Ésta es la entrada 54 de este blog. Por ser múltiplo de 9, toca escribir sobre algo especial. He decidido dedicarla al signo igual, esas dos líneas paralelas tan importantes en las matemáticas y cuya correcta comprensión en la primaria (aritmética) facilita muchísimo las cosas en la secundaria (álgebra) y más allá (cálculo diferencial e integral y demás). Si con este blog busco, entre otras cosas, mejorar la relación de las personas con las matemáticas, enfocarnos hoy en algo tan importante para lograrlo es una buena idea.

Comprender a profundidad el significado de este signo comienza por relacionarlo con la igualdad en una balanza y lleva a la igualdad de oportunidades de nuestros hijos y alumnos para elegir carrera, por haber terminado el bachillerato y por sentirse suficientemente hábiles con las matemáticas. Buena razón para escribir sobre él ¿no creen?

Si bien ya había escrito un poco sobre el signo igual en una entrada pasada sobre sentido de estructura (ver aquí) y en dos relacionadas con las ecuaciones lineales (ver aquí y aquí), ésta será una entrada que complemente a aquellas, abordada desde una perspectiva distinta, que incluye ideas para trabajar en primaria para preparar a los alumnos para el álgebra, así como ideas para trabajar en secundaria asegurando la correcta comprensión del significado del signo igual antes de pedir a un alumno que escriba o resuelva una ecuación.

Mi aventura desentrañando las razones de las dificultades matemáticas de las personas me ha llevado a concluir que los profesores de primaria pueden hacer mucho por evitarlas si eligen estrategias didácticas adecuadas, basadas en que ellos mismos comprendan los temas a profundidad y visualicen cómo se conectan con los anteriores y con los siguientes. Apoyarlos en ese sentido es otro de los objetivos de este blog y de esta entrada en particular.

Origen del signo igual

Hasta antes del siglo XVI, se usaron distintos símbolos, letras, incluso palabras completas, al escribir expresiones que representaban igualdades. El galés Robert Recorde usó el signo igual que conocemos ahora en un texto suyo de 1557, en el que justificó su uso diciendo que dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas. Sin embargo, se popularizó hasta mucho tiempo después, en el siglo XVII, cuando tanto Newton como Leibniz lo usaron en sus trabajos matemáticos. Quién diría que desde aquellas épocas era necesario que alguien de renombre impulsara el uso masivo de algo nuevo.

¿Qué significa?

Al escribir el signo igual, entre dos expresiones matemáticas, indicamos que ambas tienen el mismo valor o representan a la mismo cantidad, ya sea conocida o desconocida.

Los alumnos suelen darle al menos dos tipos de interpretaciones:

Interpretación operacional: “realiza la operación”, “obtén la respuesta”.
Normalmente se da esta interpretación en aritmética, cuando se proponen cálculos del lado izquierdo y hay espacio en blanco del lado derecho del signo igual.

Si bien esta interpretación operacional puede llegar a ser “inofensiva” durante la primaria y no causar mayores problemas, si el profesor siempre pone ejercicios con el espacio para la respuesta del lado derecho del signo igual, genera un conocimiento incompleto de lo que significa dicho signo y complica la transición al álgebra. Por eso es importante tratar de llevar al alumno, desde la primaria, a la siguiente interpretación:

Interpretación relacional: “es igual a”, “es lo mismo que”, “tiene el mismo valor que”. Normalmente se da esta interpretación en álgebra, o cuando desde el origen la expresión tiene lado izquierdo y derecho.

Dado que lo que significa el signo igual es: «lo que sea que valga un lado es lo mismo que vale el otro», podemos dejar de sentir la necesidad de saber información que no es realmente relevante. Esto es, para resolver una ecuación no necesitamos saber cuánto vale cada lado de la misma, más bien usamos las propiedades que presentaré más adelante para averiguar el valor de la incógnita.

¿En qué estructuras encontramos el signo igual?

Según el diccionario de la Real Academia Española, estas son las definiciones de algunas de las estructuras que incluyen al signo igual. Agregué un ejemplo sencillo de cada una:

Ecuación: igualdad que tiene una o más incógnitas.
x + 9 = 0

Función: Relación entre dos conjuntos que asigna a cada elemento del primero un elemento del segundo o ninguno.
y = x + 9

Identidad: Igualdad algebraica que se verifica siempre, cualquiera que sea el valor de sus variables.
a² + 2ab + b² = (a + b)² (un trinomio cuadrado perfecto se puede factorizar en un binomio al cuadrado)

Fórmula: Ecuación o regla que relaciona objetos matemáticos o cantidades.
A = bh  (fórmula del área de un rectángulo)

Nota: las definiciones anteriores NO son mutuamente excluyentes.

Por ejemplo, la función y = x + 9 también se puede considerar una ecuación de dos incógnitas (se requiere una segunda ecuación para poder determinar los valores de las incógnitas).

Alguna ecuación de una o más incógnitas puede realmente ser una identidad, como ésta: 3x + 6 – x = 2( x + 4 ) – 2   ->   2x + 6 = 2x + 6

Una fórmula puede considerarse una función en la que la variable dependiente es la que está a la izquierda del signo igual y las independientes son las que están al lado derecho: A = f ( b,h) = b*h

Y así…

Por otro lado, existe una estructura más que, si la enfocamos de esta manera, la podemos ver como una ecuación en la que la incógnita es un espacio en blanco y no es necesario «despejarla», sino sólo calcularla. Se trata de las estructuras de este tipo:

4 + 5 =                  Es como se ve en primaria, en aritmética
4 + 5 = x               Es como se ve en secundaria, en álgebra

¿Notan cómo es lo mismo, sólo que sin la, para algunos, amenazante “x”? Creo que si nos damos cuenta en secundaria de que hemos estado resolviendo ecuaciones sencillas toda nuestra vida, podremos vivir una transición más suave al álgebra. Y nuestros profesores de primaria pueden ayudar mucho si varían la forma en la que nos presentan los ejercicios, como veremos más adelante.

¿Cuáles son las propiedades de las igualdades?

Idéntica o reflexiva: toda expresión o cantidad es igual a sí misma, como en: x + 3 = x + 3

Simétrica: se puede cambiar el orden de los miembros de la igualdad sin que ésta se altere. Esto es, el signo igual representa una relación bidireccional que se puede escribir en cualquier orden:
Si x + 3 = 5 entonces 5 = x + 3

Transitiva: si dos igualdades tienen un miembro en común, los dos no comunes también son iguales:
Si a = b y b = c entonces a = c

Uniforme: si se multiplica y/o divide por la misma cantidad constante diferente de cero a cada lado de la igualdad, o se suma y resta la misma cantidad a ambos lados de la igualdad, ésta se conserva:
Si a = b entonces a + c = b + c

Cancelativa: se pueden suprimir dos elementos iguales (que produzcan el mismo efecto) a ambos lados del igual, y la igualdad no se altera:
Si a + c = b + c entonces a = b

Cualquier parecido con la forma de resolver ecuaciones en álgebra… ¡no es coincidencia! Estas propiedades de la igualdad son la base de los procedimientos que se usan para resolver ecuaciones.

Ojo: debemos evitar confundirnos:

Ésta es una forma de completar esta igualdad:
x + 3 =
x + 3 = 3 + x

Ésta no lo es:
x – 3 =
x – 3 ≠ 3 – x

En general, debemos analizar cuándo podemos invertir elementos y cuando no, lo cual es fácil de comprobar con números:

1 + 8 = 8 + 1   pero  1 – 8 ≠ 8 – 1

1 * 8 = 8 * 1    pero  1 / 8 ≠ 8 / 1 

18 ≠ 81

¿Cuáles son las confusiones y problemáticas que ocurren por la incorrecta comprensión del signo igual?

Si un alumno se queda con la idea de que el signo igual es una instrucción que implica que lo del lado derecho forzosamente es distinto a lo del lado izquierdo, podrá sentirse tentado, ante el ejercicio:
3 + x =

A hacer algo como esto:
3 + x = 3x, que es incorrecto.

Lo correcto sería:
3 + x = 3 + x      o     3 + x = x + 3

También puede llegar a creer que no es posible que las x queden del lado derecho al resolver una ecuación, como en este ejemplo:
5 = 3 + x
2 = x

Claro que se puede resolver esa ecuación dejando la x del lado izquierdo, pero es un proceso más tardado y es mejor evitarlo. Más bien conviene resolver por el camino más corto y, si la x llega a quedar del lado derecho, usar la propiedad simétrica para invertir las posiciones de la incógnita y su valor, para que se «lea» más fácilmente:

x = 2

Cuando se tiene una expresión del lado izquierdo y un espacio vacío del lado derecho en álgebra, lo que regularmente se pretende es que se manipule el lado izquierdo de alguna forma y se escriba la expresión ya manipulada del lado derecho, a sabiendas que tiene el mismo valor que la otra. Por ejemplo, ante este ejercicio:

2x + 5 – x + 7 =

Lo que corresponde hacer es escribir el resultado reducido del lado derecho:

2x + 5 – x + 7 = x + 12

Una problemática común relacionada con el espacio en blanco al lado derecho del igual, que es diferente a la mencionada arriba, es el «mover» el denominador del lado izquierdo y ponerlo en el espacio derecho. Ante el ejercicio:

(2x + 5 ) / ( x + 7 )  = 

Es erróneo, pero común, observar que los alumnos hacen esto:

2x + 5 = x + 7

En vez de intentar reducir la expresión, «pasan» el denominador para el otro lado y así tranquilizan su mente al tener ahora sí una igualdad con algo de cada lado.

Para corregir este error (y muchos otros)  lo más útil es pedir a los alumnos que analicen la expresión antes de actuar sobre ella. Si se les da una lista de cotejo de las características que deben buscar y cómo actuar en consecuencia, se sentirán más orientados y acertarán más frecuentemente. Obviamente la lista distará de ser exhaustiva, pero se puede limitar a la mezcla de ejercicios con los que se esté trabajando en un bimestre o parcial.

Un ejemplo de elemento a cotejar es: si existen los dos miembros de la igualdad se tratará de una ecuación, función, identidad o fórmula, mientras que si sólo existe el lado izquierdo se tratará de una expresión que debe ser reducida.

El profesor necesitará analizar qué estrategias mnemotécnicas le sirven mejor a sus alumnos para decidir qué procede hacer según las características de la expresión con la que trabajarán.

¿Qué puede hacer un profesor de primaria para lograr una comprensión más adecuada del significado del signo igual?

Una forma de mostrar a los alumnos que el signo igual no es propiamente una instrucción de realizar una operación, es presentarles actividades como ésta, que se contestan llenando valores en diferentes posiciones. La igualdad implica eso, igualdad de cantidad o valor, no importa la cantidad de términos u operaciones que haya a cada lado del signo igual. Analizar la estructura del ejercicio antes de contestarlo (hay una suma aquí, una resta acá, un espacio en blanco más allá) es también una buena preparación para el álgebra (y para la vida, pues la capacidad de observación es indispensable para tomar buenas decisiones).

Coloca UN solo número en cada espacio para que las igualdades se cumplan:
9 + 3  = 5 + __
9 + 3  = __ + 7
9 + __ = 5 + 7
__+ 3 = 5 + 7
9 + 3 = ___
__ = 5 + 7

En esos ejemplos en aritmética, todos los huecos se llenan con números, pero podemos ir más allá y pedir que llenen el hueco con una operación dada o con una operación libre:

Completa la igualdad mediante una suma:
12 = ___

Completa la igualdad mediante cuatro operaciones distintas
12 =_____
12 =_____
12 =_____
12 =_____

En este caso, debemos tener mucho cuidado para que los alumnos respeten la jerarquía de las operaciones (ver más aquí).

Por ejemplo, esto es válido:
12 = 5 * 2 + 2

Pero esto no:
12 = 4 + 2 * 2

Para que fuera válido, necesitaría un paréntesis:
12 = (4 + 2) * 2

Conviene, en todos los casos, comprobar las respuestas calculando cada lado de la igualdad para comprobar que ésta se respeta.

Si los alumnos aún no saben usar los paréntesis y la jerarquía de operaciones, debemos evitar ponerlos en situación de escribir expresiones que no respeten la jerarquía de operaciones. A propósito de paréntesis y jerarquía de operaciones escribí un apartado un par de secciones más adelante relacionado con el cálculo mental.

¿Qué puede hacer un profesor de secundaria para lograr una comprensión más adecuada del significado del signo igual?

Dado que entender el álgebra implica, entre otras cosas, la comprensión de patrones (ver más sobre series, patrones y sucesiones aquí y aquí) y relaciones entre cantidades y/o expresiones, el lograr la interpretación relacional del signo igual es indispensable para comprender el álgebra.

El profesor de secundaria necesita indagar en el pensamiento de sus alumnos para determinar qué interpretación le dan al signo igual, lo cual dependerá en gran medida de las decisiones pedagógicas de los profesores anteriores de sus alumnos. Si la interpretación aún es operacional, es necesario, antes de iniciar con la introducción al álgebra, buscar que los alumnos evolucionen a una interpretación relacional, con ejercicios como los planteados en el apartado anterior.

Si los alumnos ya interpretan el signo igual como una relación entre los dos miembros de la igualdad, es conveniente que, conforme se avanza en el temario de álgebra, se establezcan claramente las diferencias y similitudes entre las distintas expresiones que contienen una igualdad: expresión para reducir, simplificar o expandir, ecuación, función, identidad y fórmula.

También necesitan quedar claras las propiedades de la igualdad, para que sean usadas para resolver ecuaciones, mencionándolas cada vez (sólo en las primeras etapas del aprendizaje, después sería tedioso), para que se interioricen: «por la propiedad uniforme, se suma la misma cantidad a ambos lados de la igualdad…»

Se puede reiterar a cada paso de solución de una ecuación o en cada evaluación de una función, por ejemplo, el hecho de que la igualdad se mantiene, para que se vaya impregnando ese conocimiento.

También se requiere fomentar el correcto encadenamiento de signos igual y la correcta comprensión de las diferencias entre el cálculo mental y el cálculo escrito, como se explica a continuación.

¿Son válidas las igualdades “encadenadas”?

Aunque pudieran no ser la mejor idea, la verdad es que ahorran mucho espacio al trabajar en matemáticas, por lo que es común verlas.

Si la igualdad se mantiene a lo largo de todos los miembros «encadenados» por igualdades, dicho encadenamiento puede considerarse válido, como en:

10 + 5 + 12 = 15 + 12 = 27 Todos y cada uno de los miembros de esta cadena de igualdades vale lo mismo.

Lo que no es válido es ir sacando cálculos intermedios y encadenar las igualdades, como al sumar 10 más 5 más 12:

10 + 5 = 15 + 12 = 27
10 + 5 No es igual a 15 + 12
15 + 12 sí es igual a 27

En esos casos de igualdades encadenadas incorrectamente, la única verdadera suele ser la última. Deben evitarse.

Para suma 10 más 5 más 12 en distintas operaciones consecutivas, se puede escribir:
10 + 5 = 15,    15 + 12 = 27

Las igualdades y el cálculo mental

A propósito de igualdades incorrectamente encadenadas, debemos tener mucho cuidado con el cálculo mental, dado que cualquier cadena de cálculos que formen un ejercicio de cálculo mental, al ser escritos en papel, deberían incluir todos los paréntesis necesarios para que se respete la forma mental de calcular.

Por ejemplo, si  escuchamos: dos más tres por cinco menos siete entre dos y lo escribimos así:

2 + 3 * 5 – 7 / 2 = 

La respuesta correcta, respetando la jerarquía de operaciones, sería 13.5, que es muy distinta a la que se obtiene por cálculo mental, en el que se necesita ir haciendo cada cálculo que se escucha antes de escuchar y realizar el siguiente. La forma en la que se hace mentalmente equivale a encerrar en un paréntesis cada operación que se escucha. Se vería así:

(((2 + 3 ) * 5 ) – 7 ) / 2 = 9

Tampoco es correcto encadenar igualdades aquí para evitar los paréntesis. Más bien podríamos escribirlo de esta forma, separando cada cálculo que se va haciendo:

2 + 3 = 5,     5 * 5 = 25,     25 – 7 = 18,     18 / 2 = 9   Es una expresión matemáticamente correcta del procedimiento seguido.

2 + 3 = 5 * 5 = 25 – 7 = 18 / 2 = 9 Es una expresión matemáticamente incorrecta del procedimiento seguido

Una curiosidad sobre el signo igual en programación

En programación, un único signo igual asigna un valor:
x=5 significa que a la variable x se le asigna el valor de 5.

Y dos signos igual seguidos son interpretados como el igual en matemáticas, dentro de los condicionales:

x==5 se puede usar como condicional para asegurarnos que el programa sólo siga ejecutándose si x toma el valor de 5.

Para cerrar

Confío en que cada vez más profesores de primaria comprendan que lo que enseñan y la forma en que lo enseñan afecta a sus alumnos en los siguientes grados escolares, para que lo tomen en cuenta al diseñar sus actividades. Confío en que cada vez más profesores de secundaria comprendan que necesitan indagar, entre otras cosas, la interpretación que sus alumnos le dan al signo igual en la aritmética, para re-encaminarla si es necesario y lograr con ello una transición suave al álgebra.

Llevar a los alumnos a que entiendan al signo igual en su significado completo, y a que lo usen de manera más integral, les será muy útil en su encuentro con el álgebra y, además, les ayudará a desarrollar su sentido numérico (ver más aquí y aquí), al buscar números que completen las igualdades que observan  y su pensamiento lógico (ver más aquí y aquí), al trabajar de forma menos mecánica con las expresiones matemáticas

Como siempre, gracias por leer y por compartir con aquellos a quienes consideren que les pueda ser útil lo que aquí publico. Pregunta: ¿Sobre qué temas les gustaría y/o les sería útil que escribiera?

Por cierto, gracias Erika M por tu disposición a aprender más para enseñar mejor.  Espero que esta entrada te resulte de utilidad en ese sentido.

Rebeca

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