo estuvo bien.

Otra forma de entenderlo es calcular qué proporción del total trabajó cada persona y multiplicarlo por el total del monto pagado:

Juan hizo 10 / 24 del trabajo. 12 000 * (10/24) = $5000
Pedro hizo 8 / 24 del trabajo. 12 000 * (8/24) = $4000
Carlos hizo 6 / 24 del trabajo. 12 000 * (6/24) = $3000

Existen más formas de entender y resolver este tipo de problemas, incluso con álgebra.

Un planteamiento algebraico sencillo sería pensar en que a cada uno le va a tocar una misma cantidad base, que será multiplicada por la cantidad de metros construidos. La suma de lo que le toque a cada uno debe ser igual a la cantidad a repartir:

Si llamamos k a esa cantidad base que se multiplicará, la expresión al sumar lo que recibirán Juan, Pedro y Carlos queda:

10 k + 8 k + 6 k = 12 000

Que se reduce como

24 k = 12 000

De donde obtenemos que la cantidad base es k = 500 $/m, que es el mismo dato que habíamos obtenido originalmente dividiendo los $12 000 entre la suma de los metros construidos: 10 + 8 + 6 = 24.

Lo cual nos lleva al primer camino de solución que revisamos:

Juan, que construyó 10 metros, se le pagan 10 m x 500 $/m = $5000
Pedro, que construyó 8 metros, se le pagan 8 m x 500 $/m = $4000
Carlos, que construyó 6 metros, se le pagan 6 m x 500 $/m = $3000

(Ver más sobre ecuaciones aquí y aquí)

¿Qué otros planteamientos conocen ustedes?

goal-1141472_640_opt.jpgVeamos otro ejemplo. Se va a repartir un bono de 9 400 pesos entre los 3 porteros de un equipo, que jugaron la misma cantidad de minutos. El reparto se hará de forma inversamente proporcional a la cantidad de goles que recibieron. Es decir, mientras más goles, menos bono les toca. Suponiendo que fueran las mismas personas que construyeron la carretera, pero ahora jugaron futbol:

Juan recibió 10 goles, Pedro recibió 8 y Carlos recibió 6. (Parece que Juan estaba más cansado por haber construido más metros de camino y, por tanto, recibió más goles).

Nuevamente hay diversas formas de entender y calcular cómo repartir, pero lo importante aquí es primero entender que el reparto será inversamente proporcional, es decir, mientras más goles recibieron, menos dinero les toca.

Partamos de un planteamiento algebraico similar al anterior, pero inverso, dado que es un reparto proporcional inverso. K es una constante que nos sirve para calcular cuánto le tocará a cada uno:

k/10 + k/8 + k/6 = 9 400

Si hacemos la suma de fracciones (ver cómo aquí), llegamos a la expresión:

47k / 120 = 9 400

Por lo tanto, la k vale 24000

A Juan le tocan 24 000 / 10 = 2 400
A Pedro le tocan 24 000 / 8 = 3 000
A Carlos le tocan 24 000 / 6 = 4 000

En total reciben los 9 400 que indicaba el planteamiento.

Noten que se puede entender que, en el primer caso, se divide entre 10 (operación inversa a la multiplicación) o que se multiplica por 1/10 (inverso multiplicativo de 10). Ambas formas de entender están relacionadas con algo inverso, dado que es una proporcionalidad inversa.

He visto que en algunos casos los profesores sugieren empezar por calcular un número a repartir de esta forma:

k = 9 4000 / (1/10 + 1/8 + 1/6) = 24 000

Posteriormente se reparte igual que en el proceso de solución anterior:

A Juan le tocan 24 000 / 10 = 2 400
A Pedro le tocan 24 000 / 8 = 3 000
A Carlos le tocan 24 000 / 6 = 4 000

El proceso es igual de válido que el anterior, sólo que es más mecánico, no fomenta la comprensión y, por tanto, es más susceptible de olvidarse o de que se cometan errores.

También existen las razones aritméticas y geométricas, que son los incrementos que se dan en las sucesiones. Sobre eso escribí aquí y aquí.

Vaya, parece que esta entrada une de alguna forma varios temas sobre los que había escrito antes.

Para cerrar

Al pensar en ideas alrededor de la palabra “razón”, me llegó a la mente un programa de televisión de mi niñez, El Chavo del Ocho, en el que el Profesor Jirafales usaba frecuentemente esta frase para iniciar una pregunta: ¿Y se puede saber por qué causa, motivo, razón o circunstancia…? Dichas así las palabras, parecería que son sinónimos.

Y también recuerdo a una de mis directoras de tesis de maestría, la Dra. Elena Nesterova, que me orientó para entender las diferencias de significado de esas palabras, específicamente en el contexto de los errores que cometen los alumnos en matemáticas.

Creo que una forma interesante y útil de entender estos conceptos en el contexto de los errores es: La causa puede ser una falta de conocimiento; la razón puede ser el que se haya distraído; el motivo puede ser el demostrar que no se es bueno en matemáticas y la circunstancia puede ser que estaba nervioso.

Todos responden a la pregunta ¿por qué se equivocó? desde diferentes enfoques. Creo que todos los podemos atender en mayor o menor medida, si estamos realmente interesados en hacerlo. Trabajemos con nuestros hijos y alumnos para que disminuya su nerviosismo al afrontar una tarea matemática, para que busquen demostrar que pueden hacerlo en vez de derrotarse y tratar de probar que son malos, para que se concentren mejor y se distraigan menos y para que completen los conocimientos que les faltan.

Ellos lo necesitan y nosotros podemos hacerlo. ¡Hagámoslo!

Como siempre, gracias por leer y compartir.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay y webresizer

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