Sentido numérico y jerarquía de las cuatro operaciones básicas

Esta entrada va dedicada a Salvador, en recuerdo de esas interminables horas estudiando juntos, tanto matemáticas como otras materias, a lo largo de la preparatoria y la carrera de ingeniería industrial.

23_optAhora explico por qué: buscando alguna idea sobre qué escribir para esta entrada, ¡la número 23 ya! recordé que, durante un torneo de futbol en la universidad, Salvador mencionó que había elegido como número de su uniforme el 23 porque jugaba dos – tres (en México eso significa poco mejor que regular). Así como él lo hizo en ese momento, hay muchas formas de reinterpretar los números, de jugar con ellos, y todas ellas nos permiten desarrollar el sentido numérico, que yo considero el segundo pilar en la buena relación con las matemáticas (ver la primera entrada al respecto aquí).

Para mí el primer pilar es el pensamiento lógico matemático, del que ya he escrito dos entradas (ver aquí y aquí). Ésta será la segunda dedicada específicamente al sentido numérico. También encontrarán referencias a alguno de los dos pilares, o a ambos, en muchas de las otras entradas que he escrito. Por cierto, incluiré un breve apartado sobre jerarquía matemática para que tengamos a la mano las reglas con las que se rigen los juegos con los números.

Creo sinceramente que, desarrollando esos dos pilares y entendiendo bien los porqués de los conceptos y procesos matemáticos, todos podemos llevar una muy buena relación con las matemáticas. Para apoyar en ese sentido escribo este blog.
En México los niños están por salir de vacaciones de verano. Es un buen momento para que aprovechen para jugar con los números. Y los profesores pueden usar estas ideas cuando regresen a clases, para desarrollar el sentido numérico dentro de alguna actividad o en los cambios de actividades. Comencemos con el apartado sobre:

Jerarquía matemática

La jerarquía matemática nos indica el orden en el que deben de realizarse las operaciones dentro de una expresión matemática.

Dedicaré una entrada posterior a profundizar sobre la forma de respetar la jerarquía matemática en expresiones complejas. En esta ocasión me concentraré en la jerarquía que tienen las cuatro operaciones básicas. Es muy simple:

Primero se hacen las multiplicaciones y las divisiones. Tienen el mismo nivel de jerarquía entre sí.

Después se hacen las sumas y las restas. También tienen el mismo nivel de jerarquía entre sí.

Las operaciones con el mismo nivel de jerarquía se realizan de izquierda a derecha.

Los agrupadores rompen la jerarquía original, ya que se debe resolver primero lo que está dentro de ellos. Hay de varios tipos: (), {}, [], y la línea que separa numerador de denominador en una fracción.

¿Por qué es importante respetar la jerarquía matemática?

Pondré un par de ejemplos que darán contexto al tema:

traffic-lights-686041_1280_opt¿Qué pasaría si la gente no respetara las luces del semáforo? Nadie sabría si pasar o no y los cruces de calles serían un caos.

¿Qué pasa cuando no se usan las puntuaciones correctas al escribir? El mensaje puede ser completamente diferente al que queríamos dar:

Se solicita empleado, inútil presentarse sin carta de recomendación.
Se solicita empleado inútil, presentarse sin carta de recomendación.

¿Qué tipo de empleado nos llegará según donde escribamos la coma en el anuncio?

De la misma forma, una expresión matemática puede tener un significado o un valor completamente diferente según como se escriba. Es necesario escribirla de tal forma que represente la cantidad que queremos que represente. Veamos dos ejemplos:

2 + 3 x 6 = 20 como la multiplicación se resuelve antes que la suma, el resultado es 20.

(2 + 3) x 6 = 30 como el paréntesis cambia la jerarquía, la suma se resuelve antes que la multiplicación y el resultado es 30.

2 – 3 + 6 = 5 como las operaciones tienen la misma jerarquía, se resuelven de izquierda a derecha. No es correcto primero sumar el 3 con el 6 y luego restarle ese resultado al 2. Si hacen el cálculo verán que les da -7 y el resultado correcto es 5.

Así como con los semáforos y la gramática, la jerarquía matemática nos ayuda a poder comunicarnos, a transmitir la información de forma ordenada y con mayor certeza de que el receptor va a captar lo que nosotros queremos transmitirle, ya que interpretará la expresión matemática siguiendo la norma con la que fue creada, esto es, la jerarquía matemática.

Cuidado con el cálculo mental

Debemos tener muchísimo cuidado cuando practicamos cálculo mental con nuestros alumnos. Si yo voy diciendo dos, más tres, por seis, lo que el alumno hará (porque no puede hacerse de otra manera, no podemos retener y analizar mucha información en secuencia) será ir resolviendo cada operación que le voy diciendo, primero la suma y luego la multiplicación, justo como en el ejemplo del paréntesis, y su respuesta será 30.

Pero si yo dicto la operación: dos más tres por seis para que la apunten y la calculen, sin indicar ningún paréntesis, entonces la forma correcta de calcularla será respetando la jerarquía matemática, ya que sí podemos ver todo el conjunto y analizar qué hacer primero.

Lo que he visto que hacen los profesores es evitar combinar operaciones, o escribirlas en un orden que no presente mucho riesgo de error. Creo que es una buena estrategia, aunque yo sí trataría de ir mencionando la diferencia en importancia (jerarquía) de la multiplicación y división con respecto a la suma y resta. La imagen que encabeza esta entrada va un poco en ese sentido: si identificamos qué pez es más grande, sabremos quién se come a quién. De la misma forma, si identificamos qué operación tiene más jerarquía, sabremos cuál se calcula primero.

Veremos más ejemplos de cálculos siguiendo jerarquía matemática dentro de las opciones para desarrollar el sentido numérico.

Ideas para desarrollar el sentido numérico y el cuidado de la jerarquía matemática a la vez

Agregar agrupadores para obtener distintos resultados

Obtén al menos 3 resultados distintos al original agregando agrupadores a la expresión:

2 + 3 x 6 – 9 = 11

(2 + 3) x 6 – 9 = 21
2 + 3 x (6 – 9) = -7
(2 + 3) x (6 – 9) = -15

Como verán, este tipo de ejercicios llevan a al menos dos aprendizajes distintos, ya que desarrollan el sentido numérico al jugar con los números y remarcan la forma de respetar la jerarquía matemática y la importancia de hacerlo.

Agregar operadores y agrupadores para obtener un resultado dado

Obtén 15 agregando operadores y agrupadores a partir de 1, 5 y 4:

(4 – 1) x 5 = 15

Este ejercicio funciona bien, pero está un poco limitado, al dar un resultado fijo.

Agregar sólo operadores para obtener un resultado dado

Podemos hacer el ejercicio anterior más variado si pedimos, por ejemplo, que obtengan al menos 8 resultados distintos, enteros, a partir de 4, 1 y 5, agregando sólo los cuatro operadores básicos entre ellos. Podemos pedir además, que si encuentran dos resultados iguales a partir de expresiones distintas, identifiquen si se debe a alguna propiedad de los números o de las operaciones:

4 + 1 x 5 = 9
4 x 1 + 5 = 9 vaya, nos da lo mismo, ¡claro! El 1 es el elemento neutro de la multiplicación (ver más aquí)
4 – 1 x 5 = -1
4 ÷ 1 – 5 = -1 cierto, el 1 es el neutro de la división también
4 + 1 + 5 = 10
4 – 1 + 5 = 8
4 – 1 – 5 = -2
4 + 1 – 5 = 0
4 x 5 + 1 = 21
4 + 5 x 1 = 9 propiedad conmutativa de la multiplicación
4 + 5 + 1 = 10 propiedad conmutativa de la suma
4 x 5 x 1 = 20
4 x 5 – 1 = 19 ¡Logramos llegar a 8 resultados distintos!

Descartamos varias opciones con división porque no nos llevan a resultados enteros.

Como verán, a partir de 3 simples números se pueden practicar muchos conceptos y procesos matemáticos dejando la actividad abierta.

Aunque en general se busca desarrollar el sentido numérico para lograr más velocidad y exactitud en los cálculos, es interesante también darnos oportunidad de actividades que lleven menos prisa y, con ello, logren una comprensión más profunda de las relaciones entre los números y las operaciones.

Otras ideas para desarrollar el sentido numérico

Encuentra el número

needle-in-a-haystack-1752846_1280_opt.jpgSe dice que en los decimales de pi (Π) se pueden encontrar todas las combinaciones posibles de números, tan largas como se quiera. Podemos hacer una actividad relacionada con eso pero a una escala más manejable, para que la búsqueda no sea como encontrar una aguja en un pajar.

Damos un número como éste:

25346

Y pedimos que encuentren, dentro de él, números con ciertas características. Por ejemplo:

Un número primo (53)
Un múltiplo de 23 (46)
Un divisor de 75 (25)

Probemos con otro número:

24768152

Encuentren:

Un múltiplo de 17
Un divisor de 96 
Una potencia de 9

Daré las respuestas a este ejemplo al final de la entrada.

¿Cuántos años vivió?

Esto lo hago con mi hija cuando leemos biografías breves de personajes famosos. Como regularmente viene la fecha de nacimiento y muerte de la persona, calculamos cuántos años vivió. Es muy interesante darnos cuenta de qué tan grandes eran esas personas cuando murieron, a la vez que practicamos un poquito de matemáticas.

Albert Einstein, por ejemplo, nació el 14 de marzo de 1879 y falleció el 18 de abril de 1955

Es importante buscar distintas maneras de hacer el cálculo con la mente, según la combinación de números que tengamos. En este caso, podemos pensar que nació 21 años antes del cambio de siglo y vivió 55 años después, por lo que vivió 76 años.

Veamos otro ejemplo:

Maryam Mirzajani (primera mujer ganadora de la medalla Fields, conocida como el Nobel de las matemáticas) nació el 3 de mayo de 1977 y falleció el 15 de julio de 2017

Ese cálculo está muy fácil, pues las unidades son las mismas. Podemos pensar: del 77 al 87, 98, 07, 17… sólo vivió 40 años… imagínense lo que hubiera logrado si vive más tiempo.

Este ejemplo tiene algo de truco:

Marie Curie nació el 7 de noviembre de 1867 y falleció el 4 de julio de 1934.

Calculemos de otra forma: del 1867 al 1937 hubieran sido 70 años, y le faltaron 3, por lo que falleció a los 67 años… ¿O no?

No, no había pasado su cumpleaños, así que falleció a los 66 años.

Aprendamos a cuidar los detalles, nos servirá mucho en la vida.

Para cerrar

Los números se pueden convertir en compañeros de juego si se los permitimos. Recuerdo que alguna profesora en la primaria nos pedía que inventáramos operaciones y después las resolviéramos. A mi me gustaba pensar en los números como actores a los que invitaba a participar en pequeñas obras de teatro llamadas operaciones. Cada quién puede encontrar formas diferentes de irse sintiendo cómodo con los números, de jugar con ellos, como Salvador y su jugar dos – tres al futbol.

waffles-1143_1280_optO como aquella persona que bromeaba sobre cómo obtener -1 cucharadas de azúcar para cubrir unos waffles que estaba preparando, dado que la receta pedía 2 – 3 cucharadas de azúcar.

Veamos un par de acertijos ligeramente matemáticos antes de irnos.

Acertijos no precisamente numéricos

–¿Cuántos son doce millones más doce millones?

Fácil, ¿no? Veinticuatro millones

A no ser que hayamos escuchado mal y realmente sean: cuatro semillones, esto es, la suma de dos semillones (semillas muy grandes) más dos semillones.

bank-2010880_1280_opt.png–Llega un par de mujeres a un hotel y el recepcionista les dice que no tiene habitaciones disponibles. ¿Qué hora es?

 

La 1:45, porque falta un cuarto para las dos (en México a las habitaciones de los hoteles también se les dice cuartos).

Cierto, casi olvido dar las respuestas a la búsqueda de los números dentro de 24768152

Un múltiplo de 17 (68)
Un divisor de 96 (24)
Una potencia de 9 (81 = 9²)

Antes de terminar, quiero agradecer a Salvador el que, sin querer, haya inspirado esta entrada. No sé cuáles sean sus habilidades actuales en el futbol, pero sé que es un buen ingeniero y un gran ser humano, de quien agradezco contar con su amistad.

business-2838635_1280_opt.pngConfío en que las ideas que comparto en este blog lleguen cada vez a más personas, para que la relación de niños y jóvenes con las matemáticas mejore cada vez más y puedan elegir su carrera libremente. Por favor, escríbanme si tienen alguna duda y si quieren sugerirme temas que deseen que aborde en futuras entradas del blog.

Rebeca

PD: Quiero agradecer a estas dos páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: https://pixabay.com/   http://webresizer.com/

Los datos biográficos los obtuve de wikipedia.

Hice algunas imágenes en Word.

 

 

3 comentarios en “Sentido numérico y jerarquía de las cuatro operaciones básicas

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