Ésta es la entrada 64 del blog. 64 es el número entero más pequeño, mayor a 1, que es el cuadrado de un número (8) y el cubo de otro número (4), por ser 2 elevado a la sexta potencia (ver más sobre exponentes aquí y aquí). Por tanto es el número más pequeño, mayor a 1, con el que pueden tenerse medidas lineales, cuadradas y cúbicas que procedan de medidas enteras, así:

64 cm
64 cm² = 8 cm x 8 cm
64 cm³ = 4 cm x 4 cm x 4 cm

Dedicaremos esta entrada a complementar la 62 (ver aquí) que trató sobre unidades de medida, cómo entenderlas y cómo realizar conversiones básicas en el Sistema Internacional de Unidades. En ésta hablaremos de las unidades de medida básicas en el Sistema Inglés, de las conversiones de unidades entre sistemas, de algunos cuidados que debemos tener al aprender y enseñar este tema y de cómo aprovecharlo al practicar el planteamiento y solución de problemas.

Sistema Internacional de Unidades

En la entrada 62 vimos que una magnitud es una propiedad física que puede ser medida y que el Sistema Internacional de Unidades se basa en siete unidades de base correspondientes a las magnitudes de longitud (metro), masa (kilogramo), tiempo (segundo), corriente eléctrica (ampere), temperatura (kelvin), cantidad de materia (mol), e intensidad luminosa (candela), a partir de las cuales se determinan todas las demás.

Sistema Inglés

El Sistema Inglés, como su nombre lo indica, se usa en Inglaterra. También en Estados Unidos de América y algunos otros países, aunque cada vez es más común que incluso en esos países se use el Sistema Internacional de Unidades, dada la interacción constante entre naciones y su mayor cercanía con el sistema numérico decimal, que facilita las conversiones.

Actualmente solo las dos primeras unidades de medida son distintas al Sistema Internacional: longitud y masa. Las equivalencias convenidas entre ellas son 1 yarda = 0.9144 metros y 1 libra = 0.453 592 37 kilogramos, aunque normalmente se usan menos cifras decimales al hacer las conversiones. A partir de esas equivalencias pueden obtenerse las demás.

Conversiones entre unidades de medida

Como vimos en la entrada pasada, en el Sistema Internacional de Unidades se pueden usar las “escaleras” para convertir entre los múltiplos y submúltiplos de la misma unidad de medida. En el Sistema Inglés esto no es posible, porque las relaciones entre las unidades varían. No son múltiplos constantes entre ellas.

Por lo tanto, las conversiones necesitan hacerse por alguno de los otros dos métodos sugeridos: regla de tres y multiplicar por la unidad. Considero más práctico y útil el multiplicar por la unidad, porque es básicamente lo mismo que hacer la regla de tres, pero permite hacer varias conversiones en una, como veremos más adelante en esta entrada. Lo usaré en todos los ejemplos que lo permitan.

Porque sí, habrá un par de ejemplos que no lo permitan. Ya los veremos.

Unidades de longitud en el Sistema Inglés

Pondré aquí las conversiones básicas y algunas más. A partir de ellas se pueden hacer todas las demás. Podrán observar que, a diferencia del Sistema Internacional de Unidades, en este sistema es conveniente tener las tablas con las conversiones sólo en un sentido, pues hay conversiones en el sentido contrario que no darían números enteros. Por ejemplo, 1 milla es 1/3 de legua.

Al final de cada renglón está la conversión hacia una de las unidades del Sistema Internacional de Unidades suficientemente cercana en tamaño.

1 legua = 3 millas = 24 estadios = 240 cadenas = 960 varas = 4.828032 km
1 milla (mi) = 8 estadios = 80 cadenas = 320 varas = 1760 yardas = 1.609344 km
1 estadio = 10 cadenas = 40 varas = 220 yardas = 660 pies = 201.168 m
1 cadena = 4 varas = 22 yardas = 66 pies = 792 pulgadas = 20.1168 m
1 vara = 5.5 yardas = 16.5 pies = 198 pulgadas = 5.0292 m
1 yarda (yd) = 3 pies = 36 pulgadas = 0.9144 m
1 pie (ft) = 12 pulgadas = 30.48 cm
1 pulgada (in) = 2.54 cm

Vamos un par de ejemplos de conversiones de unidades, con resultados redondeados a 3 cifras decimales:

¿Cuántas mi son 15 km?

Buscamos la conversión: 1 mi = 1.609344 km. Recuerden que si dividimos ambos lados de la igualdad entre 1.609344 km obtenemos una unidad, que nos permite convertir:

1 mi / 1.609344 km = 1

Y multiplicamos los 15 km por la unidad, acomodada convenientemente de forma tal que la unidad destino esté en el numerador y la unidad origen en el denominador:

15 km * (1 mi / 1.609344 km) = 24.14 mi

¿Cuántos cm son 25 yd?

Lo haremos con dos conversiones consecutivas:

1 yd = 36 in
1 in = 2.54 cm

25 yd * ( 36 in / 1 yd) * ( 2.54 cm / 1 in) = 2286 cm

También podemos hacerlo con:

1 yarda = 0.9144 m
1 m = 100 cm

25 yd * ( 0.9144 m / 1 yd) * ( 100 cm / 1 m) = 2286 cm 

Como verán si comparan los dos procesos anteriores, en ocasiones hay elecciones de conversiones que pueden ser más útiles que otras para realizar más rápidamente y con menos errores las conversiones, sobre todo si deben realizarse a mano. El 1 puede no escribirse, si queda claro que está implícito y forma parte de la equivalencia.

Unidades de área en el Sistema Inglés

Usaré las conversiones anteriores para hacer una nueva tabla con las relaciones más importantes. Redondearé a 3 cifras decimales. No sé qué tanto se usen comúnmente cada una de ellas, pero preferí incluirlas todas:

1 legua cuadrada = 9 millas cuadradas = 23.31 km²
1 milla cuadrada (mi²) = 64 estadios cuadrados = 2.59 km²
1 estadio cuadrado = 100 cadenas cuadradas = 40 468.654 m²
1 cadena cuadrada = 16 varas cuadradas = 404.687 m²
1 vara cuadrada = 30.25 yardas cuadradas = 25.293 m²
1 yarda cuadrada (yd²) = 9 pies cuadrados = 0.836 m²
1 pie cuadrado (ft²) = 144 pulgadas cuadradas = 929.03 cm²
1 pulgada cuadrada (in²) = 6.45 cm²

Las conversiones de una unidad a otra se hacen de la misma forma que en el inciso anterior.

Unidades de volumen en el Sistema Inglés

Nuevamente usaré las conversiones de unidades de longitud para hacer una nueva tabla con las relaciones más importantes. Redondearé a 3 cifras decimales. Tampoco sé qué tanto se usen comúnmente cada una de ellas, pero preferí incluirlas todas:

1 legua cúbica = 27 millas cúbicas = 112.54 km³
1 milla cúbica (mi³) = 512 estadios cúbicos = 4.168 km³
1 estadio cúbico = 1000 cadenas cúbicas = 8 140 980.128 m³
1 cadena cúbica = 64 varas cúbicas = 8548.227 m³
1 vara cúbica = 166.375 yardas cúbicas = 127.203 m³
1 yarda cúbica (yd³) = 27 pies cúbicas = 0.765 m³
1 pie cúbico (ft³) = 1728 pulgadas cúbicas = 28 316.847 cm³
1 pulgada cúbica (in³)= 16.387 cm³

Las conversiones de una unidad a otra se hacen de la misma forma que en los incisos anteriores.

Unidades de volumen alternativas (capacidad) en el Sistema Inglés

1 galón (gal) = 4 cuartos = 3.785 lt
1 cuarto (qt) = 2 pintas = 0.9465 lt
1 pinta (pt) = 2 tazas = 0.4733 lt
1 taza ( c ) = 8 onzas fluidas = 0.2366 lt
1 onza fluida (fl oz) = 0.029 lt

Las conversiones de una unidad a otra se hacen de la misma forma que en los incisos anteriores.

Unidades de masa en el Sistema Inglés

En la entrada pasada vimos que solemos usar de forma indistinta masa y peso, aunque realmente son diferentes propiedades físicas. La masa es una medida de la cantidad de materia de un cuerpo. El peso es una medida de la fuerza que es causada sobre el cuerpo por el campo gravitatorio de otro (la Tierra en el caso de los objetos que se mencionan en la primaria). Es correcto ese uso indistinto en los casos en los que 1 libra de masa pesa 1 libra de peso.

1 libra (lb) = 16 onzas = 0.454 kg
1 onza (oz) = 28.3 gr

Nuevamente, las conversiones de una unidad a otra se hacen de la misma forma que en los incisos anteriores.

Conversiones de unidades combinadas

Existen magnitudes que se miden con unidades combinadas. Una de las más conocidas es la velocidad, que se mide como distancia recorrida entre tiempo transcurrido.

¿Cuánto equivalen 120 km/hr en mi/hr?

Se toma el dato de origen y se multiplica por una unidad formada por 1 mi/1.609 km, para que las unidades finales queden como necesitamos:

120 km/hr * (1 mi/1.609 km) = 74.58 mi/hr

¿Y cuánto equivalen 25 km/hr en m/s?

Ahora sí necesitamos hacer dos conversiones seguidas, de esta forma:

25 km/hr * (1000 m/1 km) * (1 hr / 3600 s) = 6.944 m/s

Recuerden que, además, pueden hacer primero la simplificación de unidades y de factores y después la multiplicación (ver más sobre este proceso de multiplicación de fracciones aquí).

En casos como el anterior, hacer regla de tres es más tardado, pues se necesitan dos, una por cada unidad de medida.

Conversiones para las que no funciona la regla de tres

Una característica importante de los problemas que se pueden resolver con regla de tres es que los dos valores que estamos comparando valen 0 al mismo tiempo. Por ejemplo: 0 cm = 0 m, 0 kg = 0 g, etc. (ver más sobre regla de tres directa, inversa y combinada aquí y aquí)

Cuando las escalas de las unidades de medida no coinciden en el cero, ya no es posible usar una regla de tres para convertir, porque la relación no está basada únicamente en que una unidad es un múltiplo de la otra.

Un caso típico es la conversión entre unidades de temperatura. Veamos cómo se estableció cada una y cómo se convierte entre ellas:

En los grados Celsius ( °C ), también conocidos como grados centígrados. La temperatura 0°C corresponde a la temperatura de congelamiento del agua bajo ciertas condiciones. La temperatura 100 °C corresponde a la temperatura a la que el agua hierve bajo ciertas condiciones. Entre una y otra temperaturas se hizo una división de 100 intervalos (por eso lo de centígrado), para coincidir con el sistema numérico decimal.

Los grados Kelvin (°K) son una escala absoluta de temperatura, con intervalos del mismo «tamaño» que los de los grados Celsius. La conversión entre Celsius y Kelvin no es por multiplicación, sino por suma/resta:

K = C + 273.15 

Por ejemplo, si tenemos una fiebre de 38.5 °C, nuestra temperatura corporal es de 38.5+273.15 = 311.15 °K

Por su parte, en los grados Farenheit (°F) la forma en que fueron establecidos el cero y los intervalos de esta escala es un poco menos clara, así que nos limitaremos a revisar las fórmulas para convertir de Farenheit a Celsius y de regreso (ver más sobre reversibilidad aquí). Teniendo una se puede despejar para obtener la contraria, pero pondré aquí ambas para que quede más completo:

F = 1.8 C + 32

C = (F – 32 ) / 1.8

Nuestra fiebre de 38.5 °C equivale a una fiebre de 1.8 ( 38.5 ) + 32 = 101.3 °F

¿Cómo desarrollar el pensamiento lógico matemático al hacer conversiones de todo tipo de unidades?

Podemos pedir a nuestros hijos y alumnos que anticipen ciertas características de las respuestas que obtendrán, para que, a la par, desarrollen su pensamiento lógico matemático (ver más aquí y aquí):

Si convierto de yardas a pies, ¿el resultado será un número mayor o menor?

Dado que las yardas son tres veces más grandes que los pies, el resultado debe ser un número mayor.

¿Si convierto de km/hr a km/s?

El resultado debe ser un número menor, porque aunque las horas son 3600 veces más grandes que los segundos, están en el denominador de la unidad de medida.

¿Si convierto de km/hr a m/hr?

Ahora sí el resultado debe ser un número mayor, porque los km son 1000 veces más grandes que los m y están en el numerador de la unidad de medida.

¿Y si convierto de km/hr a m/s?

Aquí hay qué pensar un poquito más. El resultado será 1000 veces más grande y 3600 veces más chico a la vez, por lo que, finalmente, deberá ser más chico.

Predecir y/o comprobar la lógica de los resultados de un problema o ejercicio hace que se trabajen a la par los aprendizajes propios de ese ejercicio y el pensamiento lógico matemático, con lo cual el aprendizaje se vuelve más eficiente (ver más sobre aprendizaje eficiente aquí).

Las unidades de medida en los planteamientos de problemas

Sobre planteamiento de problemas escribiré con más detalle en una entrada posterior. Por lo pronto quiero señalar que, en ciertos casos, las unidades de medida nos pueden ayudar a revisar si el problema está bien planteado o no.

Al igual que las fracciones sólo pueden sumarse/restarse si tienen el mismo denominador (ver más sobre fracciones aquí y aquí), las cantidades que pertenecen a un problema sólo pueden sumarse/restarse si tienen unidades iguales: años con años, metros con metros, etc.

1 tercio + 4 tercios = 5 tercios (1/3 + 4/3 = 5/3)

*Si Juan tiene 1 manzana y compra 4 manzanas y 3 peras, ¿cuántas manzanas tiene ahora?

1 manzana + 4 manzanas = 5 manzanas (sólo se pueden sumar las manzanas, el otro número tiene otra unidad de medida y no puede sumarse)

Otro ejemplo que no es de sumas sería este:

*Si Juan corrió 400 metros en 800 segundos, ¿a qué velocidad corrió?

Aquí recordar que la velocidad está dada en unidades de longitud entre unidades de tiempo nos permite saber cómo hacer el cálculo, sin que tengamos propiamente la fórmula de la velocidad en la memoria v=d/t.

v = 400 m / 800 s = 0.5 m/s

Ah, recuerden pedir siempre que las respuestas a los problemas tengan unidades de medida, cuando aplique, porque eso les permitirá a los alumnos una cierta verificación de la misma. Juan no puede tener 8 manzanas, ni su velocidad fue 2 s/m.

Y, si quieren un aprendizaje aún más completo, pueden dar ciertas unidades de medida en el planteamiento y pedir la respuesta en otras unidades de medida, para que, además de la solución propia del problema, se practiquen las conversiones de unidades.

¿De qué otra forma se les ocurre que las unidades de medida pueden apoyar los planteamientos de problemas?

Cuidados especiales al plantear problemas con unidades de medida

¿Cuál es la diferencia entre estos dos problemas?

*Juan tiene un galón de jugo de manzana ¿Cuántos vasos de 16 onzas fluidas puede llenar?

*Juan tiene una tarima cuadrada que mide 2 pies de lado. ¿Cuántas cajas cuadradas de 10 pulgadas de lado puede acomodar en ella, sin encimar ninguna?

La diferencia es que ciertos materiales se pueden acomodar al espacio en el que los pongamos y otros no. El jugo de manzana no tiene problema con llenar todo el espacio del vaso, sin embargo, las cajas no pueden hacerlo.

Para el problema del jugo:

1 gal * (4 qt / gal) * (2 pt / qt) * (2 c / pt) * ( 8 fl oz / c) = 128 fl oz

¿Cuántos vasos se llenan? 128 fl oz / (16 fl oz / vaso) = 8 vasos

En cambio, para el problema de la tarima:

Lado de la tarima = 2 ft * (12 in / ft) = 24 in
Área de la tarima = (24 in) 2 = 576 in²
Área de la caja = (10 in ) 2 = 100 in²

¿Cuántas cajas caben? 576 in² / (100 in²/caja) = 5.76 cajas

Leyendo la respuesta directamente, pensaríamos que caben 5 cajas y sobre un poco de espacio.

Sin embargo, si hacemos el dibujo nos daremos cuenta que sólo caben 4 cajas y queda el resto del espacio vacío.

Al pensar en este ejemplo, recordé las latas de sardinas, que son un referente cuando se piensa en llenar al máximo un espacio. También en un refrán mexicano: “Todo cabe en un jarrito sabiéndolo acomodar”. Creo que el refrán debería aclarar que depende del material del que esté hecho lo que queremos acomodar en el jarrito, porque esas cinco cajas no caben en la tarima en una sola cama de ninguna forma.

Si se plantea un problema en el que la arena de ciertas cajas se vaciará en una caja más grande, ahí sí podemos usar directamente el volumen calculado, pues la arena se acomodará en toda la extensión de la caja.

Otro ejemplo: un bote de pintura sirve para pintar un área de 2 m x 3 m, ¿cuántos botes se necesitan para pintar un área de 7 m x 5 m? ¿Qué tipo de problema es? ¿De área flexible o rígida?

Juguemos con estos conceptos con nuestros hijos y alumnos, para mejorar su capacidad de resolución de problemas.

Puede parecerles interesante

Cuando estaba buscando imágenes de reglas para esta entrada, me topé con algunas que no decían en qué unidades de medida estaban graduadas y me di cuenta que las subdivisiones me permitirían deducirlo:

Si la unidad tiene 4 subdivisiones, está dividida en 5 secciones, y corresponde al Sistema Internacional de Unidades. Cada rayita son 2 décimos de la unidad.

Si la unidad tiene 3 subdivisiones, está dividida en medios y cuartos, 4 secciones, y corresponde al sistema inglés. Cada rayita es ¼ de unidad. También puede tener 8 secciones, 16, 32 y hasta 64 secciones y corresponder a este sistema.

Para cerrar

Hace 2 semanas quedé de complementar aquella entrada con la del día de hoy, con las conversiones en el Sistema Inglés y con algunos cuidados y estrategias relacionadas con el aprendizaje y la enseñanza de este tema que espero que les resulten útiles. Promesa cumplida.

Como siempre, gracias por leer y compartir.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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